7.1 7.1.1 任意角 课件-2026版高中数学苏教版必修第一册

复习任务群一现代文阅读Ⅰ把握共性之“新”打通应考之“脉”第7章三角函数7.1角与弧度7.1.1任意角学习任务核心素养1．了解任意角的概念，了解两角的和、互为相反角和两角的差的概念．2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点)3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点)1．通过终边相同角的计算，培养数学运算素养．2．借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养．初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°～360°范围内的角．但是现实生活中随处可见超出0°～360°范围的角．例如体操中有“前空翻转体540°”，主动轮和被动轮的旋转方向不一致．如何定义角才能解决这些问题呢？必备知识·情境导学探新知知识点1任意角的概念(1)角的概念：一个角可以看作平面内__________绕着__________从一个位置______到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的__________和__________称为角的始边和终边．一条射线它的端点旋转开始位置终止位置(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按____________旋转所形成的角负角按____________旋转所形成的角零角一条射线____________旋转，称它形成了一个零角逆时针方向顺时针方向没有作任何思考1．如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？[提示]

不一定．若角的终边未作旋转，则这个角是零角；若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．(3)两角的和、互为相反角、两角的差：对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β(当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转)，这时________________称为α与β的和，记作α＋β．射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角．角α的相反角记为_____，于是有α－β＝____________．终边所对应的角－αα＋(－β)体验1．如图，角α＝________，β＝________．240°240°－120°

[α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°．]－120°知识点2象限角与轴线角(1)象限角：以角的______为坐标原点，角的______为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．(2)轴线角：终边在________上的角．体验2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)180°角是第二象限角． (

)(2)－30°角是第四象限角． (

)(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角． (

)顶点始边坐标轴×√×知识点3终边相同的角与角α终边相同的角的集合为_____________________________．思考2．终边相同的角一定相等吗？其表示方法唯一吗？[提示]

终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}体验3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为________________________________．{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}

[由终边相同的角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}类型1角的概念辨析【例1】(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°；②855°；③－510°．关键能力·合作探究释疑难①(1)①

[①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．](2)[解]作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°角是第一象限角．②855°角是第二象限角．③－510°角是第三象限角．反思领悟

1．理解角的概念的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．2．象限角的判定方法(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．[跟进训练]1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为______________．

－100°－1200°类型2终边相同的角与象限角【例2】【链接教材P170例1】已知α＝－1910°．(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°；(3)若与α终边相同的最大负角、最小正角分别为θ1，θ2，求θ1＋θ2．[思路点拨]

(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式后，判断β所在的象限即可．(2)将θ写成θ＝β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，用观察法验证k的不同取值即可．[解]

(1)因为－1910°＝－6×360°＋250°，所以－1910°角与250°角终边相同，所以α＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．(2)由(1)知令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°．故θ＝－110°或－470°．(3)因为与α终边相同的角为β＝k·360°＋250°(k∈Z)，所以取k＝－1，0得与α终边相同的最大负角为θ1＝－110°，最小正角为θ2＝250°，所以θ1＋θ2＝140°．【教材原题·P170例1】例1在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：(1)650°；(2)－150°；(3)－990°15′．分析：只需将这些角表示成k·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，然后根据α来确定它们所在的象限．解：(1)因为650°＝360°＋290°，所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角．(2)因为－150°＝－360°＋210°，所以－150°的角与210°的角终边相同，是第三象限角．(3)因为－990°15′＝－3×360°＋89°45′，所以－990°15′的角与89°45′的角终边相同，是第一象限角．反思领悟

1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少．[跟进训练]2．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)－360°～720°内的角．

(2)由－360°≤10030°＋k·360°<720°，得－10390°≤k·360°<－9310°，又k∈Z，解得k＝－28，－27，－26．当k＝－28时，β＝10030°－28×360°＝－50°，当k＝－27时，β＝10030°－27×360°＝310°，当k＝－26时，β＝10030°－26×360°＝670°，故所求的角β的值为－50°，310°，670°．类型3区域角的表示【例3】已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解]

(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[母题探究]1．(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．2．(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．反思领悟

表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．[跟进训练]3．写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合．[解]法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．

[母题探究]在本例条件下，求角2α的终边的位置．[解]

∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．

1．(多选题)以下说法，其中正确的有(

)A．－75°角是第一象限角B．265°角是第三象限角C．475°角是第二象限角D．－315°角是第一象限角学习效果·课堂评估夯基础√BCD

[由终边相同角的概念知：BCD都正确．]√√2．与45°角终边相同的角是(

)A．－45°

B．225°

C．395°

D．－315°√D

[因为45°＝－315°＋360°，所以与45°角终边相同的角是－315°．]3．30°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．－690°

[由题意知，所得角是30°－2×360°＝－690°．]－690°4．已知－990°<α<－630°，且角α与120°角的终边相同，则α＝________．－960°

[∵角α与120°角的终边相同，∴α＝k·360°＋120°，k∈Z．又∵－990°<α<－630°，∴－990°<k·360°＋120°<－630°，k∈Z，即－1110°<k·360°<－750°，k∈Z，∴k＝－3．当k＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°．]－960°5．(教材P171练习T5改编)已知0°≤α<360°，且α与800°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．80°一

[因为800°＝360°×2＋80°，所以80°角与800°角终边相同，且0°≤80°<360°，故α＝80°，它是第一象限角．]80°一回顾本节知识，自我完成以下问题．1．任给一个角，如何判定该角所在的象限？[提示]

将角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，α所在的象限即为任意角所在的象限．2．已知角的终边范围，怎样求终边相同的角的集合？[提示]

先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后加上k·360°(k∈Z)即可．章末综合测评(一)动量守恒定律题号13524687910111213√1415一、选择题1．(多选题)下列命题中错误的是(

)A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小课时分层作业(二十九)任意角√√ACD

[只有B正确．对于A，如90°角不在任何象限；对于C，如330°角在第四象限但不是负角；对于D，钝角不一定比第三象限角小．]题号135246879101112131415题号21345687910111213√14152．(多选题)下列角中与80°终边相同的是(

)A．800° B．1160°C．1200° D．1280°AB

[与80°终边相同的角的集合为{α|α＝80°＋k·360°，k∈Z}．取k＝2，得α＝800°．取k＝3，得α＝1160°．]√3．在0°～360°范围内，与角－120°终边相同的角是(

)A．120° B．60°C．180° D．240°√题号213456879101112131415D

[与－120°终边相同角的集合为{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是240°．]√4．若α是第四象限角，则180°－α所在象限是(

)A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限题号213456879101112131415B

[如图所示，∵α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．]√

题号213456879101112131415

二、填空题6．已知角α的终边与－100°角的终边关于y轴对称，则α的取值集合为_____________________________．题号213456879101112131415{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}

[如图，－80°角与－100°角的终边关于y轴对称，因此α的取值集合为{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}．]{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________．题号213456879101112131415270°

[5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z．又∵180°<α<360°，∴α＝270°．]270°

8．若角α＝2025°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．题号213456879101112131415225°－135°

[∵2025°＝5×360°＋225°，∴与角α终边相同的角的集合为{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角为225°，最大负角为－135°．]225°－135°三、解答题9．(源自人教A版教材)写出终边在直线y＝x上的角的集合S．S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β有哪些？题号213456879101112131415[解]如图，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°．因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β有45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°．题号21345687910111213141510．已知角x的终边落在如图阴影部分区域(包括边界)，写出角x组成的集合．题号213456879101112131415[解]

(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．题号213456879101112131415√11．(多选题)角α＝－60°＋k·180°(k∈Z)的终边可能落在(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限题号21345687910111213