人大微积分考试题目及答案

人大微积分考试题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.极限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值是

A.0

B.2

C.4

D.不存在

2.函数f(x)=x^3-3x在x=0处的导数是

A.-3

B.0

C.3

D.6

3.函数f(x)=e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项是

A.1+x+x^2

B.1+x+x^2/2

C.1-x+x^2

D.1+x-x^2

4.不定积分∫(x^2+1)dx的结果是

A.x^3/3+x

B.x^3/3+x^2/2

C.x^3/3+ln|x|+C

D.x^3/3+C

5.微分方程y'=y的通解是

A.y=Ce^x

B.y=Ce^-x

C.y=Cx

D.y=Cx^2

6.函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的积分值是

A.1

B.2

C.π

D.0

7.若函数f(x)在x=a处可导，且f'(a)=3，则lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h的值是

A.3

B.6

C.9

D.0

8.曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是

A.y=2x-1

B.y=2x+1

C.y=x-1

D.y=x+1

9.函数f(x)=|x|在x=0处的导数是

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

10.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)，这是

A.中值定理

B.极值定理

C.罗尔定理

D.泰勒定理

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.极限lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)的值是_______.

2.函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-5在x=1处的导数是_______.

3.不定积分∫(sin(x)+cos(x))dx的结果是_______.

4.微分方程y''-4y'+3y=0的特征方程是_______.

5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值是_______.

6.曲线y=x^3-3x^2+2在点(2,0)处的切线方程是_______.

7.若函数f(x)在x=a处可导，且f'(a)=5，则lim(h→0)[f(a+h)-f(a)-5h]/h的值是_______.

8.函数f(x)=x^2在区间[1,3]上的积分值是_______.

9.函数f(x)=e^x在x=1处的泰勒展开式的前三项是_______.

10.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)，这是_______.

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在x=0处可导的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=sin(x)

2.下列函数中，在区间[0,1]上连续的是

A.f(x)=1/x

B.f(x)=x^2

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=|x|

3.下列极限中，值为1的是

A.lim(x→∞)(x+1)/x

B.lim(x→0)(sin(x))/x

C.lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)

D.lim(x→0)(e^x-1)/x

4.下列微分方程中，其通解为y=Ce^x的是

A.y'=y

B.y'=2y

C.y''-y=0

D.y''+y=0

5.下列函数中，在区间[0,π]上的积分值为π的是

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=cos(x)

C.f(x)=sin^2(x)

D.f(x)=cos^2(x)

6.下列中值定理中，适用于所有连续函数在闭区间上的定理是

A.中值定理

B.极值定理

C.罗尔定理

D.泰勒定理

7.下列函数中，在x=0处导数不存在的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=sin(x)

8.下列函数中，在区间[1,3]上的积分值为4的是

A.f(x)=x

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=x^4

9.下列泰勒展开式中，正确的是

A.e^x=1+x+x^2/2+...

B.sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-...

C.cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-...

D.ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-...

10.下列命题中，正确的是

A.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处连续

B.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上必有界

C.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值

D.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处的切线存在

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处连续。

2.极限lim(x→0)(sin(x))/x的值是1。

3.不定积分∫(x^2+x)dx的结果是x^3/3+x^2/2+C。

4.微分方程y''+y=0的通解是y=C1cos(x)+C2sin(x)。

5.函数f(x)=x^3-3x在x=0处的导数是0。

6.曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是y=2x-1。

7.函数f(x)=|x|在x=0处的导数不存在。

8.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

9.函数f(x)=e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项是1+x+x^2/2。

10.若函数f(x)在x=a处可导，且f'(a)=0，则f(x)在x=a处有极值。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求极限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值。

2.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数f'(x)。

3.求不定积分∫(sin(x)+cos(x))dx的结果。

4.求微分方程y''-4y'+3y=0的通解。

5.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。

6.求曲线y=x^3-3x^2+2在点(2,0)处的切线方程。

7.求函数f(x)=x^2在区间[1,3]上的积分值。

8.求函数f(x)=e^x在x=1处的泰勒展开式的前三项。

9.解释中值定理的几何意义。

10.说明函数在某点可导与在该点连续之间的关系。

试卷答案

一、选择题

1.C.4

解析：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x-2)(x+2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=4

2.B.0

解析：f'(x)=3x^2-6x+4，f'(0)=4

3.B.1+x+x^2/2

解析：e^x的泰勒展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，前三项为1+x+x^2/2

4.A.x^3/3+x

解析：∫(x^2+1)dx=x^3/3+x+C

5.A.y=Ce^x

解析：y'=y的通解为y=Ce^x

6.B.2

解析：∫(0toπ)sin(x)dx=-cos(x)|(0toπ)=-cos(π)-(-cos(0))=2

7.A.3

解析：lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h=f'(a)=3

8.A.y=2x-1

解析：y'=2x，y'(1)=2，切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1

9.D.不存在

解析：|x|在x=0处的左导数和右导数不相等，导数不存在

10.A.中值定理

解析：这是中值定理的表述

二、填空题

1.3/5

解析：lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)=lim(x→∞)(3+2/x+1/x^2)/(5-3/x+2/x^2)=3/5

2.1

解析：f'(x)=6x^2-6x+4，f'(1)=6(1)^2-6(1)+4=1

3.-cos(x)+sin(x)+C

解析：∫(sin(x)+cos(x))dx=-cos(x)+sin(x)+C

4.r^2-4r+3=0

解析：y''-4y'+3y=0的特征方程为r^2-4r+3=0

5.3

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=3，最大值为3

6.y=-2x+4

解析：y'=3x^2-6x，y'(2)=3(2)^2-6(2)=0，切线方程为y-0=0(x-2)，即y=0

7.0

解析：lim(h→0)[f(a+h)-f(a)-5h]/h=lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h-5=f'(a)-5=0

8.8/3

解析：∫(1to3)x^2dx=x^3/3|(1to3)=27/3-1/3=26/3

9.1+x+x^2/2

解析：e^x的泰勒展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，前三项为1+x+x^2/2

10.中值定理

解析：这是中值定理的表述

三、多选题

1.A,C,D

解析：f(x)=x^2在x=0处可导，f'(0)=0；f(x)=|x|在x=0处不可导；f(x)=x^3在x=0处可导，f'(0)=0；f(x)=sin(x)在x=0处可导，f'(0)=1

2.B,C,D

解析：f(x)=1/x在x=0处不连续；f(x)=x^2在x=0处连续；f(x)=sin(x)在x=0处连续；f(x)=|x|在x=0处连续

3.A,B,C,D

解析：lim(x→∞)(x+1)/x=1；lim(x→0)(sin(x))/x=1；lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=2；lim(x→0)(e^x-1)/x=1

4.A,B

解析：y'=y的通解为y=Ce^x；y'=2y的通解为y=Ce^2x；y''-y=0的通解为y=C1e^x+C2e^-x；y''+y=0的通解为y=C1cos(x)+C2sin(x)

5.A,C

解析：∫(0toπ)sin(x)dx=2；∫(0toπ)cos(x)dx=0；∫(0toπ)sin^2(x)dx=π/2；∫(0toπ)cos^2(x)dx=π/2

6.A

解析：中值定理适用于所有连续函数在闭区间上的定理；极值定理不适用于所有连续函数；罗尔定理有条件限制；泰勒定理有条件限制

7.B

解析：f(x)=x^2在x=0处可导，f'(0)=0；f(x)=|x|在x=0处不可导；f(x)=x^3在x=0处可导，f'(0)=0；f(x)=sin(x)在x=0处可导，f'(0)=1

8.A,B

解析：∫(1to3)xdx=8；∫(1to3)x^2dx=26/3；∫(1to3)x^3dx=26；∫(1to3)x^4dx=260

9.A,B,C

解析：e^x的泰勒展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...；sin(x)的泰勒展开式为x-x^3/3!+x^5/5!-...；cos(x)的泰勒展开式为1-x^2/2!+x^4/4!-...；ln(1+x)的泰勒展开式为x-x^2/2+x^3/3-...

10.A,B,C

解析：若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处连续；若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上必有界；若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值；若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处的切线存在

四、判断题

1.正确

解析：可导必连续

2.正确

解析：这是著名的极限

3.正确

解析：这是不定积分的基本规则

4.正确

解析：这是微分方程的特征方程求解

5.错误

解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(0)=0

6.正确

解析：y'=2x，y'(1)=2，切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1

7.正确

解析：|x|在x=0处的左导数和右导数不相等

8.正确

解析：这是中值定理的表述

9.正确

解析：e^x的泰勒展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，前三项为1+x+x^2/2

10.错误

解析：f'(a)=0只说明在x=a处的切线水平，不一定有极值

五、问答题

1.4

解析：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x-2)(x+2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=4

2.3x^2-6x

解析：f