利川高中数学题目及答案

利川高中数学题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.若向量a=(1,k)，b=(2,-1)，且a⊥b，则k的值是

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

3.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_3=11，则其通项公式为

A.a_n=2n+3

B.a_n=3n+2

C.a_n=4n+1

D.a_n=5n-2

4.抛掷两个骰子，记事件A为"点数之和大于8"，事件B为"点数之和为奇数"，则P(A|B)等于

A.1/6

B.1/3

C.1/2

D.2/3

5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是

A.1

B.2

C.3

D.4

6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=√13，则cosB的值为

A.1/2

B.1/3

C.2/3

D.3/4

7.已知直线l：y=kx+b与圆O：x^2+y^2=4相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则k的取值范围是

A.(-√3,√3)

B.(-2,2)

C.(-√3,0)∪(0,√3)

D.(-2,0)∪(0,2)

8.设函数f(x)=e^x-x^2，则f(x)在(-∞,+∞)上的零点个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

9.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√2/2，则其短轴长与长轴长的比值为

A.1/2

B.1/4

C.1/√2

D.1/√3

10.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于y轴对称，且最小正周期为π，则φ的可能取值为

A.kπ+π/2(k∈Z)

B.kπ(k∈Z)

C.kπ-π/2(k∈Z)

D.2kπ(k∈Z)

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且f(0)=1，f(-1)=-3，则a+b+c的值为______

2.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则其公比q的值为______

3.已知向量u=(3,4)，v=(-1,2)，则向量u+v的模长为______

4.设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,5}，B={2,4,6}，则(A∪B)'的元素个数为______

5.函数f(x)=log_2(x+1)在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为______

6.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线x+y=1的距离为√2/2，则点P的轨迹方程为______

7.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为______

8.设圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=r^2，若圆C与直线y=x+1相切，则r的值为______

9.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosC的值为______

10.若复数z=1+i满足z^2=a+bi(a,b∈R)，则b的值为______

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是

A.y=x^2

B.y=2^x

C.y=log_x(2)

D.y=sin(x)

2.已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的可能取值为

A.1

B.2

C.3

D.-1/2

3.下列命题中，真命题是

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a>b，则√a>√b

C.若a>b，则1/a<1/b

D.若a>b>0，则log_a(b)>log_b(a)

4.已知函数f(x)=x^3-ax+1，则下列说法中正确的是

A.存在a使得f(x)在(-∞,+∞)上单调递增

B.存在a使得f(x)在(-∞,+∞)上单调递减

C.存在a使得f(x)恰有一个零点

D.存在a使得f(x)恰有两个零点

5.下列方程中，表示圆的方程是

A.x^2+y^2-2x+4y-1=0

B.x^2+y^2+2x-4y+5=0

C.x^2+y^2+2x+2y+4=0

D.x^2+y^2-4x+6y-9=0

6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，下列说法中正确的是

A.若φ=kπ(k∈Z)，则f(x)的图像关于x轴对称

B.若ω=2，φ=π/4，则f(x)的最小正周期为π

C.若f(x)的最小正周期为2π，则ω=1

D.若f(x)的最小正周期为π，则ω=2

7.下列不等式成立的是

A.log_2(3)>log_2(4)

B.2^3<3^2

C.(-2)^3<(-3)^2

D.sin(π/6)>cos(π/6)

8.已知等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=17，则下列说法中正确的是

A.a_10=37

B.S_10=255

C.a_n=2n-1

D.S_n=n^2

9.下列命题中，真命题是

A.过圆外一点作圆的两条切线长相等

B.垂直于弦的直径平分弦

C.相等的圆周角所对的弧相等

D.圆的直径是过圆心且端点在圆上的线段

10.已知函数f(x)=e^x-x，下列说法中正确的是

A.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增

B.f(x)在(-∞,+∞)上存在唯一零点

C.f(x)的最小值为-1

D.f(x)的图像关于y=x对称

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x+1在x=0处取得极值

2.若向量a=(1,2)，b=(3,6)，则a与b共线

3.等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_5=32，则其公比q=2

4.抛掷一个骰子，事件"出现偶数点"与事件"出现点数大于4"互斥

5.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值为0

6.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC为直角三角形

7.圆x^2+y^2=1与直线x+y=1相交于两点

8.函数f(x)=e^x在(-∞,+∞)上单调递增

9.椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率为√5/3

10.复数z=1+i满足z^2=2i

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[-1,4]上的最大值与最小值

2.已知向量a=(3,4)，b=(1,-2)，求向量a+2b的坐标

3.求等差数列{a_n}中，前n项和S_n的最大值，已知a_1=-10，d=3

4.某校有学生1000人，其中男生600人，女生400人，现随机抽选3人，求抽到至少2名男生的概率

5.求圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标与半径

6.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，求其最小正周期

7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，c=8，求cosA的值

8.求过点(1,2)且与直线y=3x-1垂直的直线方程

9.已知椭圆x^2/16+y^2/9=1，求其焦点坐标

10.若复数z=a+bi满足z^2=a-bi，求实数a、b的值

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A.解析：f'(x)=3x^2-a，由题意f'(1)=0，即3-a=0，得a=3。

2.B.解析：a·b=1×2+k×(-1)=0，得k=2。

3.B.解析：由a_3=a_1+2d，得11=5+2d，解得d=3，则a_n=5+(n-1)×3=3n+2。

4.C.解析：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，事件A∩B为点数之和为9或11，P(A∩B)=(4+2)/36=1/6，P(B)=3/6=1/2，故P(A|B)=(1/6)/(1/2)=1/3。

5.C.解析：f(x)在x=-2和x=1处取得极值，f(-2)=3，f(1)=2，故最小值为2。

6.C.解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+13-9)/(2×2×√13)=2/3。

7.C.解析：圆心到直线距离d=|1×1+2×(-1)|/√(1^2+(-1)^2)=√2/2，故r^2-(√2/2)^2=3，得r=√3，k的取值范围使圆与直线相交，即|k|<r，故-√3<k<√3。

8.B.解析：f'(x)=e^x-2x，令f'(x)=0，得e^x=2x，此方程在(0,1)内有唯一解，故f(x)在(0,+∞)上只有一个零点。

9.A.解析：e=c/a=√(a^2-b^2)/a=√(1-(b^2/a^2))，由e=√2/2，得b/a=1/√2，故b/a=1/2。

10.A.解析：f(x)关于y轴对称，则sin(ωx+φ)=sin(-ωx+φ)，得φ=kπ+π/2(k∈Z)。

二、填空题答案及解析

1.1.解析：f(1)=a×1^2+b×1+c=0，f(0)=c=1，f(-1)=a×(-1)^2+b×(-1)+c=-3，由a-b+1=-3，得a-b=-4，联立a+b+c=a+b+1=-4+1=-3。

2.3.解析：由a_4=a_2·q^2，得54=6·q^2，解得q^2=9，故q=3。

3.5√2.解析：|u+v|=√((3-1)^2+(4+2)^2)=√(4+36)=√40=5√2。

4.2.解析：(A∪B)'=U-(A∪B)=U-A-B={1,2,3,4,5,6}-{1,3,5}-{2,4,6}={5}，元素个数为1。

5.2.解析：f(x)在[-1,3]上单调递增，故最大值为f(3)=log_2(3+1)=log_2(4)=2，最小值为f(-1)=log_2(0+1)=log_2(1)=0，差为2-0=2。

6.x^2+y^2=1/2.解析：点P(x,y)到直线x+y-1=0的距离为|x+y-1|/√2=√2/2，平方得(x+y-1)^2=1/2，展开得x^2+2xy+y^2-2x-2y+1=1/2，即x^2+y^2+2xy-2x-2y=0，由2xy=(x+y)^2-x^2-y^2，代入得x^2+y^2+(x+y)^2-x^2-y^2-2x-2y=0，即x^2+y^2-2x-2y=0，故轨迹方程为x^2+y^2=1/2。

7.3.解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得x=1±√3/3，f(-1)=5，f(1)=-1，f(3)=2，故最大值为max{5,-1,2}=5。

8.5.解析：圆心(1,-2)到直线y=x+1的距离d=|1×1+(-2)×1+1|/√(1^2+(-1)^2)=|0|/√2=0，由圆与直线相切，得r=d=√2，故r=5错误，应为√2。

9.3/4.解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(9+16-25)/(2×3×4)=0，故cosC=3/4。

10.-1.解析：z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i，故a+bi=2i，得a=0,b=2，故b=-1。

三、多选题答案及解析

1.AB.解析：y=x^2在(0,+∞)上单调递增；y=2^x在(0,+∞)上单调递增；y=log_x(2)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；y=sin(x)非单调。

2.AC.解析：A={2,3}，若B⊆A，则B为空集或{2}或{3}，若B为空集，则a=0；若B={2}，则2a=1，a=1/2；若B={3}，则3a=1，a=1/3；故a的可能取值为0,1/2,1/3。选项中只有A和B包含在解集中。

3.CD.解析：A.反例：a=1,b=-2，则a>b但a^2=1<b^2=4；B.反例：a=1,b=-2，则a>b但√a=1>√b=-√2；C.正确，若a>b>0，则1/a<1/b；D.正确，若a>b>0，则log_a(b)<0<log_b(a)。

4.AD.解析：若a=0，f(x)=x^3+1，f'(x)=3x^2>0，故在(-∞,+∞)上单调递增；若a=6，f(x)=x^3-6x+1，f'(x)=3x^2-6，在(-∞,-√2)和(√2,+∞)上单调递增，在(-√2,√2)上单调递减，故A正确，B错误。若a=0，f(x)=x^3+1，有唯一零点x=-1；若a=6，f(x)=x^3-6x+1，f(-3)=-17<0,f(0)=1>0,f(3)=10>0,f'(x)=3x^2-6，在(-√2,√2)上单调递减，故在(-3,-√2)上单调递减，在(-√2,√2)上单调递减，在(√2,3)上单调递增，由f(-3)<0,f(-√2)>0,f(√2)<0,f(3)>0，可知有三个零点，故C错误，D正确。

5.AD.解析：A.x^2+y^2-2x+4y-1=0可化为(x-1)^2+(y+2)^2=5，表示以(1,-2)为圆心，√5为半径的圆；B.x^2+y^2+2x-4y+5=0可化为(x+1)^2+(y-2)^2=2，表示以(-1,2)为圆心，√2为半径的圆；C.x^2+y^2+2x+2y+4=0可化为(x+1)^2+(y+1)^2=0，表示一个点(-1,-1)，不是圆；D.x^2+y^2-4x+6y-9=0可化为(x-2)^2+(y+3)^2=16，表示以(2,-3)为圆心，4为半径的圆。

6.BD.解析：A.若φ=kπ(k∈Z)，则f(x)=sin(ωx+kπ)=-sin(ωx)，图像关于x轴对称，但最小正周期为2π/|ω|；B.若ω=2，φ=π/4，则f(x)=sin(2x+π/4)，最小正周期为2π/2=π；C.若f(x)的最小正周期为2π，则|ω|=2π/2π=1；D.若f(x)的最小正周期为π，则|ω|=2π/π=2。

7.AC.解析：A.log_2(3)=log_2(3/2+1/2)<log_2(4/3+1)=log_2(4)=2；B.2^3=8<9=3^2；C.(-2)^3=-8<-4=(-3)^2；D.sin(π/6)=1/2，cos(π/6)=√3/2，1/2<√3/2，故不成立。

8.ABCD.解析：a_5=a_1+4d=17，由a_1=1，得4d=16，d=4，故a_n=1+(n-1)×4=4n-3，a_10=4×10-3=37；S_10=(10/2)(a_1+a_10)=5×(1+37)=190；a_n=4n-3，令4n-3=0，得n=3/4，非整数，故数列无零项，故S_n不为n^2。

9.AD.解析：A.正确，过圆外一点作圆的两条切线长祖等；B.正确，垂径定理；C.错误，应在同圆或等圆中；D.正确，直径是过圆心且端点在圆上的线段。

10.ABCD.解析：f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0，得x=0，f(0)=e^0-0=1，故f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1，故在(-∞,+∞)上存在唯一零点；f(x)的最小值为1，不是-1；f(x)与y=x互为反函数，图像关于y=x对称。

四、判断题答案及解析

1.正确.解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，f(-1)=5，f(1)=-1，故x=1处取得极大值。

2.正确.解析：a与b共线当且仅当存在λ使得a=λb，即(1,2)=λ(3,6)，得1=3λ，2=6λ，解得λ=1/3，故a与b共线。

3.正确.解析：由a_5=a_1·q^4，得32=1·q^4，解得q=2。

4.错误.解析：事件"出现偶数点"为{2,4,6}，事件"出现点数大于4"为{5,6}，两事件可以同时发生（如出现6点），故不互斥。

5.错误.解析：f(x)在x=1处取得极小值f(1)=0，在x=0处取得极大值f(0)=1，故最小值为0。

6.正确.解析：a^2+b^2=c^2，故△ABC为直角三角形。

7.错误.解析：圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d=|0+0-1|/√2=1/√2，小于半径1，故相交，但需计算交点是否存在，由(x-1)^2+(y-1)^2=1/2，(x-1)^2+(-x)^2=1/2，2x^2-2x+1=1/2，2x^2-2x=-1/2，4x^2-4x=-1，判别式Δ=(-4)^2-4×4×(-1)=16+16=32>0，故有两个交点。

8.正确.解析：f'(x)=e^x>0，故f(x)在(-∞,+∞)上单调递增。

9.错误.解析：e=√(a^2-b^2)/a=√(16-9)/4=√7/4。

10.错误.解析：z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i，故a+bi=2i，得a=0,b=2。

五、问答题答案及解析

1.最大值为9，最小值为-5.解析：f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)，令f'(x)=0，得x=1或3。f(-1)=5，f(1)=1，f(3)=-5，f(4)=1，故最大值为max{5,1,-5,1}=9，最小值为min{5,1,-5,1}=-5。

2.(1,0).解析：u+2b=(3,4)+2(-1,2)=(3-2,4+4)=(1,8).

3.S_4=-2.解析：a_n=-10+(n-1)×3=3n-13，S_n=n/2(a_1+a_n)=n/2(-10+3n-13)=3n^2/2-12n。S_n'=3n-6，令S_n'=0，得n=2，n=2时S_n取最小值S_2=-16，n=4时S_n取最大值S_4=3×4^2/2-12×4=24-48=-24。

4.15/20.解析：P(至少2名男生)=P(2男1女)+P(3男)=C(3,2)×(600/1000)^2×(400/1000)+(600/1000)^3=3×(36/1000)×(4/10)+(216/1000)×(4/1000)=(432/10000)+(864/1000000)=43200/1000000+864/1000000=43664/1000000=546/1250=273/625.

5.圆心(2,-3)，半径4.解析：方程可化为(x-2)^2+(y+3)^2=16+9-3=22，故圆心为(2,-3)，半径为√22。

6.π.解析：T=2π/|ω|=2π/2=π.

7.√11/6.解析：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/(2×7×8)=88/(112)=11/14，故sinA=√(1-cos^2A)=√(1-(121/196))=√(75/196)=5√3/14，cosA=√11/6.

8.y=-3x+5.解析：所求直线斜率为-1/3，故方程为y-2=(-1/3)(x-1)，即y=-1/3x+1/3+2=-1/3x+7/3.

9.(-√7,√7).解析：a^2=16,b^2=9,c^2=a^2-b^2=16-9=7，故c=√7，焦点坐标为(-√7,0)和(√7,0).

10.a=0,b=2.解析：z^2=a+bi，由z=a+bi，得(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=a+bi，比较实部得a^2-b^2=a，比较虚部得2ab=b，由b不为0，得2a=1，a=1/2，代入a^2-b^2=a得(1/2)^2-b^2=1/2，1/4-b^2=1/2，b^2