初中数学三角形几何证明训练题

初中数学三角形几何证明训练题三角形作为平面几何的基石，其性质与判定的应用贯穿整个初中阶段。几何证明不仅是对逻辑思维能力的锤炼，也是中考数学的重点与难点。下面，我们将通过几道典型例题，深入探讨三角形几何证明的常用思路与方法，希望能为同学们提供有益的启发。一、夯实基础：全等三角形的判定与性质例题1：已知：如图，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。思路分析：要证明两个三角形全等，我们首先回顾全等三角形的判定定理（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）。本题中已知两组边对应相等（AB=DE，AC=DF），若能证明第三组边也相等（BC=EF），即可利用“SSS”判定全等。观察到BE=CF，根据等式的性质，在等式两边同时加上公共部分EC，即可得到BC=EF。证明过程：∵BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式的性质）即BC=EF在△ABC和△DEF中，AB=DE（已知）AC=DF（已知）BC=EF（已证）∴△ABC≌△DEF（SSS）小结：本题直接考察“SSS”判定定理的应用，关键在于通过简单的等量代换得到第三组对应边相等。在初学阶段，务必牢记各判定定理的条件，并能准确识别图形中的已知条件和隐含条件（如公共边、公共角、对顶角等）。二、灵活运用：等腰三角形的性质与判定例题2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD。求证：∠ADB=∠BAC。思路分析：题目中给出了两个等腰三角形：△ABC（AB=AC）和△ABD（AD=BD）。我们知道，等腰三角形的两个底角相等，这是角的等量关系的重要来源。要证明∠ADB=∠BAC，我们可以通过计算这两个角的度数，或者找到它们与中间角的关系进行转化。设∠B为x度，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理，表示出∠ADB和∠BAC，再进行比较。证明过程：∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）∵AD=BD（已知）∴∠B=∠BAD（等边对等角）设∠B=x，则∠C=x，∠BAD=x。在△ABD中，∠ADB+∠B+∠BAD=180°（三角形内角和定理）∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-x-x=180°-2x。在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-x-x=180°-2x。∴∠ADB=∠BAC（等量代换）小结：利用代数方法（设未知数）解决几何角度问题，是一种非常有效的手段，尤其在等腰三角形中，通过设底角或顶角为未知数，可以将复杂的角度关系清晰地表示出来。本题还体现了“等边对等角”性质的反复应用。三、综合提升：利用辅助线构造全等或等腰三角形例题3：已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：AB+BD=AC。思路分析：要证明两条短线段之和等于一条长线段（AB+BD=AC），常见的方法有“截长法”和“补短法”。“截长法”是在AC上截取一段等于AB或BD，再证明剩余部分等于另一段；“补短法”是延长AB或BD，使延长部分等于另一段，再证明整体等于AC。考虑到AD是角平分线，角平分线所在直线是对称轴，我们可以尝试在AC上截取AE=AB，构造全等三角形△ABD≌△AED，从而将BD转化为DE，再证明EC=DE即可，这需要用到“等角对等边”的性质。证明过程：在AC上截取AE=AB，连接DE。∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAD=∠EAD（角平分线的定义）在△ABD和△AED中，AB=AE（已作）∠BAD=∠EAD（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED（全等三角形对应边相等）∠B=∠AED（全等三角形对应角相等）∵∠B=2∠C（已知）∴∠AED=2∠C（等量代换）∵∠AED是△DEC的一个外角（外角定义）∴∠AED=∠C+∠EDC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴2∠C=∠C+∠EDC（等量代换）∴∠C=∠EDC（等式性质）∴ED=EC（等角对等边）∵BD=ED（已证）∴BD=EC（等量代换）∵AC=AE+EC（线段的和差关系）AE=AB，EC=BD（已证）∴AC=AB+BD（等量代换）即AB+BD=AC。小结：辅助线的添加是几何证明的灵魂。当直接证明遇到困难时，构造全等三角形或等腰三角形是常用策略。本题的“截长法”充分利用了角平分线的对称性，将分散的线段和角集中起来，从而使问题得以解决。同学们在平时练习中要多积累辅助线添加的经验，并思考其背后的原理。四、巩固练习与思考几何证明能力的提升非一日之功，需要同学们在理解基本概念和定理的基础上，进行大量有针对性的练习，并注重反思和总结。在面对一道新的证明题时，首先要仔细审题，标记已知条件和求证结论；其次，要联想相关的定理和已做过的类似题目，寻找解题的突破口；最后，规范书写