广东省惠州市2026届高三上学期第二次调研考试 数学试卷

惠州市2026届高三第二次调研考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．复数（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则A． B． C． D．3．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设函数，则（

）A．在单调递增 B．在单调递减C．在单调递增 D．在单调递减5．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．6．已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（

）A． B． C．1 D．7．已知数列的前n项和为，，，则（

）A．414 B．406 C．403 D．3938．在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、多选题9．已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（

）A． B． C． D．10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的离心率B．的最小值为C．若，则的周长为D．双曲线上存在不同两点关于点对称11．已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（

）A． B．C． D．第II卷（非选择题）三、填空题12．已知向量，，若，则.13．已知函数，若，则.14．一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有种.四、解答题15．已知函数，，且.(1)求的对称中心；(2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.设为角终边上的一点，求.16．如图，在四棱柱中，平面，，，，，，分别为，的中点.

(1)求证：平面；(2)求直线到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的余弦值.17．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：序号12345678910成绩/分38414451545658647480记，分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且.(1)求；(2)若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；(3)经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望.附：若，则，，.18．已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)求的角平分线所在直线的方程；(3)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由.19．已知函数的最小值为0，其中．(1)求的值；(2)若对任意的，有成立，求实数的最小值；(3)证明：．

参考答案1．D【详解】.故选：D2．B【详解】解方程可得.故选B.3．B【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立；若，则，而，故充分性不成立，“”是“”的必要不充分条件.故选：B4．C【详解】函数定义域为，故排除A、B，对于C，D，由复合函数的单调性知在上单调递增，且在上单调递增，则在单调递增，C正确，D错误；故选：C.5．A【详解】由题意可知，三棱锥的体积等于圆锥的体积，圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，所以圆锥的底面周长为，故圆锥的底面半径为1，母线为3，所以圆锥的高为，则圆锥的体积，从而所求三棱锥的体积为.故选：A6．B【详解】抛物线的准线为：，过，作准线的垂线，垂足为，，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，因为，是该抛物线上的两点，故，，所以，又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选：B.7．B【详解】由，两式相减得，即.再由，两式相减得，由，得，故为以14为首项，8为公差的等差数列，故，故.故选：B8．B【详解】由得，由正弦定理（为外接圆半径）得，，因为，所以，若，由余弦定理得，，所以为锐角，则，即，由于，，则，所以，矛盾.故，即，所以，即，又因为，，所以（当且仅当时取“＝”号），所以的最小值为4.故选：B.9．ABD【详解】因为，可得，即，又因为是正项等比数列，所以，可得，解得，所以A正确；数列的通项公式为，所以B正确；则，所以C不正确；由，则，，所以，所以D正确.故选：ABD10．AC【详解】双曲线：，，，，，.选项A，，故A正确；选项B，设，则，则，，因为，所以，所以，当或，等号成立，故B错误；选项C，由，可得，又，所以，故，则，所以的周长为，故C正确；选项D，设不同两点，关于点对称，则，，因为点在双曲线上，所以，两式相减并化简得，则，即，此时直线：，即.代入双曲线方程整理得，此时，这与、是双曲线上不同的两点矛盾，故D错误.故选：AC.11．ACD【详解】对于A：令，则，即，又函数不是常数函数，所以，即，故A正确；对于B：令，则，所以，即，故B错误；对于C：令，，则，再令，，则，由可知，当时，，则，故C正确；对于D：令，则，所以，则，，又，所以，即，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ACD.12．1【详解】由得，，所以，解得.故答案为：1.13．2【详解】由题意得，则，所以，故.故答案为：214．【详解】由，可得，所以.不妨设，则，还有一个数为，显然，，对于任意取值，都有如下情况，当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；当时，三个数为，，，对应，，，有种方法.因为，所以一共有种.故答案为：.15．(1)（）(2)【详解】（1）由条件得，又，所以，所以，令（）.得，所以的对称中心为（）.（2）（法一）由为角终边上的一点，故，，由三角函数的图象变换性质可得，所以，又，，从而（法二）由为角终边上的一点，则，，由三角函数的图象变换性质可得，.16．(1)证明见解析；(2)；(3)；【详解】（1）取中点，连接，，如图：

由是的中点，故，且，由是的中点，故，且，则有，，故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面.（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图：

有，，，，，，，则有，，，（1）知平面，故点到平面的距离即为到平面的距离.设平面的法向量为，则有，取，则有，，即，又，则有，即点到平面的距离为.（3）设平面的法向量为，则有，取，则有，，故，平面的法向量，所以，故平面与平面的夹角余弦值为.17．(1)56(2)分布列见解析，(3)【详解】（1）.（2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以的可能取值为0，1，2，3.因为，，，.所以的分布列为0123期望.（3）因为，，所以，，因为，所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，故，所以.18．(1)(2)(3)存在，当时，使得恒为定值【详解】（1）设椭圆方程为（），因为椭圆经过点，所以，又离心率，，解得，，故椭圆的方程为.（2）法一：，，，则直线方程为，直线方程为，设角平分线上任意一点为，则，得或，因为斜率为正，所以直线方程为.法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），由于，则，故，由于是锐角，则，，所以，直线的斜率为，故直线的方程为.法三：设角平分线与轴交于点，则，即，故，得，所以，所以，故直线的方程为.（3）设直线方程为，联立得，设，，则，，则，故当时，使得恒为定值.19．(1)；(2)；(3)