黑龙江省大庆市2026届高三上学期第二次教学质量检测 数学试卷

黑龙江省大庆市2026届高三第二次教学质量检测数学试题一、单选题1．已知复数，则（

）A．2 B． C．1 D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，则（

）A． B． C． D．4．已知向量，若，则实数（

）A． B． C． D．5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（

）A． B． C． D．6．已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（

）A．4049 B．4050 C．4051 D．40527．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（

）A．4 B．2 C．0 D．8．已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．函数的部分图象如图所示，若是的两个零点，则下列说法正确的是（

）A．B．的图象关于直线对称C．的最小值为D．若在区间上至少有10个零点，则实数的最小值为11．已知正方体的棱长为3，则下列说法正确的是（

）A．平面B．三棱锥的外接球的表面积为C．若该正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹长度是D．若该正方体的内切球表面上的动点满足平面，则线段长度的最小值为三、填空题12．若抛物线的准线方程为，则.13．已知，若直线与曲线相切，则.14．已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则.四、解答题15．在中，角的对边分别为，且.(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长.16．已知数列满足.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，若数列的前项和为，求证：.17．如图，在三棱锥中，底面.已知是的中点，且.

(1)证明：平面；(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.18．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴.过点作椭圆的切线，交轴于点，过点的直线交椭圆于两点.(1)求椭圆的方程；(2)若为椭圆的中心，求面积的最大值；(3)过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上.19．已知函数有两个不同的零点，分别记为，且.(1)求实数的取值范围；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)有两组正实数，且.证明：.

参考答案1．B【详解】复数满足，则.故选：B.2．A【详解】因为函数在上单调递增，所以，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．A【详解】因为的定义域为，所以，所以.故选：A.4．D【详解】因为，所以.因为，所以，所以，解得.故选：D.5．B【详解】由题意可知，，所以.故选：B6．C【详解】由得，因为，所以，所以由和得，所以，，故使得的的最小值为4051.故选：C7．B【详解】因为是偶函数，所以，所以，即，又因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以，所以函数以4为周期,即，所以.故选：B8．D【详解】由双曲线的定义，可得，，两式相加得，因为，所以，又因为，所以，当轴时，此时最小，此时，所以，因为，可得，整理得，两边除以，可得，又因为，解得，所以双曲线的离心率取值范围是.故选：D

9．BC【详解】对A，当时，不成立，故A错误；对B，若，则，由不等式的性质，故B正确；对C，若，则，C正确；对D，若，不妨取，则，D错误.故选：BC.10．ACD【详解】由图象知，，则，根据周期公式，可得，故A正确；又因为，解得，代入得，因为，所以，所以，令可得对称轴方程，当时，故B错误，因为是的两个零点，令，则，所以或，解得，或，根据题意，取，所以，当时，，故C正确；由C知在上的10个零点依次为：.由在区间上至少有10个零点，则.所以的最小值为，故D正确；故选：ACD.11．ABD【详解】如图：

对于A：在正方体中，，平面平面，所以平面，故A正确；对于B：三棱锥与正方体有相同的外接球，所以外接球的半径，所以，故B正确；对于C：当平面时，因为平面平面，所以，因为，所以，所以点的运动轨迹是以为圆心，半径为的圆的，其长度是；同理，当点为正方形或内部及边界上的动点时，点的轨迹长度均为；当点为正方形内部及边界上的动点时，若，则；若，则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆的，其长度是；同理，当点为正方形或内部及边界上的动点时，点的轨迹长度均为，所以动点的轨迹长度为.故C不正确；对于D：在正方体中，平面平面，因为点满足平面，所以点在平面上.又因为点在正方体的内切球表面上，所以点的轨迹为正三角形的内切圆，记圆心为.

则的最小值为，故D正确.故选：ABD12．4【详解】因为准线方程为，故，所以.故答案为：4.13．【详解】由得，设直线与曲线相切于点，则，解得，代入，可得.故答案为：.14．2646【详解】因为，所以前项和.所以当时，因为，所以，可得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以，即.当时，，又满足上式，所以.新数列中从到共有项.当时，；当时，.所以.故答案为：2646.15．(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得：，在三角形中，所以，即，因为，所以，因为，所以（2），所以，由余弦定理得，所以，则，所以的周长为.16．(1)证明见解析，(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，又，所以，因为，所以，结合以上递推关系可知，，则，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以数列的通项公式为；（2）由（1）知，由得，所以因为得，数列为单调递增数列，所以，所以.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为底面平面，所以.又平面，所以平面.又平面，所以.又为的中点，所以.因为平面，所以平面.又平面，所以.又平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，垂足为.所以为与平面所成的角.因为底面平面，所以，所以.由，所以.所以，所以.由（1）知，，而，所以.所以，所以，所以.

以A为原点，过A作垂直于的直线轴，以所在直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则，因为为中点，所以.且.设平面的一个法向量为，则，取，则.平面，所以平面的一个法向量可取.设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）由题意可知，解得，所以椭圆的方程为.（2）易知过点且与椭圆相切的直线斜率存在，因此可设该直线方程为.

联立直线与椭圆，整理得，令，整理得，解得.所以过点的切线方程为：，再令，得.所以点的坐标为.由题知，经过点的直线的斜率不为0，设直线方程为联立直线与椭圆，整理得令解得因为点到直线的距离，所以令，则，当且仅当时取到最大值为；（3）设线段的中点为，由（2）可知所以，直线的方程为，则.于是，.所以因为，所以，即因此点在直线上，即线段中点在定直线上.19．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由参变分离得有两个不同的零点，求导分析单调性，结合函数图像即可求解；（2）由题知，不等式转化为，令，则，进而得，令，求导再利用导数确定最值即可；（3）设，再证：即可.【详解】（1）函数有两个不同的零点，所以，即有两个不同的解，令，由得，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以，当时，；当时，所以.注：函数的图像如下，（2）因为有两个不同的零点，由题知，且，即，相减得到：因为恒成立，即恒成立，所以恒成立.设，则时，不等式恒成立，因为进而得在时恒成立，设，则，即，又因为且，