陕西省商洛市镇安中学2026届高三上学期1月期末数学试题

高三数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的基本运算和集合关系即可作出判断.【详解】，故A错误；，故B错误；因为，但，所以，故C错误，因为中的任意元素满足，则必有，即也在中，所以，D正确；故选：D2.曲线在处的切线的斜率为（）A.4 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数来求斜率即可.【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为.故选：B.3.在的展开式中，系数最大的项是（）A.第109项 B.第110项 C.第111项 D.第112项【答案】C【解析】【分析】利用二项式系数性质即可得到判断.【详解】在的展开式中，系数最大的项是，是第111项.故选：C.4.已知一组样本数据1，2，4，4，9，则该组数据的（）A.平均数是30%分位数和极差的等比中项B.30%分位数是平均数和极差的等比中项C.平均数是30%分位数和极差等差中项D.30%分位数是平均数和极差的等差中项【答案】A【解析】【分析】利用百分位数，平均数，极差，等比中项的概念进行求解判断即可.【详解】因为5×30%=1.5，所以该组数据的30%分位数为2，因为该组数据的平均数为，极差为，所以该组数据的平均数是30%分位数和极差的等比中项，故选：A.5.若抛物线：的焦点为，是上的一个动点，点，则的最小值为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线：焦点，准线方程为，过点作准线，垂足为，则，所以，当且仅当、、三点共线时取等号.故选：B6.设向量，，则的最大值为（）A.13 B.8 C.5 D.10【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积坐标表示结合三角恒等变换即可求出答案.【详解】，其中，当时，取得最大值8.故选：B.7.从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析挖去部分的形状，再分别计算正方体剩余部分的表面积和挖去部分的表面积，最后将两部分面积相加得到几何体Ω的表面积.【详解】根据题意易得是由正方体，挖去个以4为半径的球所得，所以的表面积为.故选：D8.已知某超市的某商品每月的销售量y（单位：千袋）与销售价格x（单位：元/袋）满足函数关系式.已知该商品的成本为3元/袋，则该超市每月销售该商品获得的利润的最小值为（）A.30000元 B.50000元 C.40000元 D.48000元【答案】C【解析】【分析】列出每月销售该商品所获得的总利润Z元与售价元和每月销量千袋之间的函数关系式，再利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】设每月销售该商品所获得的总利润为Z元，该商品每袋的利润为元，每月的销售量为袋，则，因为，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以该超市每月销售该商品获得的利润的最小值为40000元.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若函数的最小正周期为，则（）A.B.的图象关于点对称C.函数是奇函数D.将的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合【答案】AB【解析】【分析】根据周期公式求出的值，即可判断A；由选项A得到函数的解析式，求出其对称中心，即可判断B；求出函数的解析式，并判断其奇偶性，即可判断C；将的图象向右平移个单位长度，得到的解析式，并判断它与函数的关系，即可判断D.【详解】由题意可知，解得，故A正确；可知.令，解得.当时，可得.所以的图象关于点对称，故B正确；因为，令，因为，所以函数是偶函数，即是偶函数，故C错误；将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，与的图象不重合，故D错误.故选：AB10.已知函数，则（）A.在上存在零点 B.的零点个数为1C. D.在上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】利用对数的运算对进行转化可得到，可判断C；证明，根据零点存在性定理即可判断A；对求导，利用导函数与函数单调性的关系可判断D；结合A选项可判断B.【详解】，故C错误；易得在上连续，又，所以，则在上存在零点，故A正确；，设函数，则，所以在上单调递增，所以，所以，则在上单调递减，故D正确；因为在上单调递减，结合A选项，可得仅有1个零点，故B正确.故选：ABD.11.记到两定点、的距离之积为的动点的轨迹为，则（）A.经过点B.直线与恰有个公共点C.上所有点的横坐标的绝对值均不大于D.当点在椭圆上，且时，点在上【答案】ACD【解析】【分析】利用曲线的定义可判断A选项；求出曲线的方程，将直线的方程与曲线的方程联立，求出方程组的公共解，可判断B选项；由可得出关于的不等式，解出的取值范围可判断C选项；分析可知、为椭圆的焦点，利用椭圆的定义以及勾股定理、曲线的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，，故点在曲线上，A正确；对于B选项，设点在曲线上，则，即，即，所以.由，得，得，则，则直线与只有个公共点，B错误；对于C选项，因为，所以，可得，解得，则，C正确；对于D选项，在椭圆中，，，则，所以、为椭圆的焦点，所以，因为，所以，则，得，所以点在上，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数的共轭复数为_____.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算和共轭运算即可.【详解】因为，所以复数的共轭复数为.故答案为：13.若直线：截圆C：所得弦长为整数，则这样的有_____条.【答案】4【解析】【分析】先确定圆的圆心，半径及直线所过的定点，通过分析得到过点的弦长的取值范围，即可得到弦长为整数的直线的条数，特别注意直线斜率不存在的情况.【详解】由圆的方程可知圆心，半径为5.将变形为，可知直线过定点，则，当过点的弦与垂直时，弦长最短，最短弦长为，最长弦长为直径10，则弦长可能为8，9，10.因为直线截C所得弦长为8，所以满足题意的有4条.故答案为：414.已知数列满足，且，则_____.【答案】【解析】【分析】通过构造新数列的方法，将给定的递推公式转化为一个等比数列的形式，进而可求出数列的通项公式.【详解】设，则.由，解得.又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.，.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.（1）求的面积；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，即可求角，再利用面积公式求解即可；（2）利用余弦定理求边，再用正弦定理求角即可.【小问1详解】因为，所以，因为，，所以，得.所以的面积.【小问2详解】因为为锐角三角形，所以.由余弦定理可得，所以由正弦定理，则解得.16.某市配备两支应急支援小队，承担日常民生保障任务.社区支援队由3名负责水电维修的男队员和3名负责物资协调的女队员组成，城区保障队由3名负责应急搬运的男队员和1名负责医疗急救的女队员组成.（1）现需随机调派一支小队执行临时民生保障任务，调派社区支援队的概率为，调派城区保障队的概率为.再从被调派的小队中随机选1名队员执行一线任务，求选中男队员的概率.（2）因城区保障队物资仓库整理任务繁重，需从社区支援队随机抽调2名队员支援.记支援后城区保障队中男队员与女队员的人数之差为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，2【解析】【分析】（1）利用全概率公式即可求解；（2）所有可能取值为0，2，4，分别求得概率即可得到分布列，利用期望公式即可求出期望.【小问1详解】设事件为“调派社区支援队”，事件为“调派城区保障队”，事件为“选中男队员”，则.所以选中男队员的概率为.【小问2详解】从社区支援队抽调2名女队员，支援后城区保障队中有3名男队员，3名女队员，，从社区支援队抽调1名男队员1名女队员，支援后城区保障队中有4名男队员，2名女队员，，从社区支援队抽调2名男队员，支援后城区保障队中有5名男队员，1名女队员，，的所有可能取值为0，2，4，，，，所以的分布列为024数学期望.17.如图，在三棱台中，平面，为等边三角形，，，，D，E分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）取的中点F，通过证明四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据线面垂直，面面垂直的判定定理证明即可；（3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及平面的法向量，根据公式先求出两个半平面的夹角的余弦值，再结合图形，判断二面角是锐角还是钝角，即可得解.【小问1详解】取的中点F，连接，.E为的中点，，是三棱台，，，，四边形为平行四边形，.平面，平面，平面；【小问2详解】平面，平面，.为等边三角形，E为的中点，.，平面,平面.平面，平面平面；【小问3详解】取的中点，连接，.，平面.为等边三角形，，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，即.令，则，.易知是平面的一个法向量.，且由图可知二面角为锐角，二面角的余弦值为.18.已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且.（1）求C的方程.（2）若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程.（3）设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）是，定值是.【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式可得，再利用两点间距离公式即可求解C的方程；（2）利用点差法来求中点弦斜率，即可得中点弦直线方程；（3）利用直线与双曲线联立方程组，由韦达定理来证明斜率比值为定值即可.【小问1详解】设，因为是以为底边的等腰三角形，所以，即，因为，所以，又由，所以可得，则，即，所以C的方程为；【小问2详解】设，，则，两式相减得.因为P，Q关于点对称，所以，，则，所以直线的方程为，即.【小问3详解】如图，作出符合题意的图形，设，，直线的方程为.由，得到，则且，由韦达定理得，，则，即为定值，定值是.19.已知函数，.（1）求函数的单调区间.（2）设，且.（i）证明：.（ii）证明：.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数来判断函数单调区间即可；（2）（i）根据三角函数值域可得，得，将等式变形可得不等式，