2.2基本不等式-2021-2022学年高一数学同步学案（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

2.2基本不等式【学习要求】1）能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小2）能初步运用基本不等式证明简单的不等式．3）熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题4）能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．【思维导图】【知识梳理】1、重要不等式及证明如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．证明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．2、基本不等式1）≤eq\f(a＋b,2)，其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．2）证明：∵a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2－2eq\r(a)·eq\r(b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴a＋b≥2eq\r(ab).∴eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．3）两种理解：(1)算术平均数与几何平均数：设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几何意义：如图所示，以长度为a＋b的线段AB为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD，DB，易证Rt△ACD∽Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝eq\r(ab).这个圆的半径为eq\f(a＋b,2)，显然它大于或等于CD，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，等号成立．3、基本不等式的常用推论1）ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．2）eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．3）当ab>0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；当ab<0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤－2.4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．4、基本不等式求最值1）理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4).(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2eq\r(p).2）基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3)利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．【高频考点】高频考点1.对基本不等式的理解【方法点拨】(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.【例1】（2021·吴县中学高二月考）下列结论中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式1-1】（2021·河北高一期末）下列选项中正确的是（）A．不等式恒成立 B．若､为正实数，则C．当，不等式恒成立 D．若正实数，满足，则【变式1-2】（2021·铜山启星中学高一月考）下列命题中不正确的是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【变式1-3】（2020·佛山市南海区里水高级中学高一月考）有下面四个不等式，其中恒成立的有（）A．B．C．D．【变式1-4】（2021·广东深圳·）设且，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．高频考点2.利用基本不等式求最值（有条件）【方法点拨】灵活运用已知条件，转化为均值不等式完成即可。【例2】（2021·浙江省富阳中学高三开学考试）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．8 B．16 C．32 D．36【变式2-1】（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）若，且，则的最小值为（）A．3 B． C． D．【变式2-2】（2021·长沙市明德中学高一开学考试）若正数、满足，则的最小值是______【变式2-3】（2021·富宁县第一中学高二月考）设，，且，则当取最小值时，（）A．12 B．8 C．16 D．【变式2-4】（2021·淮北市树人高级中学高一月考）已知，，且满足，则的最小值为_________高频考点3.利用基本不等式求最值（无条件）【方法点拨】(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．【例3】（2021·江苏苏州中学高二开学考试）若，是正常数，，，，则当且仅当时取等号．利用以上结论函数，取得最小值时的值为（）A．B．C．D．【变式3-1】（2021春•鼓楼区校级期末）设x＞0，y＞0，则x+4y的最小值为．QUOTEQUOTE【变式3-2】（2021·红桥·天津三中高一月考）函数的最小值等于____________.【变式3-3】（2021·铜山启星中学高一月考）设则的最大值是（）A．3 B． C． D．【变式3-4】（2021·全国（理））若，则有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值高频考点4.利用基本不等式证明不等式【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．【例4】（2021·孟津县第一高级中学高三月考）已知，，．（1）求证：；（2）求证：．【变式4-1】（2021·博野县实验中学高一月考）设.（1）证明：；（2）证明：.【变式4-2】（2021·河北正定中学高一月考）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径的半圆弧于D，连结OD，作CE⊥OD，垂足为E，请从下列不等式①、②、③中选出表示CD≥DE的序号（不需要写出推导过程，只需选出不等式序号即可），并证明选出的不等式．①（a＞0，b＞0）；②（a＞0，b＞0）；③（a＞0，b＞0）．【变式4-3】（2021·全国高一专题练习）已知为正实数，且．（1）求证：；（2）求证：．【变式4-4】（2021·全国高三模拟预测）已知、、，.（1）证明：.（2）若，证明：或.高频考点5.利用基本不等式求参数【方法点拨】【例5】（2021·全国高一专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8【变式5-1】（2021·江西南昌十中）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（）A．3 B．4 C．8 D．9【变式5-3】（2021·阜阳市耀云中学高二期中）设，若恒成立，则k的最大值为___________.【变式5-4】（2021·全国高一课时练习）若不等式（a>0）恒成立，则实数a的取值范围是________.高频考点6.利用基本不等式解决实际问题【方法点拨】解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．【例6】（2021·广东高一期末）某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为节约用水，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为（，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：平方米）记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和.（1）解释的实际意义；（2）求y的最小值.【变式6-1】（2021·江苏省苏州第一中学校）如图所示，某市现有自市中心通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决该交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取、两点，使环城公路在、间为直线，要求路段与市中心的距离为，且使、间的距离最小，请你确定、两点的最佳位置（不要求作近似计算）．【变式6-2】（2020·江苏苏州中学高二月考）某公司生产的某批产品的销售量（万件）（生产量与销售量相等）与促销费用（万元）满足（其中，为正常数）.已知生产该批产品还需投入成本万元（不包含促销费用）.产品的销售价格定为元/件.（1）将该产品的利润（万元）表示为促销费用（万元）的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【变式6-3】（2021·山西运城·高二期末（文））中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额-成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【变式6-4】（2020秋•浦东新区校级期中）公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．【课后训练】全卷共22题满分：150分时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·全国高三专题练习）设a>0，则的最小值为（）A．B．2C．4D．52．（2021·如皋市第一中学高一月考）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于（）．A． B． C． D．3．（2021·全国高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．3．（2021·安徽六安一中高二月考）下列结论正确的是（）A．当时，B．当时，的最小值是2C．当时，的最小值是1D．设，则的最小值是24．（2021·铜山启星中学高一月考）下列不等式的最小值是的是（）A． B． C． D．5．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）若正实数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·江苏）若不等式对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（）A． B． C．3 D．47．（2021·陕西省子洲中学高二开学考试）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．C． D．8．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考）若实数，则的最小值为（）A． B．1 C． D．2二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（2021•无锡校级月考）下列结论成立的是（）A．若a，b∈R，则a10+b10≥2a5b5 B．若x≠0，则x22 C．若，则a＞0，b＞0 D．∃a∈R，使a2+9＜6a10．（2021·河北）设正实数，满足，则（）A．B．C．D．11．（2021·河北正定中学高一月考）已知正实数a，b，c满足a2-ab＋4b2-c＝0，当取最小值时，下列说法正确的是（）A．a＝2b B．c＝4b2 C．a＋b-c的最大值为 D．a＋b-c的最大值为12．（2021·广东）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．当时，，故时，的最大值为；B．当时，，当且仅当时取等号，解得或，又由，所以取，故时，的最小值为；C．由于，故的最小值是；D．，，且，由于，则，又，则，，且，的最小值为．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）已知，则是的最小值为________．14．（2022·全国（理））若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是__________15．（2021·重庆北碚·西南大学附中高二月考）设，则的最大值为____.16．（2021·江苏南京一中高三开学考试）设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为______．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．（2021·河北张家口·高一期末）