高数变与不变的题目及答案

高数变与不变的题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

高数变与不变的题目及答案

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是

A.8

B.6

C.4

D.2

2.下列函数中，在x=0处不可导的是

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

3.函数f(x)=lnx在x=1处的切线方程是

A.y=x-1

B.y=x+1

C.y=2x-1

D.y=2x+1

4.极限lim(x→0)(sinx/x)的值是

A.0

B.1

C.∞

D.不存在

5.函数f(x)=x^2在区间[1,3]上的积分值是

A.2

B.4

C.6

D.8

6.下列函数中，在x=0处取得极小值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

7.函数f(x)=e^x在x=0处的泰勒展开式中，x^3项的系数是

A.1

B.e

C.e^3

D.0

8.下列函数中，在区间[0,1]上单调递增的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

9.函数f(x)=arctan(x)在x=0处的导数值是

A.0

B.1

C.-1

D.π/2

10.极限lim(x→∞)(x^2/x+1)的值是

A.0

B.1

C.∞

D.不存在

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^2-4x+5的导数是________.

2.极限lim(x→2)(x^2-4/x-2)的值是________.

3.函数f(x)=sin(x)在x=π/2处的导数值是________.

4.函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的二阶导数值是________.

5.函数f(x)=lnx在x=1处的积分值是________.

6.极限lim(x→0)(1-cosx/x^2)的值是________.

7.函数f(x)=e^x在x=0处的泰勒展开式中，x^2项的系数是________.

8.函数f(x)=arctan(x)在x=0处的积分值是________.

9.极限lim(x→∞)(x^3/x^2+1)的值是________.

10.函数f(x)=x^2-4x+5在区间[1,3]上的积分值是________.

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在x=0处可导的是

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

2.下列函数中，在区间[1,2]上单调递增的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

3.下列函数中，在x=0处取得极值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

4.下列函数中，在区间[0,1]上连续的是

A.f(x)=1/x

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

5.下列极限中，值为1的是

A.lim(x→0)(sinx/x)

B.lim(x→0)(1-cosx/x)

C.lim(x→0)(tanx/x)

D.lim(x→0)(ex-1/x)

6.下列函数中，在x=0处取得极小值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

7.下列函数中，在区间[1,2]上积分值为正的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

8.下列极限中，值为0的是

A.lim(x→0)(sinx/x)

B.lim(x→0)(1-cosx/x^2)

C.lim(x→0)(tanx/x)

D.lim(x→0)(ex-1/x)

9.下列函数中，在x=0处可导且导数为1的是

A.f(x)=x

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

10.下列函数中，在区间[0,1]上单调递增且连续的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^2在x=0处取得极小值

2.极限lim(x→0)(sinx/x)的值是1

3.函数f(x)=e^x在整个实数范围内单调递增

4.函数f(x)=x^3在x=0处可导

5.函数f(x)=lnx在x=1处的导数值是1

6.极限lim(x→∞)(1/x)的值是0

7.函数f(x)=x^2-4x+5在区间[1,3]上的积分值是正数

8.函数f(x)=arctan(x)在整个实数范围内连续

9.函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极大值

10.函数f(x)=e^x在x=0处的泰勒展开式中，x^3项的系数是1

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^2-4x+5的导数

2.求极限lim(x→2)(x^2-4/x-2)

3.求函数f(x)=sin(x)在x=π/2处的导数值

4.求函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的二阶导数值

5.求函数f(x)=lnx在x=1处的积分值

6.求极限lim(x→0)(1-cosx/x^2)

7.求函数f(x)=e^x在x=0处的泰勒展开式中，x^2项的系数

8.求函数f(x)=arctan(x)在x=0处的积分值

9.求极限lim(x→∞)(x^3/x^2+1)

10.求函数f(x)=x^2-4x+5在区间[1,3]上的积分值

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：f(x)=x^3-3x+2，f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-1，f(-1)=5，f(1)=0，f(2)=3。最大值为5。

2.A

解析：f(x)=|x|在x=0处不可导，因为左右导数不相等。

3.A

解析：f'(x)=1/x，f'(1)=1。切线方程为y-f(1)=f'(1)(x-1)，即y-1=1(x-1)，即y=x-1。

4.B

解析：利用sinx/x在x→0时的极限为1。

5.C

解析：∫[1,3]x^2dx=[x^3/3]|[1,3]=27/3-1/3=26/3。

6.A

解析：f'(x)=2x，f'(0)=0，f''(x)=2，f''(0)>0，故x=0处取得极小值。

7.A

解析：e^x的泰勒展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，x^3项系数为1/3!=1/6。

8.A

解析：f'(x)=2x>0，故在[0,1]上单调递增。

9.B

解析：f'(x)=1/(1+x^2)，f'(0)=1。

10.B

解析：lim(x→∞)(x^2/x+1)=lim(x→∞)(x/(x+1))=1。

二、填空题答案及解析

1.2x-4

解析：f'(x)=3x^2-3。

2.1

解析：原式=lim(x→2)(x-2/x-2)=1。

3.1

解析：f'(x)=cos(x)，f'(π/2)=cos(π/2)=0。

4.0

解析：f''(x)=6x-3，f''(1)=6*1-3=3。

5.1

解析：∫lnxdx=xlnx-x+C，∫[1,1]lnxdx=0。

6.1/2

解析：利用1-cosx≈x^2/2当x→0时，原式=lim(x→0)(x^2/(x^2))=1/2。

7.1/2

解析：同上，e^x的泰勒展开式x^2项系数为1/2!=1/2。

8.π/4

解析：∫[0,0]arctan(x)dx=arctan(x)|[0,0]=arctan(0)-arctan(0)=0。

9.∞

解析：原式=lim(x→∞)(1/x)=0。

10.2

解析：∫[1,3](x^2-4x+5)dx=[x^3/3-2x^2+5x]|[1,3]=(27/3-18+15)-(1/3-2+5)=9-1=8。

三、多选题答案及解析

1.B,C,D

解析：f(x)=|x|在x=0处不可导，f(x)=x^2,x^3,e^x在x=0处可导。

2.A,C

解析：f'(x)=2x>0，f'(x)=3x^2>0，故A,C单调递增。

3.A,B

解析：f'(x)=2x，f'(0)=0，f(x)=-x^2，f'(0)=0。f(x)=x^3，f'(0)=0，f''(0)=6>0，f(x)=-x^3，f'(0)=0，f''(0)=-6<0。故A,B取得极值。

4.B,C,D

解析：f(x)=1/x在x=0处无定义，故不连续。f(x)=x^2,x^3,-x^3在[0,1]上连续。

5.A,C,D

解析：lim(x→0)(sinx/x)=1，lim(x→0)(tanx/x)=1，lim(x→0)(ex-1/x)=1。lim(x→0)(1-cosx/x)=0。

6.A

解析：同第6题解析，f(x)=x^2在x=0处取得极小值。

7.A,C

解析：∫[1,2]x^2dx>0，∫[1,2]x^3dx>0。∫[1,2]-x^2dx<0，∫[1,2]-x^3dx<0。

8.A,C,D

解析：同第5题解析。

9.A,D

解析：f(x)=x，f'(0)=1。f(x)=e^x，f'(0)=1。f(x)=x^2，f'(0)=0。f(x)=x^3，f'(0)=0。

10.A,C

解析：f(x)=x^2在[0,1]上单调递增。f(x)=x^3在[0,1]上单调递增。f(x)=-x^2在[0,1]上单调递减。f(x)=-x^3在[0,1]上单调递减。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：同第6题解析。

2.正确

解析：同第4题解析。

3.正确

解析：f'(x)=e^x>0，故单调递增。

4.正确

解析：f'(x)=3x^2，在x=0处存在且为0。

5.错误

解析：f'(x)=1/x，f'(1)=1。

6.正确

解析：lim(x→∞)(1/x)=0。

7.正确

解析：∫[1,3](x^2-4x+5)dx=8>0。

8.正确

解析：arctan(x)在实数范围内连续。

9.错误

解析：f'(x)=3x^2-3，f'(1)=0。f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1处取得极小值。

10.错误

解析：e^x的泰勒展开式x^3项系数为1/3!=1/6。

五、问答题答案及解析

1.求函数f(x)=x^2-4x+5的导数

解析：f'(x)=2x-4。

2.求极限lim(x→2)(x^2-4/x-2)

解析：原式=lim(x→2)((x-2)(x+2)/(x-2))=lim(x→2)(x+2)=4。

3.求函数f(x)=sin(x)在x=π/2处的导数值

解析：f'(x)=cos(x)，f'(π/2)=cos(π/2)=0。

4.求函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的二阶导数值

解析：f''(x)=6x-3，f''(1)=6*1-3=3。

5.求函数f(x)=lnx在x=1处的积分值

解析：∫lnxdx=xlnx-x+C，∫[1,1]lnxdx=0。

6.求极限lim(x→0)(1-cosx/x^2)

解析：原式=lim(x→0)((2sin^2(x/2))/(x^2))=lim(x→0)(2sin^2(x/2)/(2(x/2)^2))=lim(x→0)(sin^2(x/2)/(x/2)^2)=1。

7.求函数f(x)=e^x在x=0处的泰勒展开式中，x^2项的系数

解析：e^x的泰勒展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，x^2项系数为1/2!=1/2。

8.求函数f(x)=arctan(x)在x=0处的积分值