【对称矩阵的性质及其应用研究12000字（论文）】

1 2 21.1对称矩阵的研究背景及意义 2 3 3 42对称矩阵的定义与基本性质 53对称矩阵与对称变换 74对称矩阵的对角化 4.1合同变换法 4.2正交变换法 4.3正交变换模型法 5实对称矩阵的正定性 6对称矩阵的应用 6.1化简二次曲面方程 6.3在柯西不等式问题中的应用 6.4在最优化的凸规划问题中的应用 2本课题针对对称矩阵进行了相对全面和细致的探讨。不理，而且还涵盖对称矩阵应用的广泛性。在探讨对称矩阵对角化在行列式这项课题出现以前，矩阵理论的发展情况就已经非常认为矩阵是一种独立的数学范畴的人。一八五八年，他出版了他的第一部有关该主题的作品《矩阵论的研究报告》,并在这篇文章中系统地讲述了关于矩阵的有关理论。矩阵论不仅仅是学习古典数学的思想基础，同时也是最实用、最有实用价值的数学基础研究。它并不仅仅是现代数学的一个主要应用领域，在当代新兴科技产业中，它更是解决大规模有限维空间形式和数量关系问题的有力手段。矩阵论也作为一个很基础而又非常关键的数理方法，广泛应用于数理专业以及其他工程与科学学科。目前，随着大数据、人工智能、数学与信息交叉学科研究的快速发展，矩阵的作用及其重要性也愈发伯特问题、力学、图像处理、控制论、电子、航空和航天等众多学科中扮演着重要的角矩阵论中的另一项主要知识是对称矩阵的定义，对称矩阵是矩阵论中一类独特的矩阵理论。一八五五年，埃米特首先介绍了由其他数学研究家所发现的关于一个特殊类别3切的联系。选择本课题主要是因为对称矩阵的知识相对于其他知识点来说比较分散，本1.2对称矩阵的研究现状参考现有的理论研究以及对称矩阵在相关学科中的应用，通过对近几年的文献阅读整理，如张禾瑞，郝新在《高等代数》一书中，通过描述对称矩阵与二次型的关系，对对称矩阵的部分性质和应用进行了称矩阵的性质及应用》一文中列举了对称矩阵的常用性质和应用，蒋银山的《Positive以及黄灿的《正定矩阵的性质及一些正定矩阵的不等式》以正定矩阵为研究对象，通过对正定矩阵的性质进行了探究，还讨论了它的一些应用。我将逐步加深对这一概念本质的理解，进而真正掌握对称矩阵并能灵活地运用它解决各种有关问题。并结合齐次线性方程组的基本理论，阐述了实对称矩阵在实二次型的研究中起着主要作用。所有的实数二次型，都能够利用正交替换转化为规范形式。而实数二次型中最为关键的类型就是正定二次型，而正定二次型所相应的对称矩阵便是一种正定对称矩阵。关于正定矩阵的特性以及判断条件是正定对某些特殊正定矩阵的特征值计算，及其在正定矩阵的特殊应用。也正是由于对称矩阵的独特性，它们的应用范围很广。随着其使用广泛，其研究应用领域将逐步拓宽。该文在上述论文的基础上，对对称矩阵的特性进行了梳理和总结，并对给出的部分对称矩阵1.3本文的研究内容的内容出现频率非常高，由此可见对称矩阵在整个矩阵理论中发挥着重要价值，这部分主要从对称矩阵、对称变换、正定矩阵、对称矩阵对角化的方法着手，探究各个课题之4(2)介绍对称矩阵的一些应用，并且结合例子加以说明。对称矩阵的性质众多，多达十几条，每条性质都可以衍生出许多的应用，如利用对称矩阵的性质求解正定二次型、判断函数极值问题、化简曲面方程等。1.4本文的研究方法本文采用了两种研究方法：一种是文献法，另一种是举例说明法。文献法就是将与对称矩阵的某些性质相关的信息和资料通过互联网、书籍、期刊等渠道收集，然后整理所收集的资料，过滤出有用的信息并进行资料的分类，归纳和总结所选的资料，为撰写文章做准备。举例说明法就是将对称矩阵的一些性质用典型的例子来说明，这种方法可以使问题更加具体和容易理解。52对称矩阵的定义与基本性质在高等代数的学习过程中，人们经常会看到，矩阵理论中的特殊矩阵类型，如实对称矩阵、正定矩阵以及对角矩阵等。下面我们先来介绍本文的重要概念也是最基本的概念，即对称矩阵的定义，还会描述一些有关对称矩阵的最基本的性质，帮助大家更好的定义2.1假设A为n阶方阵，且如果A⁷=A成立，即a,=a,;(i,j=1,2,3,…,n),那么我们就称矩阵A为对称矩阵，也可以简称为对称阵。对称矩阵一定形如：观察对称矩阵的形式，以及结合对称矩阵的定义，我们不难发现对称矩阵上的元素是以对角线为对称轴对应相等的。在有关对称矩阵的问题研究中，实对称矩阵地位用非常重要，所谓实对称矩阵就是在上述的对称矩阵中，每一个元素都是实数，这就是实对称矩阵的定义。同理我们也可以定义复对称矩阵。身为矩阵理论的一个特殊类别，对称矩阵具有许多重要而运用最普遍的特殊基本性质，是深入研究二次型、正定矩阵以及线性变换等基本问题的良好工具。以下列出了一些性质2.1设A、B是n阶对称矩阵，则A+B,A-B,kA(k为任意一个复数)仍是对称矩证明：设A、B是n阶对称矩阵，即A=AT,B=BT。则(A+B)⁷=AT+B=A+B,性质2.2设A为n阶方阵，则A+AT,ATA,AA为对称矩阵。证明：由于(A+AT)⁷=A⁷+(AT)=AT+A,因此A+AT就是对称矩阵。因为(ATA)⁷=AT(AT)T=ATA,由此得ATA也是对称矩阵，同理也可证明AA是对称矩阵。性质2.3设A为n阶对称矩阵，若A可逆，则A⁻¹,A为对称矩阵。6证明：由于A为对称矩阵，因此可得AT=A,又因为A可逆，所以(AT)⁻¹=A⁻¹,(A⁻¹)⁷=A⁻¹,由此得A⁻¹为对称矩设A、B都是n阶的对称矩阵，即A=A,B=B。虽然有AB=A'B⁷=(BA),但是(BA)⁷=(AB)却不一定会是成立的，即AB=(AB)不一定是成立的。通过这个结果，不难得出这样的结论：两个对称矩阵的乘积所得到的矩阵不一定是对称矩阵。下面我们还性质2.4对称矩阵A、B的乘积满足AB=BA,那么所得到的乘积矩阵仍然是一个对证明：设A、B为n阶对称矩阵，即A=A,B=BT。因为又AB=BA,即(BA)=(AB),所以有AB=(BA)=(AB)。所以当AB=BA时，两个对称矩性质2.5任意一个方阵都可以被分解成反对称矩阵和对称矩阵之和。证明：设A为任何一个n级的方阵，则有而所以有是对称矩阵，并且有一个反对称矩阵，所以，随便一73对称矩阵与对称变换的研究领域，我们下面还要介绍一种欧氏空间。我们下面将要了解到的欧氏空间则是一种很特殊的线性变换空间，在这个特殊的变换空间下有一种特定的线性变换，那就是对在n维欧氏空间V中的一种线性变换σ下，要使欧氏空间V中有一组正交基，使得线性变换在这种基下面的矩阵就是对角矩阵。问σ应该满足什么条件?这就相当于说，σ满定义3.1①假设欧式空间V(n维)下有一个线性变换σ,倘若对于任意两个欧氏空间下的向量α,β,都满足等式现在我们通过欧氏空间中对称变换的定义，可以很容易发现对称矩阵和对称变换之定理3.1对称变换与实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的。证明：(1)首先，我们要说明的是在对称变换的标准正交基下的所有矩阵均为实对实际上，假设σ为n维欧氏空间V上的对称变换，ζ,与₂…,ξn是V的一组标准正交基，A=(a,)∈R””为线性变换σ在这组基下的矩阵，即8事实上，设σ为n维欧氏空间v上的一个线性变换，ξ,5₂…,ζ为V的的一组标准正交基，A=(a,)∈R′n为线性变换σ在这组基下面ζ,与₂…,ζ,为标准正交基，有故(σ(α),β)=(α,σ(β)),所以σ是对称变换。下面我们来讨论对称变换的基本性质。为了方便进行本节一个重要定理的证明，首引理3.1对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间。有了这个结论，我们在证明下列定理时就可以运用到在线性变换中，不变子空间的定理3.2设σ是n维欧式空间V下的一个对称变换，则存在欧式空间V的一个标准9(2)假设n-1时结论成立。按照引理3.1,假设λ是σ的一个特征根，a₁是欧氏空设W=L(a₁),即W在对称变换σ之下不变，W¹在对称变换σ之下也不变。事实上，设可以令σlw1在这个基下是一个实对角矩阵。所以α₁,α₂,…,α就是属于V的一个标准例3.1已知R²×²的线性变换：阵为：由于A是实对称矩阵，所以σ是对称变换.(2)因为|ZE-A|=(λ-1)³(λ+3),所以A的特征值为λ₁=λ₂=λ₃=1,λ₄=-3,可得对应λ=λ₂=λ₃=1对应的基础解系为p₁=(1,1,0,0),p₂=(1,0,1,0),p₃=(-1,0,0,1),故σ相对应特征值λ₁=λ₂=23=1的线性无关特征向量分别为α₁=(E₁,E₁₂,E₂₁,E₂₂)(1,1,0,0)⁷=E对应λ₄=-3的基础解系为P₄=(1,-1,-1,1),故σ对应特征值λ=-3的特征向量是α₄=(E,E₁₂,E₂1,E₂)(1,-1,-从而二次型的理论源于一个关于二次曲线和二次曲面的标准形式的解析几何问题。二次型不仅应用于几何学，还可以应用于物理、电子技术系统工程等其他领域。利用矩阵相乘的方法，可以把二次型与对称矩阵紧密地结合起来，把二次型变成标准型，就是把对4.1合同变换法我们已经知道了二次型可以转化为标准形，那么根据二次型与其相应的对称矩阵的定义4.1合同变换是指下列三种变换：(1)首先交换矩阵的i,j两行，接着再交换矩阵的i,j两列；(2)以数k(k≠0)乘以矩阵的第i行，再以数k乘以矩阵的第i列；(3)将矩阵的第i行的k倍加到第j行；再将矩阵的第i列的k倍加到第j列(i≠j)。定理4.1②数域P中的任何一个对称矩阵，都合同于一个对角矩阵。即VA∈P"n,若A'=A,则存在可逆矩阵C∈P"×,使得C"AC为对角矩阵。使得A=C'AC。不妨设C=Q₁Q₂…Q,其中Q,i=1,2,…,s是初等矩阵，那么我们可以得到P(i,j)=P(i,j),P(i(c)'=P(i(c),P(i,j(c)做对对称矩阵A进行了s次相同的初等行变换和列变换，使其成为了对角矩阵A。又注②陈亮，杜翠真，高勤：《实对称矩阵对角化中正交矩阵的初等变换求法》,大学数学，2016,32(4),第68-73意到C=EQ₁Q₂…Q,所以，在合同变换化矩阵A为对角阵A的同时，对E施行同样的上述的合同变换法是代数学中将矩阵对角化的的重要方法，下面我们给出合同变换(1)将矩阵A与n阶单位矩阵E上下摆放，形成一个2n×n的矩阵：(2)为了更简洁直观，第二个步骤我们可以用下面的图表示：例4.1求二次型f(x,x₂,x₃)=2x₁x₂+2x₁x₃-6x₂x₃的标准形(利用用合同变换法)。作非退化的线性替换X=CY,其二次型即化为标准形我们知道同一二次型在不同的线性替换下得到的标准形是不同的，与二次型理论相对应，与对称矩阵合同的对角矩阵的形式则同样不是唯一的。那么如何处理，可以将与对称矩阵所合同的对角矩阵唯一确定下来。带着这个问题，接下来我们分别对复数域和我们知道在二次型理论中，任何一个二次型经过定理4.2任何一个复数对称矩阵A'=A∈C"n合同于对角矩阵通过上述定义我们不难发现，如果任意两个复数对称矩阵是合的秩必须相等。这是因为，假如A,B都是复数对称矩阵，我们先来看必要性：假设A与B是合同的，则有可逆矩阵C可以使得B=CAC。从C是可逆矩阵可以得知R(A)=R(B)。接着来看充分性：假设R(A)=R(B)=r,故存在可逆矩阵P与Q使得进一步有(Q)¹P'AP(Q)⁻¹=B,则(PQ-¹)A(PQ-¹)=B,又PQ-定理4.3任意一个实对称矩阵均合同于一个下述形式的对角矩阵：其中对角线上1的个数p以及-1的个数r-p都是唯一确定的，它们分别叫作实对称矩阵的正惯性指数以及实对称矩阵负惯性指数，而两者的差值p-(r-p)=2p-r就叫作实对例4.2若实对称矩阵A与已知矩阵是合同的，则求二次型题目分析：A与B合同，故对应二次型的秩和正惯性指数相同。解：对B作合同变换通过上面的计算，可以得到B的秩等于3,并且可以得到该矩阵的正惯性指数为2、该矩阵的负惯性指数为1。故X'AX的规范形是z²+z2²-z3。4.2正交变换法任意一个具有n个线性无关的特征向量的n阶矩阵都能够进行对角化。但是当矩阵为对称矩阵时，则它必定能够对角化，并且也是相似于某个对角矩阵的。当然，这和对称矩阵特殊的性质是紧密相联的，因此接下来本文将针对对称矩阵对角化需要的条件以及对角化的方法展开研究。引理4.1设A为实对称矩阵，则实对称矩阵A的特征值均是实数。证明：设A为实对称矩阵，λ是A的任何一个特征值，则存在有非零向量使得Aξ=λξ。 λξ'ξ=ξ’(λξ)=ξ'(Aξ)=(ξ'A)=(Aξ)'ξ=(Aξ'ξ=(2ξ'ζ=由于ζ是非零负向量，必有引理4.2设A为实对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量必正交。证明：设a,a₂是实对称矩阵A的不同特征值，X₁,X₂分别是A对应于特征值a,a₂由实对称矩阵和对称变换之间的联系，结合定理3.2,我们有以下定理：定理4.4对于任意一个n阶实对称矩阵A,都存在一个n阶正交矩阵P,使P-¹AP=A,其中A是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。或，若A=A,P≠0且P⁷=P⁻¹,使得P-¹AP=A=diag(2,2,…2a)。证明：设R"上对称变换σ在标准正交基下的矩阵为A。由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证σ有n个特征向量作成的(2)假设n-1时结论成立，对R”设其上的对称变换σ有一单位特征向量a₁,其相设子空间L(a)=W,显然W是σ-子空间，则W¹也是σ-子空间，且又对Va,β∈W¹,有下面来看看给出了一个实对称矩阵A后按哪个方法求正交矩阵P,使得P-¹AP成对角形。从定理的求证中我们可以发现，矩阵A在R”中定义了一个线性变换，求正交矩阵P的问题也就等于在R”中求得了一个由A的所有特征向量组成的标准正交基。(1)求出A的全部特征值2,2₂,…,λ;由方程|λE-A|=0解得；例4.3设实对称矩阵,求正交矩阵P,使得P-¹AP为对角矩阵。(1)当λ=2₂=-1时，解其次线性方程组(A+E)x=0,即得同解方程组2x₁+x₂+2x₃=0,得基础解系先正交化：再单位化：得同解方程组单位化得最后得正交矩阵从而有最后值得我们关注的是，关于实对称矩阵A,如果存在正交矩阵P使P-¹AP=A=diag(2,22,…λ),其中λ,2₂,…,λ为A的所有特征值。使得其成立的正4.3正交变换模型法设A为实对称矩阵，由对称矩阵的基本性质可以知道，AI-A也为实对称矩阵，由定理4.6可知，总可以找到一个正交矩阵P,使得P-¹(AI-A)P=PT(λI-A)P=AI-B。其中I为单位矩阵，B,ZI-B均为对角矩阵，且BA于是有JT…JZJT(AI-A)J₁J₂…Jn=λI-B,即ZI-A总可以经一系列对称的初等变综上，可得对角化(合同变换法)模型：,在这里，对称变换为合同变换，即每对ZI-A完成一个初等行变换，同时对列完成一个同样的初等(1)首先，把λ-a所在行和所在列的其他元素都变成0;(2)再依次把λ-an-1,n-1,λ-an-2,n-2,…,λ-a所在行和所在列的其他元素都变成0;(3)最后，把主对角线元素的a(λ-λ;)系数变成1。例4.4设求一正交矩阵P,使得PTAP为对角矩阵。解：套入模型，得③付立志，杨庆玺：《对称矩阵对角化的正交变换模型》,河南科学，2008,26(2),第135-138页。于是有从上例可以看出，相较于对称矩阵对角化的常规方法，正交变换模型法突出了在对称矩阵对角化方法中程序化简洁化的优点，也因此减少了在常规算法中求特征量要解线性方程组，特征值要解高次方程的繁琐而重复的步骤。5实对称矩阵的正定性在实二次型中，正定二次型具有重要的地位，而正定二次型对应的正定矩阵的应用十分广泛，下面将针对正定二次型对应的正定矩阵进行探讨。我们可以知道，正定二次型f(x₁,x₂,…,xn)中对关于任何一组不全是零的实数C₁,C₂,…,c都有f(c₁,C₂…,cn)>0,相应的，我们可以得出正定矩阵的定义。定义5.1④设A为n阶实对称矩阵，如果对于任意非零向量X,二次型f=XTAX都是正数，则此矩阵称为正定矩阵。因为正定二次型的规范形是z²+z2²+……+z²,且它所对应的对称矩阵为单位矩阵E,所以我们可以得到这样的结论，即一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同，从而可以得到以下的结果推论：推论正定矩阵的行列式均大于零。证明：设矩阵A为一正定矩阵。我们已经知道A与单位矩阵合同，所以具有可逆矩阵C使得A=C'EC=C'C。两边取行列式，就有有时候我们需要直接从对称矩阵的矩阵来判别这个对称矩阵是不是正定的，而不希望通过它的定义。为了解决这个问题，下面引入：定义5.2设矩阵A=(a;)∈R×,则(1)k级行列式④李绍刚，迟晓妮：《正定矩阵的性质研究及应用》,河南教育学院学报(自然科学版),2020,29(01),第称为A的一个k阶主子式。定理5.1实对称矩阵A正定的充要条件是，矩阵A的顺序主子式Pk全大于零。判定一个矩阵是否为正定矩阵的基本方法除了定义和定理5.1以外，还可以使用一(1)实对称矩阵A的正惯性指数等于A的维数n。(2)实对称矩阵A与单位矩阵E合同。(3)存在可逆矩阵C,使得实对称矩阵A=C'C。(4)实对称矩阵A与任一正对角矩阵合同。(5)实对称矩阵A的一切主子式均为正。(6)实对称矩阵A的特征值均为正。(7)存在正定矩阵B,使得实对称矩阵A=B²。(1)若实对称矩阵A=(a,)正定的，则a>0,i=1,2,…,n。(2)若实对称矩阵A正定的，则detA=|A|>0。(1)如果A为n阶正定矩阵，那么A⁻¹也是正定矩阵；令Q=(p-¹),则Q可逆。即A¹与单位矩阵E合同，所以A⁻¹是正定矩阵；(2)如果A为n阶正定矩阵，kA(k>0)是正定矩阵；证明：由于A是正定矩阵，对于VA∈R”,X≠0,都有X'AX>0,因此有(3)如果A为n阶正定矩阵，A是正定矩阵；又因A=|A|A⁻¹,则从(1)和(2)即可得出A*是正定矩阵；(4)若A、B均为n阶正定矩阵，则A+B也是正(5)若A、B均是n阶实对称矩阵，并且B为正定矩阵，则存在一n阶可逆矩阵P且A为n阶实对称矩阵，E,所以有正交矩阵C使得则CT(PTBP)C=CTEC=CTC=E,取P=(6)若A为n阶正定矩阵，则A*(k是正整数)就也是正定矩阵。证明：从特征值角度出发考虑，若根据A是正定矩阵，即部是正数，而由于A'的所有特征值就是，z₂,…,λ,也都为正数，这就得到A*也是正(7)若A、B均为n阶正定矩阵，如果满足AB=BA,则AB也是正定矩阵。证明：因为A正定，所以A⁻¹的也正定，于是有非奇异矩阵Q,使得QA⁻¹Q=I。又矩阵D。令P=QU,则有PTA⁻¹P=U-¹IU=I,PBP=UGU=D=diag(2,a₂,…,λ.),由B正定可知，PBP也正定，所以λ,>0(i=1,2,…,n),且为D=PBP的全部特征根。又由于(AB)=(BA)=ATB⁷=AB,所以AB是实对称矩阵，从而AB是正定矩阵。(8)若A、B均为n阶正定矩阵，则|A+B|≥|A|+|B|。证明：存在可逆矩阵C,使得其中λ,>0,μ₁>0。取行列式CT(A+B)C=diag(λ+μ,2₂+H₂,…,λ₀+μn),两边取行列式：例5.1证明：若A是n阶正定矩阵，则|A+2E|>2”。证明：方法一因为A与2E都是n阶实对称正定矩阵，因此存在一n阶实数可逆矩阵P,使得其中λ(i=1,2,…,n)为A的特征值且大于零。所以λ+2为A+2E的特征值，也是大于零的。所以|A+2E|=(2+2)(2+2)…(λₙ+2)≥2”(用到第五个结论)。方法二因为A与2E都是n阶实对称正定矩阵，所以|A+2E|≥|A+|2E|>2”(用到第七个结例5.2设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x²+x²+5x²+2tx₁x₂-2x₁x₃+4x₂x₃t解：该二次型的矩阵为若要A为正定矩阵，则解得,即当时，该二次型为正定二次型。6对称矩阵的应用对称矩阵在几何上的应用主要体现在化简二次曲面方程上，结合曲面方程的系数矩a₁₁x²+a₂₂y²+a3₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz+,则二次曲面的一般方程可写为X'AX+2B'X+d=0,经过转轴，坐标转换公λx²+22y²+23z²+2bx₁+2b₂y₁+接着进行判断2,2,23的取值情况，通过移轴和转轴后，我们就可以将问题中曲于是原来的曲面的一般方程就可以化为标准方程λx₂²+Zy₂²+2₃z₂²+d=0,其中例6.1化简二次曲面方程x²+y²+5z²-6xy-2xz+2yz-6x+6y-6z+10=0,并判断当2₂=3时，解方程组(3E-A)x=0,得且有所以作转轴X=CX₁后，曲面x²+y²+5z²-6xy-2xz+2yz--2x²+3y²+6z²-6√3y₁+10=0.最后作移轴6.2判断多元函数极值问题求解多元函数的极值一直以来都是多元函数微分学的一个非常重要应用，在现实生活中，很多工程问题、经济问题等，都需要做一些优化，以便节省更多的资源和成本，函数极值的求解，则在这些问题中发挥着重要的应用价值。本节就以常见的二元函数为首先我们需要了解的是，极值点分为极大值点和极小值点，并且极大值和极小值都定义6.1⑤设函数f在点P₀(x₀,y%)的某领域U(P₀)内有定义。若对于任何点P(x,y)∈U(P₀),成立不等式f(P)≤f(P₀)(或者f(P)≥f(P₀)),⑤华东师范大学数学系：《数学分析》,高等教育出版社2010年版，第145页。那么函数f就在点P₀取得极大值(或极小值),点P₀称为f的极大(或极小)值点。注意：此处所讨论的极值点仅限定义域的范围内一点。根据上面的定义可以得出这样的结论，如果一个二元函数f在点(x₀,y。)处取得了极值，我们姑且假设极值等于n,即f(x₀,y。)=n,那么在固定y=y。之后，我们就得到了一个一元函数f(x,y。),并且该一元函数f(x,y。)在x=x₀处得到的极值与二元函数f在点相同。通过上面的讨论，我们就可以得到二元函数在取极值问题上的必要条件，下面给出判断函数极值的必要条件的相关定理：定理6.1⁶如果函数f在点P₀(x₀,yo)存在偏导数，并且在P₀处取得极值，那么则有如果函数f在点P的偏导数存在，且均等于零，那么点P₀就可以称为函数f的稳定点，通过上面的讨论，我们可以得到这样的结论：函数的极值点都是该函数的稳定点，但是反过来不一定成立，即函数的稳定点不一定满足该点就是极值点。讨论过二元函数f在点P₀(x₀,y%)f在点P₀(x₀,y)取得极值的充分条件。为了更好地解决这个问题，将函数的极值问题与正定矩阵结合起来，下面我们引入黑塞矩阵这一概念。我们假设f存在二阶连续偏导，并记则该矩阵就称为f在点P₀(x₀,y₀)的黑塞(Hesse)矩阵。因此，我们可以知道以下关于极值充分条件的基本定理。定理6.2⑦设二元函数f在点P(x₀,y%)的某领域U(P。)上具有二阶连续偏导数，且P₀⑥华东师范大学数学系：《数学分析》,高等教育出版社2010年版，第146页。⑦华东师范大学数学系：《数学分析》,高等教育出版社2010年版，第146页。例6.2研究三元函数f=(x,y,z)=2sinx+2siny+2sinz-2sin(x+y+z)解：解方程组a₁₁=a₂2=a₃3=-4,a₁₂=a₂1=-2,a₁₃=a₃则得根据赫尔维兹定理我们便可得知，实对称矩阵A是负定的，故6.3在柯西不等式问题中的应用我们一般都能够根据一个正定的对称矩阵设计出一个柯西不等式。进而，我们就有了解正定矩阵与柯西不等式之间的联系的必要。请问：在正定矩阵和柯西不等式之间，有什么具有重要意义的联系呢?带着这个问题，我们来进行下面的讨论。则可证，由(2)式定义的一定是n维向量间的内积。反之，关于n维向量间的任意一种内积，都一定具有一个n阶的正定矩阵A=(a,),使得关于任意一个向量α和β,(a,β)可由(2)式来确定。这样，就给出了一个n阶正定矩阵，在n维向量间中就可由例6.3证明不等式：5十5,+5.)5十5-一5),⑧同济大学数学系：《线性代数》,高等教育出版社2014年版，第138页。来确来确的判定条件，可以证明该矩阵确实是正定矩阵。由此即可6.4在最优化的凸规划问题中的应用定理6.29设一阶可微连续函数f(x)定义在凸集D上，那么函数f(x)是D上的严格假设二阶的连续可微函数f(x)在非空凸集DcR”上，并且f(x)的黑塞矩阵，我们记作H(M),在非空凸集D上是正定的，则函数f(x)即为D上的严格凸函数。下面我们证明：设f(x)的黑塞矩阵在H(M)在D上正定，任