2. 1 古典概型的概率计算公式

.1古典概型的概率计算公式层级(一)“四基”落实练1．下列试验是古典概型的是()A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：选C根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个样本点不是等可能的，B项中样本点的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征．2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．1解析：选C从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况．其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝eq\f(2,3).3．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：选D从7个整数中随机取2个不同的数，共有21种取法，取得的2个数互质的情况有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，{6,7}，{7,8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为eq\f(14,21)＝eq\f(2,3).故选D.4．若集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从集合A，B中各任取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)解析：选C从集合A，B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)，共2种，故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故选C.5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40＝3＋37.在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)解析：选A根据题意，不超过11的素数有2,3,5,7,11，共5个，从中任选2个，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10种取法．其中，和小于等于10的取法有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，共5种，则取出的两数之和小于等于10的概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).6．从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________．解析：用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名学生中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，包含的样本点的个数为15，其中事件“2名都是女同学”包含的样本点的个数为3，故所求的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)7.依据闯关游戏规则，请你探究图中“闯关游戏”的奥秘：要求每次同时按下左边和右边各1个按钮(按钮分别标记为左1，左2，右1，右2)，其中按下某些按钮可以使灯泡点亮，点亮灯泡则闯关成功，否则闯关失败．若只有两个1号按钮同时按下才能点亮灯泡，则闯关成功的概率为________．解析：所有可能的按钮方式列表如下：右边按钮左边按钮121(1,1)(1,2)2(2,1)(2,2)若只有两个1号按钮同时按下才能点亮灯泡，则P(闯关成功)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．解：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则从6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点．有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个．所以检测出不合格产品的概率为eq\f(8＋1,15)＝eq\f(3,5).层级(二)能力提升练1．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D．eq\f(4,5)解析：选A根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，故选A.2．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.eq\f(2,3) B．eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)解析：选B设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过该项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).3．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、革、丝、木”中任取“两音”，则“两音”同为打击乐器的概率为()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(2,7)解析：选B从“金、石、土、革、丝、木”中任取“两音”，试验的样本空间为Ω＝{(金，石)，(金，土)，(金，革)，(金，丝)，(金，木)，(石，土)，(石，革)，(石，丝)，(石，木)，(土，革)，(土，丝)，(土，木)，(革，丝)，(革，木)，(丝，木)}，共包含15个样本点，其中“两音”同为打击乐器的有(金，石)，(金，革)，(金，木)，(石，革)，(石，木)，(革，木)，共包含6个样本点，则“两音”同为打击乐器的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).4．从eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，2，3))中随机抽取一个数记为a，从{－1,1，－2，2}中随机抽取一个数记为b，求函数f(x)＝ax＋b的图象经过第三象限的概率．解：根据题意，从集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，2，3))中随机抽取一个数记为a，有4种情况，从{－1,1，－2，2}中随机抽取一个数记为b，有4种情况，则f(x)＝ax＋b的情况有4×4＝16(种)．函数f(x)＝ax＋b的图象经过第三象限，有①a＝3，b＝－1，②a＝3，b＝－2，③a＝2，b＝－1，④a＝2，b＝－2，⑤a＝eq\f(1,3)，b＝－2，⑥a＝eq\f(1,2)，b＝－2，共6种情况．故函数的图象经过第三象限的概率为eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).5．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字满足|a－b|＜c”的概率．解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1，1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1，1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件A，则其对立事件eq\x\to(A)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9)，因此“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq\f(8,9).(2)设“抽取的卡片上的数字满足|a－b|＜c”为事件B，则事件B包括(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,3)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,3)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共19种．所以P(B)＝eq\f(19,27).因此“抽取的卡片上的数字满足|a－b|＜c”的概率为eq\f(19,27).层级(三)素养培优练甲、乙两人各拿出200元，用作掷硬币游戏