2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第02讲 随机变量及其分布列（3知识点+6大题型）（解析版）

第02讲随机变量及其分布列内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：（离散型）随机变量】【题型02：分布列及其性质的应用】【题型03：求离散型随机变量的分布列】【题型04：由随机变量分布列求概率】【题型05：两个相关随机变量的分布列】【题型06：两点分布】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：随机变量随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量知识点2：离散型随机变量分布列的概念及性质（1）离散型随机变量的分布列的概念设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.X……P……有时也用等式表示X的分布列．（2）离散型随机变量的分布列的性质①(i＝1，2，…，n)；②．知识点3：两点分布的分布列若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率.【题型01：（离散型）随机变量】1．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（

）A．1，2，…，5 B．1，2，…，10C．2，3，…，10 D．1，2，…，6【答案】C【详解】第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10.故选：C2．（多选）抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则“”表示的试验结果是（）A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚2点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点【答案】AB【详解】因为表示第一枚骰子的点数和第二枚骰子的点数之差，所以满足的可以是：第一枚点，第二枚点；第一枚点，第二枚点，故选：AB.3．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为，则表示的试验结果是．【答案】取到1件次品和2件正品或取到3件正品【详解】表示次品的件数为1,0，即取到1件次品和2件正品或取到3件正品.故答案为：取到1件次品和2件正品或取到3件正品.4．写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）设所需要的取球次数为，则．表示“第1次就取到白球”，表示前次取到的均是红球，第次取到白球，．（2）设所取卡片上的数字之和为，则．表示“取出标有1，2的两张卡片”；表示“取出标有1，3的两张卡片”；表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”；表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”；表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”；表示“取出标有4，6的两张卡片”；表示“取出标有5，6的两张卡片”．【题型02：分布列及其性质的应用】5．设随机变量的分布列为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，解得.故选：B.6．已知随机变量X的分布列为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据分布列概率之和为1，得，解得，则．故选：B.7．（多选）若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（

）01A．常数的值为或 B．常数的值为C． D．【答案】ABC【详解】由题意知，解得或，当时，，所以舍去，故，AB错误，计算可得，C错误，D正确，故选:ABC．8．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为X0123P0.20.3a0.45则a＝．【答案】/【详解】由分布列性质，得，解得.故答案为：.9．已知离散型随机变量的分布列如下表．X012P则常数．【答案】【详解】由，得．因为，所以所以．故答案为：10．已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则．【答案】【详解】因为，所以，故，所以.故答案为：.11．已知离散型随机变量的分布列如下．01Pab记“函数是偶函数”为事件A，则．【答案】【详解】因为是偶函数，所以，故．又因为，0，1，所以，故.故答案为：.【题型03：求离散型随机变量的分布列】12．小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立.(1)设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列；(2)求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率；(3)若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率.【答案】(1)分布列见解析(2)(3)【分析】【详解】（1）由题意，的所有可能取值为1，2，3.；；.因此，的分布列为1230.50.30.2（2）设“小华在门锁被锁定前成功打开门”为事件，则，所以.（3）设“小华第3次尝试才猜对密码”为事件，则，所以.13．某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立.(1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；(2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列.【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”，事件“第二次发送“1指向”的光子”，则，由条件概率公式，；（2）由题意：，，所以的分布列为：01214．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年月日至月日在法国巴黎举行．为举行这场体育盛会，某社区决定举办一次奥林匹克运动会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下：①每组队伍先从两类问题中选择一类，并由两位选手从各随机抽取一个问题回答，答错的选手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，该选手本轮竞赛结束；②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛．市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8．(1)若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列；(2)为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由．【答案】(1)分布列见解析(2)B类问题，理由见解析【分析】【详解】（1）根据题意得X的可能取值为，则，，，，，所以的分布列为X01234P0.1800.2340.3340.1400.112（2）由（1）可知，若先回答A类问题，则“梦幻”队能进入决赛的概率为：；若先回答B类问题，记“梦幻”队答对问题的个数为Y，则，，则“梦幻”队能进入决赛的概率为，所以，所以为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答B类问题．15．人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局.(1)求小明以获得比赛胜利的概率；(2)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率；(3)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列.【答案】(1)(2)(3)分布列见解析【分析】【详解】（1）令事件表示“小明以获得比赛胜利”，所以；（2）令事件表示“在第二局比赛中小明获胜”，所以，所以；（3）由题意有的可能取值为，所以，，，所以的分布列为：16．投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数．(1)求的分布列（用表示）；(2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围．【答案】(1)分布列见解析(2)【分析】【详解】（1）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，4．，，，．所以的分布列为01234（2）因为，所以，．所以解得，或故的取值范围是．17．2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为.(1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率；(2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列【答案】(1)(2)答案见解析【分析】【详解】（1）三位同学仅通过第一个环节的概率分别为：，，，所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为：；（2）记三位同学进入决赛分别为事件，则，，，，随机变量可能的取值为：，，，，，所以随机变量的分布列为：0123【题型04：由随机变量分布列求概率】18．设随机变量的概率分布列如下表：1234则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据随机变量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，则．故选:C．19．（多选）已知随机变量的分布列，若，则实数的值可以是（

）0123A．5 B．7 C．9 D．10【答案】ABC【详解】由随机变量的分布列，知：的可能取值为，且，，，，则，.若，则实数的取值范围是.故选：ABC.20．已知随机变量的分布列为：若，则实数的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】由随机变量的分布列可知，随机变量的可能取值为，，，，的分布列为：，，，，用表格表示为∴对于A，时，，故选项A错误；对于B，时，，故选项B正确；对于C，时，，故选项C正确；对于D，时，，故选项D正确.故选：BCD.21．设随机变量X的概率分布为（，），则.【答案】0.7/【详解】由题意可知，，则，所以，所以.故答案为：22．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为．【答案】/0.8【详解】易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是．，，所以．故答案为：23．设随机变量的概率分布，．(1)求常数的值；(2)求和的值．【答案】(1)(2)；【详解】（1）解：由，得．（2）解：由题知：．．【题型05：两个相关随机变量的分布列】24．设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（

）X01234P0.20.10.10.3mA．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】D【详解】由分布列性质可得：，解得；因为，故.故选：D.25．已知随机变量X的分布列如下：X012Pa若随机变量Y满足，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】由分布列的性质可知，，所以，A正确；，B错误；，C正确；，D错误．故选：AC．26．已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量，则（

）X0123Pa5aA． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，解得，而.故选：A.27．一次考试选择题每题5分，设某学生答对的选择题数为随机变量X，选择题得分为随机变量Y，已知，则的值为（

）A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.4【答案】D【详解】根据题意知，，所以．因为，所以，所以．故选：D．28．某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元．(1)当时，求Y的值；(2)写出X与Y之间的关系式；(3)若，求的值．【答案】(1)4300(2)(3)0.4【分析】【详解】（1）当时，表示工作了110个小时，所以．（2）由题意得：．（3）因为，所以，从而.【题型06：两点分布】29．已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】随机变量均服从两点分布，，，又，，由条件概率公式，故选：D.30．随机变量服从两点分布，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，因为服从两点分布，所以，则，解得．故选：C．31．若随机变量X服从两点分布，则X的分布列可以为（

）A．X12P0.50.5B．X02P0.50.5C．X01P0.70.3D．X123P0.50.20.3【答案】C【详解】根据两点分布的概念可知，只有C选项对应两点分布．故选：C.32．已知随机变量服从两点分布，．若，则．【答案】0.44【详解】由题意可得．故答案为：33．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则．【答案】【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以，所以，∴，∴．故答案为：.34．已知随机变量X服从两点分布，且，，那么.【答案】【详解】由题意可知，解得.故答案为：.一、单选题1．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（

）①某食堂在中午半小时内进的人数；

②某元件的测量误差；③小明在一天中浏览网页的时间；

④高一2班参加运动会的人数；A．①② B．③④ C．①③ D．①④【答案】D【详解】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量；故选：D.2．某袋中装有大小相同的10个红球，5个黑球．每次随机抽取1个球，若取到黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故.故选：C3．已知随机变量等可能取值为（），若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意可得，，所以，解得.故选：C.4．一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（

）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】B【详解】，，即.故选：B.5．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由离散型随机变量的性质可得，即，解得或，时，不合题意，．故选：B．6．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于抛物线的对称轴在y轴左侧，所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，所以共有种不同的情况．因为，所以的取值范围是，其中的可能情况为且，所以，的可能情况为且，所以，的可能情况为且，所以，所以．故选：A．二、多选题7．已知离散型随机变量的分布列为12460.20.1则下列选项正确的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．【答案】ABD【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确；对于B中，若，可得，则，故B正确；对于C中，由概率的定义知，所以C不正确；对于D中，由，，则，所以D正确．故选：ABD.8．已知某企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加夜间安全巡查.设该小组在一周内的两次抽取中共有ξ名不同的工人被抽中，则下列结论正确的是（

）A．该小组中的工人甲一周内恰好两次都被选中的概率为B．C．D．【答案】AB【详解】对于A，每次工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周内被选中两个的概率为，故A正确；对于B，的可能取值为，则，，，，故B正确、CD错误.故选：AB.三、填空题9．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数为6的概率是.【答案】/0.0625【详解】分别记为甲、乙、丙在第局获胜，则.由已知，可取，其中表示事件为“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”，所以.故答案为：.10．某学校兴趣小组，该兴趣小组内学舞蹈且不学声乐的有3人，既学舞蹈又学声乐的有2人，从该兴趣小组中任选2人，设X为选出的人既学舞蹈又学声乐的人数，若，则该兴趣小组的人数是人．【答案】7【详解】由题意，可能的取值为0，1，2，设该兴趣小组的人数是，，则，，故，即，则，故，即，因为为整数，故.故答案为：711．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数的分布列是．【答案】23456P【详解】分别记为甲、乙、丙在第局获胜，则.由已知，可取.表示事件“甲连胜两局”或“乙连胜两局”，所以.表示事件“甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜丙胜”，所以.表示事件“甲胜丙胜乙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜甲胜”，所以.表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜甲胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜乙胜”，所以.表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”，所以.所以，的分布列是23456P.故答案为：23456P四、解答题12．学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；(2)比赛记分规则如下：在一