2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第07讲 数列基础（2知识点+9大题型）（原卷版）

第07讲数列基础内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：数列的概念与辨析】【题型02：根据规律写出数列中的确定项】【题型03：由数列通项公式确定某项】【题型04：由数列递推公式确定某项】【题型05：由数列的前几项确定通项公式】【题型06：Sn与an的关系求通项公式】【题型07：数列的单调性与最值】【题型08：数列的单调性求参数】【题型09：由递推公式求通项公式】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：数列的概念与表示1.数列的概念（1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列.（2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项.（3）分类:若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列2.数列的表示方法（1）一般形式:数列的一般形式是简记为.（2）其他方法:解析式法、表格法、图象法.3.数列的通项公式（1）如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.（2）数列与函数的区别和联系：数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点；函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线.4.数列的单调性与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值.类别含义递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列知识点2：数列的递推公式1.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.数列的递推公式与其通项公式的异同：相同点不同点通项公式均可确定一个数列,求出数列中的任意一项给出n的值,可求出数列中的第n项递推公式由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项2.数列的前n项和（1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即.（2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.3.与的关系式：①当时，若适合，则的情况可并入时的通项；②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示.【题型01：数列的概念与辨析】1．下列说法中正确的是（

）A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列B．数列的第项为C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列D．数列0，2，4，6，可记为2．设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（

）A．此数列不能用图象表示B．此数列的图象仅在第一象限C．此数列的图象为直线D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点4．（多选）下列叙述不正确的有（）A．数列，，，与，，，是同一数列B．数列，，，，的通项公式是C．，，，，是常数列D．，，，，是递增数列，也是无穷数列5．（多选）下列有关数列的说法正确的是（

）A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项C．在数列1，，，2，，....，第8个数是D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为【题型02：根据规律写出数列中的确定项】6．数列，，，，，…的第7项是（

）A． B． C． D．7．已知，数列，，，…，的项数为（

）A． B． C．m D．8．数列，，，，…的第项为（

）A． B． C． D．9．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数称为五边形数，则第8个五边形数是．10．已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项．11．删去正整数数列中的所有完全平方数，得到一个新数列，求的第2012项．【题型03：由数列通项公式确定某项】12．若数列满足，则（

）A． B． C． D．213．已知数列满足，则（

）A．0 B． C．1 D．214．已知数列满足，则（

）A．9 B．11 C．18 D．2915．在数列中，，，则（

）A． B． C．2 D．16．已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的值不可能为（

）A．16 B．19 C．20 D．2117．数列满足，则＝．18．已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为．【题型04：由数列递推公式确定某项】19．已知数列，，，3，…，，…，则该数列的第40项是（

）A．8 B．10 C．9 D．20．已知，则数列中相等的连续两项是（

）A．第9项，第10项B．第10项，第11项C．第11项，第12项D．第12项，第13项21．已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（

）A．18 B．20 C．32 D．6622．已知数列的通项公式为，则（

）A．34 B．36 C．38 D．4023．已知数列的通项公式为，则110是该数列的第.项24．若已知数列的通项公式是，其中.则是数列中的第项.【题型05：由数列的前几项确定通项公式】25．已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（

）A． B．C． D．26．数列的一个通项公式为（

）A．B．C．D．27．数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（

）A． B．C． D．28．（多选）数列2,0,2,0,…的一个可能的通项公式是（

）A． B．C． D．29．已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为．30．根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式.【题型06：Sn与an的关系求通项公式】31．已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是．32．已知数列的前项和为，且，则．33．在数列中，已知其前项和则当为奇数时，．34．已知数列的前项和为，则.35．（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式（2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式.36．已知数列的前项和为，求的通项公式.【题型07：数列的单调性与最值】37．数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．38．若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（

）A．， B．， C．， D．，39．数列的最大项的值为.40．已知数列的通项公式．(1)求证：；(2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由．41．作出数列的图象，并分析数列的增减性.42．已知数列的通项公式为，求证：此数列为递增数列．【题型08：数列的单调性求参数】43．数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件44．已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．45．已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．46．已知，若数列不是递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．47．已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是．48．数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为.49．已知数列中，(且)．(1)若，求数列中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的，都有成立，求的取值范围．【题型09：由递推公式求通项公式】50．已知数列和满足，且，则（

）A．12 B．15 C．16 D．1951．数列中，，，则．52．在数列中，若，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．53．已知，点在函数的图象上，其中，则数列的通项公式为．54．已知数列满足，则的最小值为.一、单选题1．已知数列，则是这个数列的第（

）项A．13 B．14 C．15 D．162．观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（

）A． B．C． D．3．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．34．在数列中，已知，，则（

）A．32 B．33 C．31 D．305．在数列中，，则等于（

）A． B． C． D．6．记数列的前项和满足，则（

）A． B． C． D．二、多选题7．数列的一个通项公式为（

）A． B．C． D．8．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．单调递减三、填空题9．在数