2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第10讲 等比数列（4知识点+9大题型）（解析版）

第10讲等比数列

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

【题型01：等比数列的判断】

【题型02：求等比数列的基本项】

【题型03：求等比数列的通项公式】

【题型04：等比中项】

【题型05：等比数列的证明】

【题型06：等比数列的性质】

【题型07：对称设元法巧解等比数列】

【题型08：等比数列的单调性】

【题型09：等比数列的实际应用】

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：等比数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q(q0)，那么这个数列叫做等比数

列，这个常数叫做等比数列的公比．

注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；

（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n无关的常数.

知识点2：等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2ab．

知识点3：等比数列的通项公式及其变形

n1

首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是ana1q(a1,q0)．

nm

等比数列通项公式的变形：anamq．

知识点4：等比数列与单调性

a10a10

①当或时，an是递增数列；

q10q1

a10a10

②当或时，an是递减数列；

0q1q1

③当q1时，an为常数列(an0)；

④当q0时，an为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．

【题型01：等比数列的判断】

1．（多选）以下数列中，哪些是等比数列

1111

A．1,,,,B．1,1,1,...,1

24816

C．1,2,4,8,12,16,20D．a,a2,a3,...,an

【答案】AB

11111

【详解】1,,,,是公比为的等比数列；

248162

1,1,1,...,1是公比为1的等比数列；

212

因为，所以1,2,4,8,12,16,20不是等比数列；

18

当a0时，a,a2a3,...,an是公比为a的等比数列；

当a0时，a,a2,a3,...,an不是等比数列；

故选：AB

aa

23

2．已知an是无穷数列，设甲：存在常数q，使得q且q，乙：数列an为等比数列，则（）

a1a2

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

aaa

n123

【详解】数列an为等比数列设其公比为q，则qq，

ana1a2

aaa

23¿n1

若qq，即数列an不一定为等比数列，

a1a2an

所以甲是乙的必要条件但不是充分条件，

故选：B.

an

3．已知an为非常数数列，则“2为等比数列”是“an为等差数列”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【详解】已知an为非常数数列，

an1

a2

若2n为等比数列，设公比为q，则q，且q0，即2an1anq，

2an

an1anlog2q，因log2q为常数，故an为等差数列；

又若an为等差数列，设公差为d，则an1and，且d0，

an1

2dan

2an1an2d，即2，2d为常数，所以2为等比数列；

2an

an

故“2为等比数列”是“an为等差数列”的充要条件.

故选：C.

4．（多选）等比数列an和函数fx满足a11,fnan，则以下数列也为等比数列的是（）

n

A．bnf3nB．bnf

2

22

C．bnfnD．bn[fn]

【答案】AD

=3

【详解】对于A，由题意bnf3na3n,bn1f3n3a3n3，设an+1qan，则bn1qbn，故A正确；

对于B,n为奇数则无意义，故B错误；

对于22n1，故错误；

C,bnfnan2,bn1an22n1qbnC

222222

对于D，bn[fn]an,bn1an1qanqbn，故D正确.

故选：AD.

5．（多选）设an，bn是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（）

an

A．anbnB．anbnC．anbnD．

bn

【答案】CD

【详解】设等比数列an，bn是两个公比分别为q,p，且pq,p0,q0

2222

对于A，因为a2b2a1qb1pa1qb1p2a1b1qp，

222222

a1b1a3b3a1b1a1qb1pa1qb1pa1b1qp，

222

因pq2pq,则a2b2a1b1a3b3，故anbn不是等比数列，即A错误；

2222

对于B，因为a2b2a1qb1pa1qb1p2a1qb1p，

222222

a1b1a3b3a1b1a1qb1pa1qb1pa1b1qp，

2

与A同理，a2b2a1b1a3b3，故anbn不是等比数列，即B错误；

n1n1nn

对于C，因为anbna1qb1p,an1bn1a1qb1p，

abaqnbpn

n1n111pq

n1n1pq，是一个常数，所以anbn是等比数列，故C正确.

anbna1qb1p

n

an1a1q

aaqn1aaqnbbpnqq

n1n11n11

对于D，因为n1,n，n1，是一个常数，

bnb1pbn1b1pana1qpp

n1

bnb1p

a

所以n是等比数列，故D正确.

bn

故选：CD.

6．若数列an，bn是等比数列，则数列a2n，anbn是等比数列吗？

【答案】数列a2n，anbn是等比数列

、

【详解】由题意不妨设数列an，bn的公比分别为pq，显然an,bn,p,q0，

2n1

a2n1ap

则12是常数，故也是等比数列；

2n1pa2n

a2na1p

abapnbqn

n1n111

同理有n1n1pq，也是常数，故anbn是等比数列.

anbna1pb1q

【题型02：求等比数列的基本项】

q

7．已知递增的等比数列an满足a6a810，a3a119，则an的公比（）

1

A．6B．3C．2D．

3

【答案】B

a61a69

【详解】由a6a8a3a119，a6a810，解得或，

a89a81

a1a

628

因为an是递增数列，所以，则q9，又an为递增的等比数列，所以q3.

a89a6

故选：B.

1

8．已知a是等比数列，a且aa2，则a（）

n12237

A．64B．32C．16D．8

【答案】B

【详解】设等比数列an的公比是q，

111

因为a且aa2，所以q·q22，所以q38；

122322

1

所以aaq66432；

712

故选：B

aa

1910

9．已知等比数列an的各项均为正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则（）

2a7a8

11

A．B．C．3D．9

39

【答案】D

n12

【详解】设正项等比数列an的公比为q(q0)，则ana1q，a2a1q,a3a1q，

11

由3a,a,2a成等差数列，得2a3a2a，即aq23a2aq，而a0，

123223121111

a9a10a9(1q)2

则q22q30，解得q3，所以q9.

a7a8a7(1q)

故选：D

10．已知等差数列an的前4项和S416，a5a34，等比数列bn满足b2a2，b3a5，则b6（）

A．81B．243C．27D．729

【答案】B

【详解】设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，

在等差数列an中，S416，a5a34，

4a16d16d2

所以有，故an12n12n1，

2d4a11

9

所以ba3，ba9，则q3，故bbq3933243.

2235363

故选：B

11．在等比数列an中，3a2,2a3,a4成等差数列，则数列an的公比为（）

A．1或2B．1或3C．2或3D．3

【答案】B

【详解】设等比数列an的公比为q,q0，

因为3a2,2a3,a4成等差数列，

23

所以22a33a2a4，即4a1q3a1qa1q.

2

则a1qq4q30，因为等比数列中a1q0，

所以q24q30，解得q1或q3，

故选：B.

12．在正项等比数列an中，已知a2a43,a4a612，则a5a1．

9

【答案】

2

22222

【详解】由a4a6a2qa4q(a2a4)q，则123q，得q4，

由题意知q0，故q=2，

aa(aa)(aa)1239

所以aa624624．

51qq22

9

故答案为：

2

【题型03：求等比数列的通项公式】

13．在等比数列an中，若a1a2a321,a1a2a3216，且a1a3，则an的通项公式为（）

n1n1n1

n1111

．a32．．．

AnBan12Can18Dan24

234

【答案】A

q3

【详解】设等比数列an的公比为，由a1a2a3216可得a2216，解得a26，

6

设a，a6q，

1q3

61

因为aaa21，所以66q21，解得q或q=2.

123q2

11

当q时，a12，a3，aa不成立，故q不满足题意，故舍去；

213132

==

当q2时，a13，a312，满足a1a3，故q2满足题意.

n2n2n1

所以ana2q6232．

故选：A

14．设数列xn满足lnxn11lnxn，且x1x2···x1010，则x21x22···x30（）

A．11e20B．11e21C．10e20D．10e21

【答案】C

xx

n1n1

【详解】由lnxn11lnxn，得lnxn1lnxnln1，所以e，

xnxn

则数列{xn}是以e为公比的等比数列，

因为x1x2x3···x1010，

2020202020

所以x21x22x23···x30ex1ex2ex3···ex1010e.

故选：C

15．已知递减的等比数列an，前三项的积为216，前三项的和为19，则a4.

8

【答案】

3

n1

【详解】根据题意，数列为等比数列，则ana1q，又因为数列为递减数列，则0q1，

又因为前三项的积为216，前三项的和为19，所以a1a2a3216，a1a2a319，

23

可以得到a3q3216，即aq6，aaqaq219，解得：q或（舍），

1111132

n13

或（舍），所以2，所以28，

a194an9a49

333

8

故答案为：.

3

，，

16．已知等比数列an满足a2a320a1a464q1，则数列an的通项公式an.

【答案】4n1

aqaq220a1

【详解】由题意得11，结合q1，解得1，

23

a1q64q4

n1n1

则an144.

故答案为：4n1.

91

17．已知数列ab是等差数列，数列ab是等比数列，且a2,b0,a,b，则a（）

nnnn11222299

A．298148B．299148C．299147D．298147

【答案】A

91

【详解】因为a2,b0,a,b，

112222

所以a1b1a1b12,a2b25,a2b24，

所以数列anbn是首项为2，公差为3的等差数列，

数列anbn是首项为2，公比为2的等比数列，

n

所以anbn23(n1)3n1,anbn2，

n

23n198

则a，所以a992+148.

n2

故答案为：A

*

18．已知Sn为数列an的前n项和，Sn12Sn，nN，S24，则a2021等于（）

A．22020B．42020C．42021D．22021

【答案】A

S

n1

【详解】由Sn12Sn，S24可知，S12，2，

Sn

故Sn是以2为首项，2为公比的等比数列，

n1n

故Sn222，

2021202020202020

所以a2021S2021S2020222212.

故选：A.

【题型04：等比中项】

19．4与9的等比中项为（）

A．6.5B．6C．6D．6

【答案】D

【详解】设4与9的等比中项为m，

则m24936，所以m6，

故4与9的等比中项为6.

故选：D.

2

20．已知等比数列an，若a2，a6为方程x10x120的两根，则a4的值为（）

A．23B．23C．5D．6

【答案】A

2

【详解】因为等比数列an，a2，a6为方程x10x120的两根，

2

所以a2a6a412，故a423，

又因为a2a6100，

所以a2，a6同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号，

所以a423.

故选：A.

21．若Sn为等差数列an的前n项和，S828，S1266，则a5与a7的等比中项为.

【答案】26

【详解】因为Sn为等差数列an的前n项和，且S828，S1266，

8a28d28d1

所以可得1，解得，

12a166d66a10

所以a5a14d4，a7a16d6，

2

设a5与a7的等比中项为m，则ma5a74624，则m26，

所以a5与a7的等比中项为26.

故答案为：26

q

22．已知an是公差为d的等差数列.若a11，a22，a33是公比为q的等比数列，则d，.

【答案】11

【详解】因为a11，a22，a33是公比为q的等比数列，

2

所以a22a11a33，

又因为an是公差为d的等差数列，

所以a2a1d,a3a12d，

2

则a1d2a11a12d3，

2222

又a1d2a1d4a1d4a12a1dd4a14d4，

2

a11a12d3a12a1d4a12d3，

2

所以d2d10，解得d1，则a22a1d2a11，

a2a1

所以q211.

a11a11

故答案为：1；1.

a2a1

23．若1，a1，a2，4成等差数列；1，b1，b2，b3，4成等比数列，则等于（）

b2

1111

A．B．C．D．

2224

【答案】A

q22

【详解】若1，b1，b2，b3，4的公比为，则b21qq0，

41

由题设aa1，b2bb144，则b2（负值舍），

2132132

aa1

所以21.

b22

故选：A

【题型05：等比数列的证明】

a

n*

24．数列an满足an1(nN)且a11，则下列结论错误的是（）

12an

1

211

A．B．2an是等比数列

aaa

231

C．(2n1)an1D．3a5a17a49

【答案】D

a112a1

nn

【详解】由数列an满足an1，可得2，

12anan1anan

111

所以2，且=1，

an1ana1

1

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，

an

1

故1(n1)22n1，

an

1111

对于A，因是等差数列，则是,的等差中项，

ana2a3a1

211

即，故A正确；

a2a3a1

1

a11

n11

2an1an2

对于B，由224，且a1，

12122

2an

1

a

所以数列2n是首项为2，公比为4的等比数列，故B正确；

1

*

对于C，由2n1，可得(2n1)an1，其中nN，故C正确；

an

1

1

对于D，由2n1，可得an，

an2n1

11111

则3aa3，a，

51725121719949249197

即3a5a17a49，故D错误.

故选：D.

an1an1

25．数列a满足a1，2.证明：数列na1是等比数列.

n1nn1nn1n

【答案】证明见解析

aa1

【详解】因为n12n，即n1a2na1，

nn1nn1n1n

可得n1an1+12nan1，且1a1120，

所以数列nan1是以首项和公比均为2的等比数列.

3a1

3n

26．已知数列an的首项a1，且满足an1．设bn1，求证：数列bn为等比数列；

52an1an

【答案】证明见解析

3

【详解】因为a，所以a0.

15n

3a

n

由题意，数列an满足an1，

2an1

12a1112

可得n，

an13an3an3

111211

所以111，

an13an33an

12

3

又a1，所以b110，

5a13

1

1

ab1

则n1n1为常数，

1b3

1n

an

21

所以数列b是首项为，公比为的等比数列．

n33

22

27．已知正项数列an满足an12anan13an0，且a13.求数列an的通项公式；

n

【答案】an3

22

【详解】由an12anan13an0，得(an1an)(an13an)0，

因为an0，所以an13an0，即an13an，

因为a13，

所以数列an是以3为公比，3为首项的等比数列，

n1n

所以an333；

111

28．已知数列a，b满足a1,b，2aab，2bab．证明：数列ab为等比数

nn112n1n2nn12nnnn

列；

【答案】证明见解析

111

【详解】由题a1,b，2aab，2bab，

112n1n2nn12nn

113

所以2a2babab2abab，

n1n1n2n2nnn1n12nn

313

得abab，ab1，

n1n14nn1122

33

所以数列ab是以ab为首项，为公比的等比数列.

nn1124

29．已知数列满足a13，且对任意的nN，都有an13an2n1nN，令bnann，证明：数列bn

为等比数列；

【答案】证明见解析

【详解】已知bnann，则bn1an1(n1)，

因为an13an2n1，所以bn13an2n1n13an3n3bn，

b3a3n

n1n

又b1a11312，所以bn0，则3，

bnann

所以数列{bn}是以2为首项，3为公比的等比数列.

【题型06：等比数列的性质】

30．在等比数列an中，a1a3a102a4a7，且a1254，则a9（）

A．36B．27C．18D．9

【答案】C

【详解】由等比数列的性质得a1a10a4a7，故a1a3a10a3a4a72a4a7，

得a32．

993a1254

由aaq54，得q27，则q3，所以a918．

123q33

故选：C.

aa

2711

31．在等比数列an中，a5，a13是方程x6x40的根，则（）

a9

A．1B．2C．2D．1

【答案】C

2

【详解】因为a5，a13是方程x6x40的根，所以a5a1360，a5a1340，所以a50，a130；

q22

设等比数列an的公比为，则a5a13a9，所以a94，解得a92；

2

4a7a11a9

又a9a5q0，所以a92，所以a92.

a9a9

故选：C.

bb

sin210

32．已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a2a6a1033，b1b6b112，则

a3a91

的值是.

【答案】3

2

【详解】因为数列an是等比数列，数列bn是等差数列，又a2a6a1033，b1b6b112，

2π4π

则a3，b，所以aa3，bb，

663392103

4π

则bb2π3

sin210=sin3=sin=.

a3a91232

3

故答案为：.

2

q

33．已知递增的等比数列an满足a6a810，a3a119，则an的公比.

【答案】3

a61a69

【详解】由a6a8a3a119，a6a810，解得或，

a89a81

a1a

628

因为an是递增数列，所以，则q9，即q3（负根舍去）.

a89a6

故答案为：3.

a

34．设正项等比数列a中，aa64，若a,10,10依次成等差数列，则a.

n687310

【答案】27

2

【详解】由等比中项的性质可知a7a6a864，a78，

a2a

又a,10,10成等差数列，则10a1018,a27.

733710

故答案为:27

【题型07：对称设元法巧解等比数列】

35．5个数依次组成等比数列，且公比为2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（）

212121

A．B．2C．D．

20105

【答案】C

【详解】由题意可设这5个数分别为a,2a,4a,8a,16a，

a4a16a21

故奇数项和与偶数项和的比值为.

2a8a10

故选：C.

3

36．已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为．

2

1111

【答案】8,2,,或,,2,8

2882

【详解】设此4个数为a,aq,aq2,aq3.

3

则a4q6=1，且aq(1q)①，所以a2q31，

2

1

当a2q31时，q0，代入①式化简可得q2q10，此方程无解；

4

171

当a2q31时，q0，代入①式化简可得q2q10，解得q4或q.

44

11

当q4时，a；当q时，a8.

84

1111

所以这4个数为8,2,,或,,2,8.

2882

1111

故答案为：8,2,,或,,2,8.

2882

37．（1）在2和9之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，试写出这个数列；

（2）在320与5中间插入5个数，使这7个数成等比数列，求这个等比数列．

13

【答案】（1）2,4,6,9或2,,,9，（2）320,160,80,40,20,10,5或320,160,80,40,20,10,5

42

【分析】

【详解】（1）设插入的两个数分别为a,b，即这四个数为2,a,b,9，

因为前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，

3

b

2a2bb62

所以，解得，或，

b29aa41

a

4

13

所以这个数列为2,4,6,9或2,,,9，

42

（2）设这个等比数列的公比为q，由题意得a1320,a75，

111

所以320q65，得q6，得q，或q，

6422

1111

当q时，a320160，a16080，a8040，

2223242

11

a4020，a2010，

5262

1111

当q时，a2320160，a316080，a48040，

2222

11

a54020，a62010，

22

所以这个等比数列为320,160,80,40,20,10,5，或320,160,80,40,20,10,5.

1

38．在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．

4

11

【答案】2,1,；或2,1,

22

【分析】

1141

【详解】解：（方法一）依题意，a14，a，由等比数列的通项公式，得4q，解得q．

5442

1

当q时，插入的3个数分别为

2

1111

42,21,1；

2222

1

当q时，插入的3个数分别为

2

1111

42,(2)1,1．

2222

11

因此，插入的3个数分别为2,1,；或2,1,．

22

（方法二）因为等比数列共有5项，即

a1,a2,a3,a4,a5．

1

又因为2315，所以a2aa41，即a1．

31543

又因为a3要与a1同号，因此a31．

22

类似地，有a2a1a3,a4a3a5，而且a2与a4同号．因此：

11

当a2a1a3412时，aaa1

43542

11

当a2a1a3412时，aaa1．

43542

11

因此，插入的3个数分别为2,1,；或2,1,．

22

【题型08：等比数列的单调性】

39．已知an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】D