2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第12讲 数学归纳法（2知识点+6大题型）（原卷版）

第12讲数学归纳法内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：相关关系的概念和判断】【题型01：数学归纳法的概念】【题型02：数学归纳法的增项】【题型03：用数学归纳法证明恒等式】【题型04：用数学归纳法证明不等式】【题型05：用数学归纳法证明整除问题】【题型06：数学归纳法证明数列问题】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:（1）（归纳奠基）证明当时命题成立;（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法.知识点2：用数学归纳法证明恒等式（1）弄清取第一个值时等式两端项的情况;（2）弄清从到等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;（3）证明时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝证明目标的表达式变形.【题型01：数学归纳法的概念】1．用数学归纳法证明，第一步应验证（

）A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立2．用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（

）A．2 B．3 C．4 D．53．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（

）A． B．C． D．4．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（

）A．若成立，则当时，均有成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则当时，均有成立D．若成立，则当时，均有成立5．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（

）A．1 B． C． D．6．正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为（

）A． B． C． D．【题型02：数学归纳法的增项】7．用数学归纳法证明时，由的假设证明时，不等式左端的变化是（

）A．增加项 B．增加和两项C．增加和两项，减少项 D．以上结论均不正确8．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（

）A．增加一项 B．增加两项、C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项9．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（

）A． B．C． D．10．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（

）A． B．C． D．11．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是.【题型03：用数学归纳法证明恒等式】求的和.13．用数学归纳法证明：．14．用数学归纳法证明（为正整数）．15．是否存在常数，，使得对一切自然数都成立？证明你的结论．16．设是定义在上的增函数，且，求证：．【题型04：用数学归纳法证明不等式】17．用数学归纳法证明：对任意的正整数．18．当且时，求证：．19．若，，，，，，求证：．20．当且时，求证：．21．用数学归纳法证明不等式：．22．用数学归纳法证明：【题型05：用数学归纳法证明整除问题】23．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（

）A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立24．用数学归纳法证明：能被64整除．25．用数学归纳法证明：能被整除（）26．求证：对任何正整数n，数都能被8整除27．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？【题型06：数学归纳法证明数列问题】28．已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除．29．已知数列满足，且，．(1)求，，；(2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明．30．在数列中，，.(1)求，，猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想.31．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通项公式，并加以证明．32．设数列满足，，2，3，．(1)当时，求，，，并由此猜想出的一个通项公式；(2)当时，用数学归纳法证明对所有，有．33．已知数列1，，，，…，（）的前项和为．(1)求，，；(2)猜想前项和，并证明．一、单选题1．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（

）A．项 B．项C．项 D．k项2．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当时，左边，右边，不等式成立.（2）假设当（且）时，不等式成立，即，那么当时，，所以当时，不等式成立，则上述证法（

）A．过程全部正确 B．验证不正确C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（

）A．时等式成立 B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立4．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（

）.A． B． C． D．5．若正项数列中，，，则的值是（

）A． B．C． D．二、多选题6．用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（）A．使不等式成立的第一个自然数B．使不等式成立的第一个自然数C．推导时，不等式的左边增加的式子是D．推导时，不等式的左边增加的式子是7．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（

）A．若成立，则当时，均有成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则当时，均有成立D．若成立，则当时，均有成立三、填空题8．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为．9．存在常数a，b，c使得等式对一切正整数成立，则．10．2023年2月22日，中国厦门市一名8岁男孩用时4.305秒单手完成4层汉诺塔游戏，成为新的世界纪录保持者.汉诺塔游戏源于1883年法国数学家卢卡斯提出的汉诺塔问题，有，，三根柱子，在柱上放着由下向上逐渐变小的个盘子，现要求把柱上的盘子全部移到柱上，且需遵循以下的移动规则：①每次只能移动一个盘子；②任何时候都不允许大盘子放在小盘子的上面；③移动过程中盘子可以放在，，中任意一个柱子上.若用表示个盘子时最小的移动次数，则，.四、解答题11．已知．(1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出；(2)若（1）