2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题08 排列组合11大题型（解析版）

专题08排列组合11大题型

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：排列的定义及排列数

1.排列的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个

不同元素中取出m个元素的一个排列.

2.排列数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元

素的排列数用符号m表示

,An.

排列数公式m*并且从形式上看排列数m等于从开

3:Ann(n1)(n2)(nm1),m,nN,mn.Ann

始的m个连续自然数相乘.

全排列:特别地,n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.

n!

n的阶乘:正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.规定:0!1,Am

n(nm)!

知识点2：组合的定义及组合数

组合的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素

的一个组合.

组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元

素的组合数用符号m表示

,Cn.

Amn(n1)(n2)(nm1)n!

组合数公式：mn这里*并且

Cnm,m,nN,mn.

Amm!m!(nm)!

规定0

Cn1.

组合数的性质（）mnm（）mmm1

:1CnCn;2Cn1CnCn

知识点3：排列数的应用

1.没有限制条件的排列问题：对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,分清元素和位置即可.

2.有限制条件的排列问题：分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元

素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.

3.相邻问题：采用捆绑法；不相邻问题：采用插空法

4.定序问题：可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.

5.有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则；②间接法：先不考虑限制条件计

算选法种数,然后排除不满足条件的选法

平均分组问题：一般先分堆，再除以n

6.nAn.

不平均分组问题：先分堆，其中有组个数一样，再除以m

7.nmAm

8.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将n个相同的元素分成m份,每份至少一个元素,可以用m1

块隔板，插入n个元素排成一排的n1个空隙中，

【题型01两个计数原理的应用】

1．甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（）

A．7B．12C．81D．64

【答案】D

【详解】甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，

即每人去听一个讲座共有4种选择，则三人各选一个讲座种数为4364．

故选：D．

2．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），

那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】B

【详解】元件A不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有22种，

元件A正常，当且仅当元件B,C都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种，

所以n145.

故选：B

3．在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员

赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐

某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票

方案种数为（）

A．14B．19C．90D．200

【答案】B

【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为410519.

故选：B.

4．用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（）

A．48B．36C．24D．18

【答案】D

【详解】用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数个位数字有2种情况，首位数字有3种情况，十

位数字有3种情况，

所以三位奇数的个数为23318种情况.

故选：D.

5．2025的正因数的个数为个.（用数字作答）

【答案】15

【详解】因为202581253452，

则根据正因数个数定理，2025的正因数个数为412115个.

故答案为：15.

6．如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有种．

【答案】48

【详解】解：参观路线分步完成：

第一步，选择三个“环形”路线中的一个流览，有3种选法；

而在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针2类方法完成；

第二步，选择余下的两个“环形”路线中的一个游览，有2种方法，

同理，在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方法完成；

第三步，游览最后一个“环形”路线，也可以按顺时针或按逆时针两类方法完成，

根据分步乘法计数原理可知不同的参观路线共有3222248种.

故答案为：48

【题型02排列数、组合数的化简与证明】

52

7．计算C7A3（）

A．252B．126C．84D．63

【答案】B

76

【详解】C5A2C2A232126．

737321

故选：B．

8．（多选）下列选项正确的有（）

43123

A．A43A36B．A3A3A312

1983455

C．C20019900D．C8C8C9C10

【答案】ACD

43333

【详解】因为A43A34A33A3A36，所以A正确；

123

因为A3A3A333232115，所以B不正确；

200199

因为C198C219900，所以C正确；

2002002

345455

由组合数的性质可得C8C8C9C9C9C10，故D正确.

故选：ACD.

9．（多选）已知m,nN*，且nm2，则（）

52020666

A．C2025C2025B．A9C9A6

mm1mm1m

C．AnAnAn1D．nCn1mCn

【答案】ABD

52020

【详解】A选项，由组合数性质得C2025C2025，A正确；

666

B选项，由组合数计算公式得A9C9A6，B正确；

323

C选项，不妨设n4,m3，则A424,A412,A560，

mm1m

显然AnAnAn1，C错误；

m1n1!n!n!m

D选项，nCn1nmmCn，D正确.

m1!nm!m1!nm!m!nm!

故选：ABD

32

10．计算：A5A4．

【答案】48

32

【详解】由题意可得：A5A454343601248.

故答案为：48.

kk1

11．（1）证明：kCnnCn1，其中1kn，n2；

0123n1n

（2）化简：Cn2Cn3Cn4CnnCnn1Cn，其中n2．

【答案】（1）证明见解析；（2）(n2)2n1

【分析】

kkn!n!

【详解】（1）证明：由组合数的计算公式，可得kCn，

k!(nk)!(k1)!(nk)!

k1nn1!n!

又由nC，所以kCknCk1；

n1k1!nk!k1!nk!nn1

0123n1n

（2）解：设SCn2Cn3Cn4CnnCnn1Cn，

nn13210

则Sn1CnnCn4Cn3Cn2CnCn，

0123n1nn

两式相加，可得2S(n2)(CnCnCnCnCnCn)(n2)2，

n10123n1nn1

所以S(n2)2，即Cn2Cn3Cn4CnnCnn1Cn(n2)2.

54

A8A8

12．（1）计算:65;

A7A7

m1

An1m1m1

（2）nmCn1.

Amn1

【答案】（1）2；（2）0

【分析】

54

A8A8876548765848

【详解】解:（1）652，

A7A77654327654343243

Am1m1(n1)!m1(n1)!

n1m1

(2)nmCn1n

Amn1(nm)!m!n1(m1)!(nm)!

n!n!

(nm)!m!m!(nm)!

0

【题型03排列组、组合数的方程及不等式】

xx2

13．不等式A86A8的解集为（）

A．2,8B．7,12C．{x∣7x12,xN}D．8

【答案】D

xx2

【详解】因为A86A8，

8！8!

所以6，

(8x)!(10x)!

所以(10x)(9x)6，

所以(x7)(x12)0，又2x8，xN，

所以x8，

xx2

所以不等式A86A8的解集为8，

故选：D.

k=3k-8

14．已知C20C20，则k

【答案】4或7

mnm

【详解】由组合数的性质CnCn，得k3k8或3k-8+k=20，解得k4或k7．

经检验k4和k7均满足0k20且0£3k-8£20，故k的值为4或7.

故答案为：4或7

5656

15．已知组合数Cm,Cm，则关于m的不等式CmCm的解集为．

【答案】6,7,8,9,10

56

【详解】不等式CmCm，

mm1m2m3m4mm1m2m3m4m5

即不等式，

54321654321

解得m11，又因m6且m为正整数，

所以原不等式的解集为6,7,8,9,10．

故答案为：6,7,8,9,10.

16．解关于x的方程：

43

(1)A2x1140Ax；

CxC3x

nn．

(2)x1x1

Cn7Cn

【答案】(1)x3

(2)x2,n8．

【分析】

【详解】（1）由排列数公式，可得2x12x2x12x2140xx1x2，

化简得4x235x69x1x0，

23

解得x3或x或x1或x0．

4

2x14

又因为x要满足，且2x1N*,xN*，

x3

所以原方程的解为x3．

x3xmnm

（2）由条件CnCn，结合组合数的性质CnCn，可得x3xn或x3x，

则n4x或x0（舍去）

x1x1

又因为Cn7Cn，

n!7n!

可得，

x1!nx1!x1!nx1!

17

即，

x1xnx1nx

把n4x代入上式，解得x2,n8．

17．解下列方程.

322

(1)若3Ax2Ax16Ax，求x.

32

(2)An16Cn

1

(3)Cx2Cx3A3.

x2x210x3

【答案】(1)x5

(2)n10

(3)x4.

x!x1!x!

【详解】（1）由题意得326，

x3!x1!x2!

则3x(x1)(x2)2xx16xx1，

2x16

则同除x(x-1)(x-2)得3，

x1x2x2

同乘(x1)(x2)得到2x16x13x1x2，

2

则3x17x103x2x50，又xN*，故解得x5.

32nn1

（2）因为An16Cn，所以nn1n216，

2

又因为n3，所以n28，解得n10.

1

（3）由题意得CmCm1Cm,Cx2Cx3A3，

nnn1x2x210x3

1

即Cx2A3，因为CmCnm，所以Cx2C5，

x310x3nnx3x3

1x3!x3!

得到C5A3，则，

x310x35!x2!10x!

化简可得xx112，解得x4或x3，

x20

又，即x2，所以解得x4.

x30

【题型04相邻问题和不相邻问题】

18．某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，

则这六个班排队的不同安排方案共有（）

A．240种B．120种C．188种D．156种

【答案】B

2

【详解】甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有4A28（种），将剩余的三个班全排列，

3

安排到剩下的3个位置，有A36（种）情况，此时有8648（种）安排方案；

2

甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有3A26（种），将剩下的三个班全排列，

3

安排到剩下的三个位置，有A36（种）情况，此时有6636（种）安排方案；

2

甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有3A26（种），将剩下的三个班全排列，

3

安排到剩下的三个位置，有A36（种）情况，此时有6636（种）安排方案

由分类加法计数原理可知共有483636120（种）方案．

故选：B．

19．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班

的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（）

A．24种B．36种C．72种D．144种

【答案】D

32

【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有A3A212种站法；

2

第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有A412种站法.

根据分步乘法计数原理，不同的站法共有1212144种.

故选：D.

20．某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期

间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的

画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（）

A．16B．20C．24D．26

【答案】C

22

【详解】因为A与B的画像不相邻，所以先排C,D再插空排A,B有A2A3=12种排法，

22

又因为E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为2×A2A3=24种排法.

故选：C.

21．7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有种不同安排方式.

【答案】1200

【详解】甲乙两人相邻的情况：将甲乙捆绑，再与其他5人作全排列，

26

所以共有A2A61440种情况，

其中甲乙、甲丙都相邻的情况：乙丙在甲的两侧并作捆绑，再与其他4人作全排列，

25

所以共有A2A5240种情况，

所以甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻共.

故答案为：1200

22．某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级

的同学不相邻的站法有种．

【答案】2016

【详解】先将4名高三学生全排列，

44

若高一、高二学生不相邻，站法有A42A41152，

4123

若高一学生与高二学生相邻，站法有A4C3A2A3864，

共有11528642016种站法．

故答案为：2016

【题型05定序问题】

23．在一次交流活动中，有4名男同学（包含甲）和3名女同学共7名同学排成一行，则男同学甲的右侧

（可不相邻）没有其他男同学的排法种数为（）

A．468B．540C．720D．1260

【答案】D

A7

【详解】要使排列符合题意，甲在4名男同学的排列中位于最右边，则排列的方法数为71260.

4

故选：D.

24．6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有种;进场

后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不

同分配方法有种.(请用数字作答)

【答案】120210

【分析】

6

A6

【详解】甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有3=120种，

A3

2122

A项目恰有2人游玩的组合有C6(C4A2+C4)=210种.

故答案为：120；210.

25．甲乙丙丁等二十人排队，并从左至右依次编号1～20．甲乙丙丁所对应的编号为a，b，c，d．则满足c

＞b＞a＞d的概率为．

1

【答案】

24

20

【详解】二十人排队共有A20种排列方法，

20

A20120

因为甲乙丙丁排列顺序唯一确定，则满足条件的情况数为4A20，

A424

1

A20

201

所以满足条件的概率为24，

20

A2024

1

故答案为：.

24

26．自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818，若用欧拉数的

其中6位数字1,8,2,8,1,8设置一个6位数的密码，则不同的密码有（）个

A．720B．180C．60D．260

【答案】C

6

【详解】六个数的全排列共有A6个，

因为1出现2次，8出现3次，

6

A6

所以不同的密码有2360个.

A2A3

故选：C.

27．将3面红旗、4面蓝旗、2面黄旗依次悬挂在旗杆上，问：可以组成多少种不同的标志？

【答案】1260

9

【详解】将3面红旗、4面蓝旗、2面黄旗全排列共有A9种排法，

由于每个颜色的旗都一样，所以相同颜色的旗不需要排序，

A9

9

所求的标志数目为3421260种．

A3A4A2

【题型06多面手问题】

28．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选

4人排版，4人印刷，有（）种不同的选法.

A．185B．216C．128D．72

【答案】A

【详解】设只会印刷的4人中被选中人数为X，则X的可能取值有2、3、4，

2

①当X2时，从只会印刷的4人中选2人，有C4种情况，

24

再安排既会排版又会印刷的2人印刷，有C2种情况，最后从只会排版的5人中选4人，有C5种情况，

224

则共有C4C2C530种情况；

3

②当X3时，先从只会印刷的4人中选3人，有C4种情况，

14

再从既会排版又会印刷的2人中选1人印刷，有C2种情况，最后从剩余会排版的6人中选4人，有C6种情况，

314

则共有C4C2C6120种情况；

4

③当X4时，先从只会印刷的4人中选4人，有C4种情况，

444

再从会排版的7人中选4人，有C7种情况，则共有C4C735种情况；

综上所述，共有3012035185种情况；

故选：A.

29．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，

其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，

其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（）

A．15种B．18种C．19种D．36种

【答案】C

【详解】根据题意，记A只会划左桨的两人，B只会划右桨的两人，C既会划左桨又会划

右桨的两人；

则不同的选派方法有以下三种：

22

（1）从A中选择2人划左桨，划右桨的在BC中选两人，共有C2C46种，

（2）从A中选择1人划左桨，则从C中选1人划左桨，再从BC剩下的3人中选2人划右桨，共有

112

C2C2C312种；

22

（3）从A中选择0人划左桨，则B中的两人划右桨，从C中选2人划左桨，共有C2C21

所以，不同的选派方法共有19种.

故选：C

30．已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4

人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有种．（用

数字作答）．

【答案】140

3321

【详解】若从只会韩语中选3人，则C4C5C5C142080种，

213

若从只会韩语中选2人，则C4C1C561060种，

故不同的选人方案共有6080140种．

故答案为：140

31．有11名演员，其中9人会唱歌，5人会跳舞，现要表演一个2人唱歌2人伴舞的节目，则不同的选派方

法共有种（写出具体数字结果）．

【答案】267

【详解】由题意可知：11名演员中，既会唱歌又会跳舞的演员有：95113人，

则有6人仅会唱歌，2人仅会跳舞；

22

①仅会唱歌的6人中有2人表演唱歌节目，则选派方法有C6C5150种；

112

②仅会唱歌的6人中有1人表演唱歌节目，则选派方法有C6C3C4108种；

22

③仅会唱歌的6人中无人表演唱歌节目，则选派方法有C3C39种；

由分类加法计数原理可知：不同的选派方法有1501089267种.

故答案为：267.

32．某旅行社有导游9人，其中有5人会英语，有6人会日语。现在需要选3名英语导游和3名日语导游，完

成一项导游任务，则不同的选择方法为.

【答案】92

【详解】由题意，

有导游9人，其中有5人会英语，有6人会日语，

∴有3人只会英语，4人只会日语，2人两种语言都会，

33

若1个会双语的导游都不选，则有C3C44种选择方法，

23321

若恰好选1个会双语的导游，则有C3C4C3C4C236种选择方法，

1331122

若恰好选2个会双浯的导游，则有C3C4C3C4C2C3C452种选择方法,

故不同的选择方法有4365292种.

故答案为：92.

【题型07涂色问题】

33．如图，为了出黑板报，某班级为黑板A､B､C､D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区

域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（）

AB

CD

A．24种B．48种C．72种D．84种

【答案】B

【详解】由题意可知，使用了3种颜色则只有A和D颜色相同，或只有B和C颜色相同，

13

则涂色方法共有C2A422448种.

故选：B

34．如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区

域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有（）种不同的种植方法．

A．36B．60C．84D．120

【答案】C

【详解】设k种种子排成环形的n个区域种植不同的方法数为fk(n)，

若先考虑排成一行的区域种植且相邻区域种植不同种子，则方法数应为k(k1)n1，

①若区域1和区域n种植不同种子时，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时满足条件：

②若区域1和区域n种植相同种子时，把区域1和区域n粘在一起成一个环状时不满足条件，此方法数需

从k(k1)n1种方法中被减掉．

n133

所以fk(n)k(k1)fk(n1)，依题意，易得fk(3)Ak，则fk(4)k(k1)fk(3)，

333

即f4(4)43f4(3)43A484．

故选：C.

35．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法

（）

A．72B．96C．120D．144

【答案】C

【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4，

（1）四种颜色都用：

先涂区域B，有4种填涂方案，不妨设涂颜色1，

再涂区域C，有3种填涂方案，不妨设涂颜色2，

再涂区域E，有2种填涂方案，不妨设涂颜色3，

若区域A填涂颜色2，则区域D,F填涂颜色1、4或4、3，

若区域A填涂颜色4，则区域D,F填涂颜色1、3或4、3，

共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得，共有4324=96种不同的涂法.

（2）四种颜色只用其中的三种颜色：

即当A,C同色，B,D同色，E,F同色，共有432=24种不同的涂法.

综上所述，根据分类相加计数原理可得，共有24+96=120种不同涂法.

故选：C

36．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”

它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同

一类格子形状相同）：

“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；

“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；

“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放

入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同

时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）

A．108B．36C．9D．6

【答案】C

【详解】由题可知中间格只有一种放法；

十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；

四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，

有2种放法，或每种都放两个位置，有1种放法，故四角格共有3种放法；

所以不同放法共有1339种.

故选：C.

37．（多选）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确

的是（）

B

AE

C

D

A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有45种不同涂法

B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法

C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法

D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法

【答案】AB

【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有4444445种不同涂

法，A正确；

33

对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有C4A324种不

同涂法，故B正确；

1

对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有C4种涂法，

313

因A,C,E三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在A,C,E上全排，有A3种涂法，则共有C4A324

种涂法，故C错误；

对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有43224种涂法，

因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，

此时共有24种涂法，故D错误．

故选：AB.

38．用四种不同颜色给图中的4个区域涂色，如果每一个区域涂一种颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，

共有种不同的涂色方法.

【答案】84

【详解】先涂A有4种情况，下一步涂B有3种情况，

再涂D，分D与B同色或不同色两种情况分类，

当D与B同色，C有3种情况，当D与B不同色，C有2种情况，

所以涂色方法有43132212784种情况.

故答案为：84.

【题型08分组分配问题】

39．兰大附中计划开展“学长经验分享会”，要将6名优秀毕业生分配到高一、高二、高三3个年级进行经验

宣讲，要求每个年级至少有1名，至多有3名，则不同的分配方案共有（）

A．360种B．450种C．540种D．900种

【答案】B

【详解】6名毕业生分配到3个年级，每个年级至少有1名，至多有3名，可分为两类：

①各年级人数分别为1，2，3：

1233

先将6人分为三组（1人，2人，3人），再分配到3个年级，方法数为C6C5C3A3360种；

②各年级人数均为2：

C2C2C2

6423

先将6人平均分为三组，再分配到3个年级，方法数为3A390种，

A3

所以所求方案共有36090450种方法．

故选：B

40．从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人

破译，则不同的人员安排共有（）

A．40种B．48种C．30种D．72种

【答案】C

4

【详解】从5名学生中选择4人，共有C55种，

22

C4C2

将4人分成两组，共有23种，

A2

2

再将2组进行全排列，对应A，B两种文件，共有A22种，

则不同的人员安排共有53230种．

故选：C

41．甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一

名学生，其中甲指导三名学生，则共有（）种分配方案

A．90B．120C．150D．240

【答案】B

3

【详解】第一步，从六名学生中选3名，分配给甲指导，有C620种不同的方法，

122

第二步，将剩余3名学生分成两组，分配给乙、丙指导，有C3C2A2326种不同的方法，

根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有206120种.

故选：B.

42．现安排5名师范生到某高中（三年制）学校实习，每个年级至少安排1名，每名师范生都安排了实习，

且只安排到一个年级实习，则所有的安排种数为（）

A．138B．240C．300D．150

【答案】D

【详解】由题意，5名师范生可以分成2,2,1或3,1,1三组，分别分配给一个年级，

C2C2

5333

故有2C5A315106150种安排方法.

A2

故选：D

43．某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》

中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（）

A．150种B．240种C．180种D．120种

【答案】A

【详解】5名同学分配到3篇诗歌（每篇至少1人），人数分配只能是“2,2,1”或“3,1,1”两种组合，

22

C5C33

若人数分配为“2,2,1”，则有2A390种不同选择情况；

A2

11

C5C43

若人数分配为“3,1,1”，则有2A360种不同选择情况；

A2

综上，共有150种不同选择情况.

故选：A

44．中国空间站ChinaSpaceStation的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31

日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天

和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将

正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则

不同的安排方法有(用数字作答)

【答案】450

【详解】由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：

1233

第一种，分人数为1,2,3的三组，共有C6C5C3A3=360种；

222

C6C4C23

第二种，三舱人数都为2，共有3A3=90种；

A3

所以不同的安排方法共有36090450种．

故答案为：450

【题型09隔板法】

45．方程x1x2x3x47的正整数解的个数为（）

A．15B．35C．40D．20

【答案】D

【详解】原问题相当于将7个相同的小球装入4个不同的盒子里，每个盒子中至少有1个小球，

可采用隔板法，将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空位上插入3个隔板，

3

故共有C620种方法.

故选：D

46．某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，

本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（）

种分配方法.

A．90B．60C．126D．120

【答案】C

【详解】若每个班至少3人参加，由于（1）班有2个志愿者队长，

故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，

再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，