2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题09 二项式定理9大题型（原卷版）

专题09二项式定理9大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：二项式定理.这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数,式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.知识点2：二项展开式形式上的特点（1）项数为；（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数,即与的指数的和为.（3）字母按降幂排列,从第一项开始,次数由逐项减小1直到零;字母按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增加1直到.知识点3：二项式系数的性质（1）每一行的两端都是1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和,这实际上反映了组合数的下列性质:.（2）对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即（3）二项式系数先增后减中间项最大当为偶数时,第项的二项式系数最大,最大值为,当为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为或.（4）各二项式系数的和：【题型01求二项展开式的特定项】1．若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．23．在的二项展开式中，的系数为（用数字作答）．4．在的展开式中，的系数为10，则的值为.5．已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1．则n的值为．6．已知，若，则的值为.【题型02求二项展开式的有理项】7．在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．78．已知(其中)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（

）A．43 B． C．27 D．9．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（

）A．种 B．种 C．种 D．种10．在的展开式中，系数为整数的项数是（

）A．9 B．4 C．3 D．211．二项式的展开式中，共有有理项是项12．已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比是.(1)求；(2)求展开式中所有的有理项.【题型03求三项展开式的指定项】13．的展开式中的系数为（

）A．30 B． C．60 D．14．的展开式中的常数项为（

）A．120 B．88 C．24 D．1815．的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（

）A． B．75 C．135 D．16516．的展开式中常数项为（

）A． B． C． D．17．的展开式中，的系数为.（用数值作答）18．展开式中各项系数的和为64，则展开式中的常数项为．【题型04求多个二项式积的展开式的特定项】19．的展开式中，含的项的系数是（

）A．35 B．5 C． D．20．的展开式中，项的系数的相反数为（

）A． B． C．15 D．521．（多选）已知的展开式中，的系数记为，则（

）A．该展开式共有15项B．C．D．的最大值为22．的展开式中的系数为23．若展开式中的系数为，则.24．若的展开式中常数项为，则实数的值是．【题型05求二项式系数和、各项（奇偶项）系数和】25．若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（

）A．12 B．15 C．20 D．3026．若，则（

）A． B．1 C． D．27．（多选）下列关于的说法，正确的是（

）A．展开式的各二项式系数之和是1024 B．展开式各项系数之和是1024C．展开式的第5项的系数为252 D．展开式的的系数为4528．（多选）已知则（

）A．B．C．D．29．（多选）在以下结论中正确的是（

）A．B．C．D．已知，则30．若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为．31．已知，则，．【题型06（二项式）系数的最值】32．已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的所有项的系数和为（

）A．81 B．64 C．27 D．1633．已知的展开式中x的系数为19，求的展开式中x²的系数的最小值为（

）A．81 B．C．10 D．934．在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为．（用数字作答）35．已知，若，，则（

）A．4 B．5 C．4或5 D．5或636．已知的展开式的二项式系数和为64．(1)求展开式中含的项的系数；（结果用数字作答）(2)求展开式中系数绝对值最大的项．37．在的展开式中.(1)求二项式系数最大的项；(2)求系数最大的项.【题型07整除和余数问题】38．若，则被整除的余数为（

）A． B． C． D．39．下列能整除的数是（

）A．5 B．6 C．7 D．840．若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（

）A．0 B．3 C．10 D．1141．今天是星期二，则天后是星期．42．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是．【题型08近似计算问题】43．的小数点后第三位数字为（）A． B． C． D．44．的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（

）A． B． C． D．45．用二项式定理估算.（精确到0.001）46．求的近似值，使误差小于0.001．【题型09杨辉三角】47．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（

）A．996 B．995 C．1014 D．102448．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（

）第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行

1

6

15

20

15

6

1第7行

1

7

21

35

35

21

7

1第8行

1

8

28

56

70

56

28

8

1

……A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则D．第34行中第15个数与第16个数之比为49．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（

）A．B．在第行中，最大C．D．50．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（

）．

A．B．第2024行的第1012个和第1013个数字最大C．第6行、第7行、第8行的第7个数字之和等于第9行的第7个数字D．第34行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶351．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则．一、单选题1．在的展开式中，含的项的二项式系数为（

）A．6 B．16 C．24 D．2162．若，则（

）A．8 B． C．2 D．423．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（

）A．16 B． C．32 D．4．若，则（

）A．180 B． C．360 D．5．若，则（

）A． B． C． D．5406．已知且，则的展开式中含项的系数是（

）A． B． C． D．二、多选题7．在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．二项式系数最大的项是第4项B．所有项的系数之和为1C．含的项的系数为D．常数项为8．已知，则（

）A． B．C． D．三、填空题9．的展开式中的系数为（用数字作答）．10．已知，且，当时，正整数k的最小值为.11．在二项式中，，若它的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是