【数学试卷解析】江苏省无锡市2025年秋学期高三期中教学质量调研测试(.4-.6)

无锡市2025年秋学期高三期中教学质量调研测试锤子数学精彩解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【锤子数学解析】z=2-i+2ai+a=(2+a)+(2a-1)i,实部与虚部相等，则2+a=2a-1,∴a=3,选A.【锤子数学解析】M={x|-1≤x≤3},N={x【锤子数学解析】x=1是方程ax²+bx+c=0的一个根，则a+b+c=0a+b+c=0时x=1是方程ax²+bx+c=0的一个根，必要，选A.【锤子数学解析】,选B.BA.2048B.2047C.1024D.1【锤子数学解析】∴{an}奇数项以2为公比的等比数列7.在四边形ABCD中，AB=aDC,值为A.3B.√3【答案】C 注意b×b=0,从而题设面积为12√2,.选C锤子点评：一边研究题目的条件一边画图，由向量的数量积为0,可以知道两条边垂直然后画出梯形，然后由梯形的面积求出CD长度，就可以求出系数了。8.已知函数的三个零点为a,b,c,且a<b<c,则下列结论不正确的是A.f(x)在(0,1)上单调递减B.曲线y=f(x)是中心对称图形【答案】DA对不选.对称，B对，不选.选D.方法二：方法二：考察的对称性：故曲线y=f(x)关于点中心对称.→B正确.有且仅有一个零点，分别记为a<b<c.又由单调性可得：在(0,1)内零点为b,于是f(b)=0→f(b+1)-f(b)=f(b+1)>0.故f(b+1)>0,而在(1,+0∞)上f递减、且极限为-∞,唯一零点c必满足c>b+1.→C正确.D:令f(x)=0,两边乘以x(1-x)得1-2x-x(1-x)(x-k)=0→x³-(1+k)x²+(k-2)x+1=0.设三根为a<b<c,则韦达关系：a+b+c=1+k,ab+bc+ca=k-2,abc=-1.取特例可由对称性求得,a=-1,c=2,从而c=a+3,并非严格大于.故D不正确.锤子拓展与深挖拓展1:零点总为三实根的充要结构：拓展2:中心点随参数的轨迹：中心点,其纵坐标与k相关.若令k变化，一众曲线{y=f(x)}k为拓展3:恒等式与不等式链：从而c>b+m不可能对所有m成立(唯一成立的是m=1的严格不等式).完全相同的中心对称点,注意此时(如中间根与最大根的距离大于1在m>-1时仍成立).二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.,,则下列不等式正确的是A.|a|>|bC.a+b>ab【锤子数学解析】同乘ab,b<a<0,∴|b|>|a|,A0<-a<-b,√-a<√-b,Ba+b<0,ab>0,a+b<ab,C10.在直角坐标系xOy中，已知○O是以0为圆心的单位圆，点A的坐标为(1,0),角θ的始边为射线OA,终边OB交圆0于点B,过点B作直线OA的垂线，垂足为C.若将点C到直线OB的距离表示为θ的函数h(θ),则A.B.h(θ)的最小正周期为20为锐角时，,D对，选ACD.,故是单调减区间，C正确.锤子点评：先画出图形，然后设出B点坐标得到OB的直线方程，同时得到C点的11.设正项数列{a。3的前n项和为S,若a₁=1,且对任意的正整数n都有aₙ+≤aS,则称{a}是“λ-数列”.下列结论正确的是A.若{b}是首项为1公差为2的等差数列，则{b}是“3-数列”B.若{b}是“2-数列”,则不可能存在正整数n≥2,满足b₀>2·3"-²C.若{b}是“λ-数列”,且则λ的最小值是4D.任给1<p<q,若且1+λ≥q,则{b}是“λ-数列”【锤子数学解析】方法一：b₀=2n-1,Sₙ=nb+-3S=2n+1-3n²=-3n²+2n+1=-(3n+1)(n-∴b+1≤3S,∴{bn}是“3-数列”,A对.对于B,{b}是“2-数列”,∴b+≤2S,b₂≤2S₁=2,b₃≤2S₂≤6,b₄≤2S₃≤18,∴b≤2·3"-²,B对.对于C,,λ=1,2,3都不满足条件，λ=4时满足条件，对于D,,aS₁=2,,p=2,q=3,bn+1=2n+1≤3n²=3S,(Vn≥1).A正确.B:若为“2-数列”,则an+1≤2S,.令“极端增长”取等a+1=2S,则Sₙ+1=Sn+an+1=3S,故S=3”¹,aₙ=2·3"²;一般情形a≤2·3"⁻²,检查n可见该比值不超过4,且可任意逼近4,因此最小可行λ=4.C正确.题干给出1+λ≥q→λ≥q-1,但可能大于q-1(如时,仅有1+λ≥q并不能保证“λ一数列”.D错误.本题选A、B、C锤子数学拓展与深挖精彩拓展1:若总取等an+1=λS,得Sn+1=(1+λ)S。→S=(1+λ)”⁻¹,an+1=λ(1+λ)"².于是任意“λ-数列”均满足精彩拓展2:两指数叠加型的最小λ.)且1<p<q,极限为q-1.因此充分必要条件并非1+λ≥q,还须精彩改编：将条件为a+≤λS。(随n变化),可用相同思路逐步放大(或缩)得到最大值，得到锤子点评：数列新定义问题，由通项公式求和，正确选项严格证明正确性，错误选项找到反例即可。三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a=(m+2n,2),b=(1,2),其中mn>0.若a//b,则mn的最大值【锤子数学解析】a//b,∴2(m+2n)=2,∴m+2n=1,1=m+2n≥2√2mn13.在2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)的一场激烈比赛中，某城市队的10号球员从点A出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达B点时，发现足球在点C处正以3倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动.已知AB=4√3米，AC=20米，∠BAC=30°.若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒.【答案】【锤子数学解析】方法一：如图在D处截住足球，时间设为t,BD=2.5t,CD=7.5t或,二最快截住足球所用的时间为秒由AC=20,∠BAC=30°,得C=(20cos30°,20sin30°)=(10√3,10).到达B的瞬间记时t=0,球从C以速度v₆=3×2.5=7.5沿CA匀速：人以速v,=2.5从B出发拦截，最短时间t>0满足|P(t)-B|=v,t=取小正根t=1.6秒(从到达B起计；球到A需40/15≈2.67s,肯定可拦截).锤子点评：先画三角形，拦截的点不在A点，往同一地点去，解三角形解出时间t。14.设函数f(x)=sinx-kx-b,其中k,b∈R.若b=0,则f(x)的最小值为_;若f(x)≥0恒成立，则-k²+πk+b的最大值为【锤子数学解析】当,b=0:且f"(x)=-sinx<0,x₀为极大点.端点f(0)=0,最小值为0.若f(x)≥0在恒成立，求max{-k²+πk+b}.于是目标函第一段开口向下，峰值在不可取，取端点得第二段峰值在,可以锤子数学拓展与改编拓展1:f≥0等价于直线y=kx+b在上为sinx的一条支撑线，最优线必与sinx于某点(或端点)相切，本题计算出最优拓展2:若区间改为[0,L],同理最优为(需分凹函数端点与内切两类情形，略).锤子点评：画出正弦函数图象与一次函数图象，转动判断两个参数之间的不等关系，两元变一元，一元求最值。四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,(1)求角B的大小；【锤子数学解析】→sinBcosA+sinBcosB+sinBcosC=sinsin(A-B)=sin(B-C),∴16.(15分)已知向量m=(sinx,√3),,设函数f(x)=m·n.(1)若,求cosx的值；(2)将函数f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象.若函数y=g(x)的图象关于直线对称，求g(x)在上的最大值和最小值.【锤子数学解析】17.(15分)已知函数(1)求过点A(-4,2)且与曲线y=g(x)相切的直线方程；(2)令,若f(x)有两个极值点x₁,x₂,记过两点P(x₁,f(x₁)),Q(x₂,f(x₂)的直线斜率为【锤子数学解析】方法一：(1)设过A与g(x)相切的直线与g(x)切于或-1,二切线方程为：或y=-x-2.(2)f(x)=x³-ax²+x,f'(x)=3x²-2ax+1=0=x²+x₁x₂+x²-a(x₁+x₂)+1=(x₁+x₂)²-x₁x₂-两极值存在当且仅当f'(x)=3x²-2ax+1=0有两个不等实根，即a²-3>0=|a|>√3.设极值点x₁<x₂.过两点P(x,f(x₁),Q(x₂,f(x₂))k=(x²+x₁x₂+x2)-a(x₁+x₂)+1=((x₁+x₂)²-x₁x₂)-a(所以存在，且a=3.18.(17分)设数列{a}的前n项和为S,已知(3n-5)an+1-6S,=pn+q,n∈N,其中p,q为常数.(1)当p=0时，若S₁=-2,S₂=-1,求数列{an}的通项公式；(2)若(i)证明：数列{a,}为等差数列；【锤子数学解析】取得最大值，请说明理由.方法一：方法一：分别令n=1,-2a₂-6a₁=q→q=-2+12=10n≥2时，(3n-8)an-6Sₙ₋1=10②①-②→(3n-5)an+1-(3n-而a₁=-2也满足上式，∴aₙ=3n-5.(2)(i)由(3n-5)an+1-6S,=pn+q①,n≥2时，(3n-8)an-6S,1=p(n-1)+q②①-②→(3n-5)an+1-(3n-2n≥3时，(3n-8)a-(3n-5)an₁=p④③-④→(3n-5)an+1-(6n-10)an+(3n-5)→an+1+an-1=2a,n≥3,而,在①中令n=1个个 记b=anan+1an+2,而b₁₅=a₁₅a1₆a1₇<0,b1₆=a16a17a₁8>0,S1₆-S₄=a₁₅a1₆417+a1₆a1方法二：an+1=S₄+1-S,得(3n-5)S₄+(1)常规方法不在介绍，这里用公式法，有的很难的数列推理题用得很爽!当p=0,S₁=-2,S₂=-1此时(*)为(3n-5)S,+1-(3n+1)S,=q,得累乘由S₁=-2,S₂=-1求q:代n=1入(*):(3-5)S₂-(3+1)S₁=q→(-2)(-1)-(3n-5)an+1-6S,=pn+q,以(3n-5)an+-(3n-2)an=p.设an=an+β(等差通式),代入左侧：(3n-5)[α(n+1)+β]-(3k+-(因子乘积+,但乘以d³<0)+(因子乘积-,再乘d³<0得+)一再比较k=15与k=16绝对值：随n增长：先上升到n=14,加上负的k=15项略降，随即在n=16因T₁₆的正锤子数学系统拓展与深度挖掘A.一般性从而aₙ=S-Sₙ₋1=-3C(3n-5)+A(一次函数).若附加,则C=0,必为等差数列.B.参数推广：将系数(3n-5,6)推广为(an+β,y),完全相同的累乘技巧从而S,可得.C.三邻项乘积的极值位置：对等差aₙ=u+vd,三邻项乘积为三次多项式P(k)与d³的乘积.其符号与零点位置由P(k)的一次因子确定(如本题5k-81,5k-76,5k-71).部分和∑的极值通常出现在“符号改变前后”的2～3个临界n处，比较几项即可判定最大值的n.(到了大学：可用离散微积分△2=Tn+,再比较T,的符号与大小趋势，得到严格的单峰(或双峰)结论.)锤子点评：这是一道数列递推与等差数列判定的综合题，难度不低。第二问的(i)部分用了设等差数列代入验证的方法，虽然有点暴力，但在考试中是有效的；(ii)部分通过等比数列条件求出公差，再分析三项乘积和的极值，这个过程需要判断数列变号点和部分和的变化趋势，通过比较S₁₄和S1₆的大小得出结论，思路非常清晰。这道题如果只是机械地套公式，很容易在(ii)的极值判断上出错，能分析出b₁₅<0,b₁₆>0,并比较它们对总和的影响，才说明对数列求和与极值的关系理解得很深。19.(17分)设a,b是实数，函数【锤子数学解析】g'(x)<0,g(x)单调递减.∴f(x)≤f(1)对Vx∈(0,+0∞)恒成立∴1为函数f(x)的一个最大值点，也为极大值点，∴f'(1)=0而f'(x)=aInx+a-2(x-1),f'(1)=a=0(必要性),下证充分性.当a=0时，f(x)=-(x-1)²≤0在(0,+∞)上恒成立符合，∴a=0.(2)方法一：f'(x)=alnx+a-b(x-1),且当时，f"(x)>0,f'(x)单调递增；和和上各有一个零点x₁,x₂且f(x)在(0,x₁)上单调减；(x₁,x₂)上单调增；(x₂,+0)∴f(x)有两个极值点x₁,x₂.即证：即证：⇔证：(求导易证)得证!(2)方法二：锤子数学精彩秒杀!f'(x)=a(Inx+1)-b(x-1)=alnx-bx+(a+b).令h(x)=bx-alnx,x>0.则f'(x)=0→h(x)=a+b。注意因此h为凸函数，其唯一极小点在.极小值为故水平线高于极小值，曲线与之必有两个交点：h(x₁)=a+b=h(x₂),x₁<r<x₂.换言之，f'(x)=0有两个解x₁,x₂,从而f有两个极值点。备注：还可用极限确认区间位置：。由连续性，必有一根在(0,1),另一根在(1,+∞)。设以极小点x=r为做指数代换：x=re'(t∈R).方程h(x)=a+b等价由于a≥b>0→S>1,函数φ(t)=e-t在t<0单调减、在t>0单调增(且minφ=1取于t=0),故方程有唯——负解t₁<0与唯——正解t₂>0。相应两极值点为x₁=re²,x₂=re²,(x₁<x₂).比值因此写成,u₁=-t₁>0.其中t₂,u₁分别满足e²-t₂=S,e“+u₁=S.只要证：目标等价于e²+“<(2er)²→t₂+u₁<2In(2er)=2+2In(2r).建立一条_上界链：在t≥0单调递增，且ψ(S)=e⁵-2S>0(S>1),故根t₂满足t₂<S。于是t₂=In(S+t₂)<In(2S).由e“¹+u₁=S且e“≥0立即得u₁≤S。于是t₂+u₁<In(2S)+S≤In(2(2+Inr))+(2+Inr).下证In(2(2+Inr))+(2+