八年级数学三角形知识点同步练习

八年级数学三角形知识点同步练习三角形，作为平面几何的基石，其重要性不言而喻。从小学对三角形的初步认知，到初中阶段系统学习其性质与判定，三角形始终是几何学习的核心内容。八年级的三角形学习，承上启下，既要深化对基本概念的理解，也要开始接触简单的逻辑推理和证明，为后续更复杂的几何知识打下坚实基础。本文将梳理八年级三角形的核心知识点，并配以同步练习，旨在帮助同学们巩固所学，提升应用能力。一、三角形知识点梳理（一）三角形的基本概念与分类1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形的构成元素：三角形有三个顶点、三条边和三个内角。3.三角形的表示方法：通常用符号“△”表示三角形，顶点用大写字母表示，例如△ABC。4.三角形的分类：*按角分类：*锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。*直角三角形：有一个角是直角（90°）的三角形。（直角所对的边称为斜边，另两边称为直角边）*钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。*按边分类：*不等边三角形：三条边都不相等的三角形。*等腰三角形：有两条边相等的三角形（相等的两边称为腰，另一边称为底边，两腰的夹角称为顶角，腰和底边的夹角称为底角）。*等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形。（等边三角形是特殊的等腰三角形）（二）三角形的重要性质1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。2.三角形外角的性质：*三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。*三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。3.三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（判断三条线段能否组成三角形的依据）4.三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小一旦确定，不易发生改变。（三）三角形中的重要线段1.三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。2.三角形的高线（高）：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。（锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部）3.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。二、同步练习题（一）基础巩固1.选择题：（1）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.2，2，5D.3，4，8（2）一个三角形的两个内角分别是30°和60°，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定（3）三角形的重心是三角形三条（）的交点。A.高线B.中线C.角平分线D.垂直平分线2.填空题：（1）在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=______度。（2）等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为______。（3）直角三角形中，一个锐角为40°，则另一个锐角为______度。3.解答题：（1）已知一个三角形的三边长分别为5，x，9，求x的取值范围。（2）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，求这个三角形三个内角的度数，并判断它是什么类型的三角形。（二）能力提升1.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是∠BAC的平分线，求∠ADC的度数。（请自行在脑海中构建图形：△ABC，AD为∠BAC的角平分线，交BC于点D）2.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数。（请自行在脑海中构建图形：△ABC，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC）3.求证：三角形的任意两边之差小于第三边。（提示：利用三角形两边之和大于第三边进行推导）4.一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，求这个等腰三角形各内角的度数。三、参考答案与解析（一）基础巩固1.选择题：（1）B解析：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边。A选项1+2=3，不满足；C选项2+2=4<5；D选项3+4=7<8；只有B选项2+3>4，3+4>2，2+4>3，满足条件。（2）B解析：第三个角为180°-30°-60°=90°，所以是直角三角形。（3）B解析：三角形重心是三条中线的交点。2.填空题：（1）70解析：∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。（2）22解析：等腰三角形两边长为4和9，需考虑两种情况：①腰为4，底为9：4+4=8<9，不满足三边关系，舍去；②腰为9，底为4：9+9>4，9+4>9，满足条件，周长为9+9+4=22。（3）50解析：直角三角形两锐角互余，90°-40°=50°。3.解答题：（1）解：根据三角形三边关系，得9-5<x<9+5，即4<x<14。所以x的取值范围是4<x<14。（2）解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x。根据三角形内角和定理，x+2x+3x=180°，解得x=30°。所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。因此，这个三角形是直角三角形。（二）能力提升1.解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°。∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC/2=40°。在△ADC中，∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-40°-60°=80°。答：∠ADC的度数为80°。2.解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80°。∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=∠BAC/2=40°。∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°。在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°。∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°。答：∠DAE的度数为20°。3.证明：设三角形的三边长分别为a，b，c。根据三角形两边之和大于第三边，有：a+b>c①a+c>b②b+c>a③由①式移项可得：c<a+b，即a-b<c(假设a>b)。同理，由②式可得：b<a+c，即a-c<b(假设a>c)。由③式可得：a<b+c，即b-c<a(假设b>c)。综合以上各式，可得三角形任意两边之差小于第三边。4.解：设这个等腰三角形的底角为x，则顶角为4x。根据三角形内角和定理，得x+x+4x=180°。合并同类项，得6x=180°。解得x=30°。所以顶角为4x=4×30°=120°。答：这个等腰三角形的三个内角分别为30°，30°，120°。四、总结与提示三角形的知识点繁多且重要，同学们在学习过程中要注重理解概念的本质，掌握性质的推导过程，并能灵活运用这些知识解决实际问题。同步练习是检验学习效果、巩固知识的有效途径，希望同学们能认真对待每一道题，不仅要知