高三数学专题复习学案之直线与方程

高三数学专题复习学案之直线与方程引言同学们，进入高三复习阶段，每一个专题的梳理都至关重要。“直线与方程”作为解析几何的入门与基础，不仅在高考中占有一席之地，更为后续学习圆锥曲线等内容提供了重要的工具和思想方法。本学案旨在帮助大家系统回顾这部分知识，理清脉络，掌握重点，突破难点，提升解题能力。希望大家在使用本学案时，能主动思考，勤于动笔，真正做到温故而知新。一、核心知识梳理解析几何的精髓在于用代数方法研究几何问题。直线是最简单的几何图形，我们通过建立坐标系，将直线与方程联系起来，从而实现了“以数解形”。（一）直线的倾斜角与斜率1.倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角。通常用α表示。*规定：当直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0；当直线垂直于x轴时，其倾斜角为直角。*范围：倾斜角α的取值范围是[0,π)。2.斜率：倾斜角不是直角的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。通常用k表示，即k=tanα。*当α∈[0,π/2)时，k≥0，且α增大时，k增大；*当α∈(π/2,π)时，k<0，且α增大时，k增大（绝对值减小）；*当α=π/2时，直线垂直于x轴，斜率不存在。3.斜率计算公式：已知直线上两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)，则直线P₁P₂的斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)(x₁≠x₂)。*若x₁=x₂，则直线垂直于x轴，斜率不存在；*若y₁=y₂，则直线平行于x轴，斜率k=0。（二）直线方程的几种形式1.点斜式：已知直线过点(x₀,y₀)，斜率为k，则直线方程为y-y₀=k(x-x₀)。*适用条件：斜率存在（即直线不垂直于x轴）。*特例：当直线过点(x₀,y₀)且垂直于x轴时，方程为x=x₀。2.斜截式：已知直线斜率为k，在y轴上的截距为b（即直线过点(0,b)），则直线方程为y=kx+b。*适用条件：斜率存在（直线不垂直于x轴）。*b的几何意义：直线与y轴交点的纵坐标。3.两点式：已知直线过两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)(x₁≠x₂,y₁≠y₂)，则直线方程为(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)。*适用条件：直线不垂直于x轴且不垂直于y轴。*若x₁=x₂，则直线方程为x=x₁；若y₁=y₂，则直线方程为y=y₁。4.截距式：已知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b（a≠0,b≠0），即直线过点(a,0)和(0,b)，则直线方程为x/a+y/b=1。*适用条件：直线不垂直于坐标轴，且不过原点（因为a、b均不为0）。*a、b的几何意义：分别是直线与x轴、y轴交点的横坐标和纵坐标。截距可以是正的，也可以是负的，还可以是零（但截距式中a、b不为零）。5.一般式：任何直线都可以表示为Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式。*当B≠0时，直线的斜率k=-A/B，在y轴上的截距为-C/B。*当A≠0时，直线在x轴上的截距为-C/A。*当A=0,B≠0时，直线方程为By+C=0，即y=-C/B，平行于x轴。*当B=0,A≠0时，直线方程为Ax+C=0，即x=-C/A，平行于y轴（垂直于x轴）。（三）两条直线的位置关系设两条直线的方程分别为：l₁:A₁x+B₁y+C₁=0l₂:A₂x+B₂y+C₂=01.平行：l₁∥l₂⇔A₁B₂-A₂B₁=0且A₁C₂-A₂C₁≠0(或B₁C₂-B₂C₁≠0)。*若两直线斜率存在，设为k₁,k₂，则l₁∥l₂⇔k₁=k₂且b₁≠b₂(斜截式下)。*若两直线斜率都不存在（即都垂直于x轴），则它们的方程分别为x=a₁,x=a₂，此时l₁∥l₂⇔a₁≠a₂。2.垂直：l₁⊥l₂⇔A₁A₂+B₁B₂=0。*若两直线斜率存在，设为k₁,k₂，则l₁⊥l₂⇔k₁·k₂=-1。*若一条直线斜率为0（平行于x轴），另一条直线斜率不存在（垂直于x轴），则这两条直线也垂直。3.相交：l₁与l₂相交⇔A₁B₂-A₂B₁≠0。*交点坐标：解方程组{A₁x+B₁y+C₁=0;A₂x+B₂y+C₂=0}得到。（四）距离公式1.点到直线的距离：点P(x₀,y₀)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)。*注意公式中直线方程必须是一般式。2.两条平行直线间的距离：设两条平行直线l₁:Ax+By+C₁=0，l₂:Ax+By+C₂=0(C₁≠C₂)，则它们之间的距离d=|C₁-C₂|/√(A²+B²)。*注意：应用此公式时，两直线方程中x、y的系数必须对应相等。若不相等，需先化为系数对应相等的形式。二、要点剖析与易错警示1.倾斜角与斜率的关系：*倾斜角是角度，范围是[0,π)；斜率是数值，可正可负可为零，也可能不存在。*斜率k=tanα，其中α是倾斜角。当α从0增大到π/2时，k从0增大到+∞；当α从π/2增大到π时，k从-∞增大到0。*切勿错误地认为倾斜角越大，斜率越大。例如，α₁=30°，k₁=√3/3；α₂=120°，k₂=-√3，此时α₂>α₁，但k₂<k₁。2.直线方程形式的选择与局限性：*在求直线方程时，应根据已知条件灵活选择合适的形式。例如，已知一点和斜率，首选点斜式；已知斜率和截距，首选斜截式；已知两点，考虑两点式或先求斜率再用点斜式。*要特别注意各种形式的适用条件。例如，使用点斜式或斜截式时，若题目未明确直线斜率存在，需考虑斜率不存在的情况，必要时进行分类讨论。*截距式方程x/a+y/b=1，其中a、b分别为横、纵截距。这里的“截距”不是“距离”，可以是正的，也可以是负的，甚至可以是零（但截距式中a、b不能为零）。若直线过原点，则不能用截距式表示（除非认为a=0且b=0，但此时方程无意义）。3.两条直线平行与垂直的判定：*利用斜率判定时，务必先考虑斜率是否存在。这是一个极易出错的地方。例如，“两条直线斜率相等则平行”是错误的，因为还可能重合；“两条直线斜率之积为-1则垂直”也是在两条直线斜率都存在的前提下才成立。*一般式方程判定平行和垂直的条件（A₁B₂-A₂B₁=0且A₁C₂≠A₂C₁；A₁A₂+B₁B₂=0）具有一般性，可避免对斜率是否存在的讨论，建议熟练掌握。4.距离公式的应用：*点到直线的距离公式中，直线方程必须化为一般式Ax+By+C=0，且A、B不同时为0。分子是绝对值，分母是√(A²+B²)。*两平行线间的距离公式，要求两直线方程中x、y的系数分别对应相等。若不相等，需先通过变形化为对应系数相等。例如，求l₁:2x-3y+1=0与l₂:4x-6y-5=0的距离，可将l₁化为4x-6y+2=0，再应用公式。三、典例精析例1已知直线l过点P(2,1)。(1)若直线l的倾斜角为45°，求直线l的方程；(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程。分析与解答：(1)已知倾斜角α=45°，则斜率k=tan45°=1。由点斜式方程得：y-1=1·(x-2)，即y=x-1。所以直线l的方程为x-y-1=0。(2)题目中“截距相等”需要仔细分析。①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，即直线过原点。此时直线方程可设为y=kx，将点P(2,1)代入得1=2k，解得k=1/2。所以直线方程为y=(1/2)x，即x-2y=0。②当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设其方程为x/a+y/a=1(a≠0)，即x+y=a。将点P(2,1)代入得2+1=a，解得a=3。所以直线方程为x+y-3=0。综上，所求直线l的方程为x-2y=0或x+y-3=0。易错警示：容易忽略截距为0的情况，直接设截距式方程导致漏解。例2已知直线l₁:(m+2)x+(m²-3m)y+4=0，l₂:2x+4(m-3)y-1=0。问：当m为何值时，直线l₁与l₂：(1)平行；(2)垂直。分析与解答：(1)若l₁∥l₂，则需满足：A₁B₂-A₂B₁=0且A₁C₂-A₂C₁≠0。即：(m+2)·4(m-3)-2·(m²-3m)=0，①且(m+2)·(-1)-2·4≠0。②先化简①式：4(m+2)(m-3)-2m(m-3)=0提取公因式2(m-3)：2(m-3)[2(m+2)-m]=02(m-3)(m+4)=0解得m=3或m=-4。再看②式：-(m+2)-8≠0⇒-(m+10)≠0⇒m≠-10。当m=3时，检查l₁和l₂的方程：l₁:(3+2)x+(9-9)y+4=0⇒5x+4=0；l₂:2x+4(0)y-1=0⇒2x-1=0。此时l₁与l₂均垂直于x轴，且不重合，故平行。当m=-4时，l₁:(-4+2)x+(16+12)y+4=0⇒-2x+28y+4=0⇒x-14y-2=0；l₂:2x+4(-4-3)y-1=0⇒2x-28y-1=0⇒x-14y-0.5=0。显然两直线平行且不重合。m=3和m=-4均满足②式。所以，当m=3或m=-4时，l₁∥l₂。(2)若l₁⊥l₂，则需满足A₁A₂+B₁B₂=0。即(m+2)·2+(m²-3m)·4(m-3)=0。化简得：2(m+2)+4m(m-3)(m-3)=02(m+2)+4m(m-3)²=0提取公因式2：2[(m+2)+2m(m-3)²]=0即(m+2)+2m(m²-6m+9)=0m+2+2m³-12m²+18m=02m³-12m²+19m+2=0尝试因式分解或代入特殊值。当m=2时：2*(8)-12*(4)+19*(2)+2=16-48+38+2=8≠0。当m=-0