中小学生数学竞赛辅导试题汇编

中小学生数学竞赛辅导试题汇编思路点拨：这是一个典型的加法数字谜，从最高位或个位入手分析是关键。设“我”=a，“爱”=b，“数”=c，“学”=d，则算式可表示为(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=____。化简得1001(a+d)+110(b+c)=____。观察等式左边，1001(a+d)是四位数或五位数，110(b+c)是三位数或四位数。和为____，故a+d只能为9（因为1001×10=____已超过____），则1001×9=9009。那么110(b+c)=____-9009=991。但991不能被110整除，说明之前假设a+d=9时，个位相加可能产生进位。重新考虑，个位相加d+a的个位是0，因此a+d=10（因为a和d是数字，最大为9+9=18，和的个位是0，所以可能是10或0，但a作为第一个数的首位，不能为0，所以a+d=10）。此时向十位进1。则十位上c+b+1（进位）的个位是0，所以c+b=9，并向百位进1。百位上b+c+1（进位）的个位是0，因为c+b=9，所以9+1=10，个位是0，向千位进1。千位上a+d+1（进位）=10+1=11，正好是和的万位1和千位1。所以a+d=10，b+c=9。“我”=a，“学”=d=10-a。由于不同汉字代表不同数字，a可以从1到9尝试（a=1，则d=9；a=2，则d=8等），只要满足b+c=9且所有数字不重复即可。例如，若a=2，d=8，b=1，c=8，但d和c都为8，重复。不合适。若a=2，d=8，b=3，c=6，则“我爱数学”=2368，即2368。（答案不唯一，但需满足条件，此处仅为示例）（二）图形与几何专题此部分包括图形的认识、周长与面积计算、图形的分割与拼接等。核心思想：培养空间想象能力，掌握基本图形的性质和计算方法，学会运用割补、平移、旋转等技巧。例题3：巧求面积一个大正方形的边长为5厘米，连接它的各边中点得到一个小正方形，求这个小正方形的面积。思路点拨：可以通过连接中点后观察图形的组成，或者利用大正方形与小正方形面积之间的关系。连接大正方形各边中点，会将大正方形分成4个全等的直角三角形和中间一个小正方形。每个直角三角形的直角边都是大正方形边长的一半，即5/2厘米。每个三角形面积为(5/2×5/2)/2=25/8平方厘米。4个三角形面积为4×25/8=25/2平方厘米。大正方形面积为5×5=25平方厘米，所以小正方形面积=25-25/2=25/2=12.5平方厘米。或者，连接中点得到的小正方形，其对角线长度等于大正方形的边长5厘米。正方形面积也可以用对角线乘积的一半来计算，即(5×5)/2=25/2=12.5平方厘米。（三）逻辑推理与应用专题此部分涵盖了应用题（如鸡兔同笼、盈亏问题）、逻辑推理、排列组合初步等。核心思想：将实际问题抽象为数学模型，运用逻辑规则进行推理，培养分析问题和解决问题的能力。例题4：鸡兔同笼鸡兔同笼，共有头35个，脚94只，问鸡兔各有多少只？思路点拨：经典的假设法。假设全是鸡，则有脚35×2=70只，比实际少94-70=24只。每把一只鸡换成一只兔，脚就会增加4-2=2只。所以需要换24÷2=12只。即兔有12只，鸡有35-12=23只。三、初中阶段数学竞赛试题汇编要点与经典题型示例初中阶段的数学竞赛，在小学基础上，知识深度和广度均有显著提升，更强调代数变形能力、逻辑推理的严密性和几何论证能力。（一）代数综合专题此部分包括代数式化简与求值、方程与不等式（组）、函数初步、数列与数论初步等。核心思想：掌握代数运算的技巧，如因式分解、配方、换元等，能运用代数方法解决复杂问题。例题5：因式分解分解因式：x³-3x²+4思路点拨：尝试分组分解或利用因式定理。观察常数项为4，可能的有理根为±1,±2,±4。试根x=-1：(-1)^3-3*(-1)^2+4=-1-3+4=0。所以(x+1)是一个因式。用多项式除法或拆项法分解。x³-3x²+4=x³+x²-4x²-4x+4x+4=x²(x+1)-4x(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x²-4x+4)=(x+1)(x-2)²。例题6：一元二次方程根与系数关系已知关于x的方程x²+(m+1)x+m=0的两根平方和为5，求m的值。思路点拨：设方程的两根为x₁,x₂。根据韦达定理，x₁+x₂=-(m+1)，x₁x₂=m。两根平方和x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=[-(m+1)]²-2m=m²+2m+1-2m=m²+1。已知x₁²+x₂²=5，所以m²+1=5，m²=4，m=±2。但需检验判别式是否非负。当m=2时，方程为x²+3x+2=0，判别式9-8=1>0，有实根。当m=-2时，方程为x²+(-2+1)x+(-2)=x²-x-2=0，判别式1+8=9>0，也有实根。所以m=2或m=-2。（二）几何综合专题此部分包括三角形、四边形、圆的性质与判定，几何变换，面积问题，几何证明等。核心思想：熟练运用几何定理，培养严谨的逻辑推理能力和作辅助线的技巧。例题7：三角形全等与相似在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度数。思路点拨：设∠EDC=x，∠C=∠B=y（因为AB=AC）。则∠BAC=180°-2y。∠DAC=∠BAC-∠BAD=180°-2y-30°=150°-2y。因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED。∠AED是△DEC的外角，所以∠AED=∠EDC+∠C=x+y。因此∠ADE=x+y。在△ADC中，∠ADC=∠ADE+∠EDC=(x+y)+x=2x+y。同时，∠ADC=∠B+∠BAD=y+30°（三角形外角等于不相邻两内角和）。所以2x+y=y+30°，解得2x=30°，x=15°。即∠EDC=15°。（三）组合与杂题专题此部分包括计数原理、抽屉原理、逻辑推理、游戏策略等，更具趣味性和挑战性。核心思想：培养非常规思维，灵活运用多种数学思想方法解决问题。例题8：抽屉原理在一个不透明的袋子里，装有红、黄、蓝三种颜色的球各若干个，至少要摸出多少个球，才能保证有3个球的颜色相同？思路点拨：考虑最不利的情况，即每种颜色的球都摸出了2个，此时共摸出2×3=6个球。再摸出1个球，无论是什么颜色，都能保证有3个球颜色相同。所以至少要摸出6+1=7个球。四、数学竞赛试题汇编的高效使用策略拥有优质的试题汇编只是第一步，高效的使用方法才能使其效用最大化。1.制定计划，循序渐进：根据自身水平和竞赛目标，制定详细的学习计划。从基础题入手，逐步攻克中档题和难题，切忌急于求成。2.独立思考，勤于动手：遇到题目，首先要独立思考，尝试多种解法。动手演算和画图是解题的关键，不能仅停留在“看题”和“想题”。3.重视错题，归纳总结：建立错题本，记录做错的题目、错误原因及正确解法。定期回顾，分析归纳不同题型的解题思路和技巧，查漏补缺。4.善用解析，触类旁通：对于百思不得其解的题目，可参考解析，但要理解其本质，而不是死记硬背。尝试改编题目或寻找类似题目进行练习，达到触类旁通的效果。5.定期模拟，提升实战：按照竞赛的时间要求进行模拟训练，熟悉考试节奏，培养时间管理能力和应试心态。五、结语数学竞赛之路充满挑战，亦充满乐趣。一份精心编撰