高等数学课程课件第5章-5.5 定积分在几何上的应用2

二、平面图形的面积1.直角坐标系下平面图形的面积(1)设曲线与直线及

x

轴所围曲则边梯形面积为A,若曲线则解:例1与直线及

x

轴所围成的平面图形的面积A.(2)求由曲线与直线则所围平面图形的面积A.取x为积分变量,例2

计算由两条抛物线在第一象限所围平面图形的面积.解:得两抛物线交点解方程组取x为积分变量例2

计算由两条抛物线在第一象限所围平面图形的面积.解:得两抛物线交点解方程组取y为积分变量例3

计算抛物线与直线的面积.解:得交点所围图形取

y

作积分变量,则解方程组例4求椭圆解:所围图形的面积.利用椭圆的参数方程应用定积分换元法当a=b

时得圆面积公式由对称性,2.极坐标系下平面图形的面积(1)极坐标系极轴极径极点极角(2)极坐标系下与直角坐标系下点的坐标之间的关系：(3)极坐标系下平面图形的面积求由曲线及围成的取θ为积分变量,任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为设曲边扇形的面积.对应

从0到2

例6计算阿基米德螺线解:的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积.例7计算心形线围成图形的面积.解:(利用对称性)心形线由一个平面图形绕这平面内三、旋转体的体积1.旋转体:一条直线旋转一周而成的立体.如圆柱、圆锥、球体等.的曲边梯形曲边梯形坐标轴(1)由连续曲线直线及x轴所围成绕

x轴旋转一周而成的立体的体积.取x为积分变量,的曲边梯形(2)由连续曲线直线及y轴所围成而成的立体的体积.取y为积分变量,绕y轴旋转一周例1

连接坐标原点O及点P(h,r)的直线,过O与P的直线方程为:旋转成一个底半径为r,直线x=h及x轴轴围成一个直角三角形,它绕x轴高为h的圆锥体,求这个圆锥体的体积.取x为积分变量,例2

计算由椭圆所围图形分别绕

x

轴,

y轴旋转而成的椭球体的体积.

则机动目录上页下页返回结束解:(1)绕

x轴旋转,取x为积分变量例2

计算由椭圆所围图形分别绕

x

轴,

y轴旋转而成的椭球体的体积.

则(2)绕

y轴旋转,取y为积分变量a=b

时,得半径为a的球体的体积例3

计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x

轴,y

轴旋转而成的立体体积.解:绕x

轴旋转而成的立体体积摆线的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴，y轴旋转而成的旋转体积.绕

y

轴旋转而成的体积为注意上下限!2.薄壳法求旋转体体积曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0

绕y

轴旋转,取x为积分变量薄壳体积的近似值类似地立体体积曲边梯形绕x

轴旋转而成如

绕y轴旋转而成的立体体积四、平行截面面积已知的立体的体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续.取x为积分变量,切片法计算该平面截圆柱体所得立体的体积.

x交成

角，一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面例1作垂直于x轴的截面.取x为积分变量,解:截面面积A(x)问题:还有别的方法吗？xy

.解法2计算该平面截圆柱体所得立体的体积.交成

角，一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面取y为积分变量,作垂直于

y

轴的截面.截面面积高为h的正劈锥体的体积.为顶、求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段例2为等腰三角形.取x为积分变量,解:垂直于x轴的截面如图建立直角坐标系,截面面积则底圆方程为五、平面曲线的弧长2.1.定理:

光滑曲线弧是可求长的.(1)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):所求弧长(2)曲线弧由直角坐标方程给出:所求弧长(3)曲线弧由直角坐标方程给出:所求弧长(4)曲线弧由极坐标方程给出:所求弧长得例1

计算摆线一拱的弧长.解:例2

计算曲线上相应于解:的一段弧长.例3

求心形线的全长.解:

小结由对称性例4

求连续曲线段解:的弧长.内容小结1.平面图形的面积:边界方程极坐标方程直角坐标方程2.已知平行截面面积函数A(x)的立体体积3.旋转体的体积绕

x

轴:绕

y

轴:(薄壳法)曲边梯形4.平面曲线的弧长曲线方程参数方程极坐标方程弧长元素:直角坐标方程

求弧长时积分上限必须大于下限绕

x

轴:绕

y

轴:曲边梯形(薄壳法)1由曲线用定积分表示为直线及y轴围成的平面