§3 第二课时　指数函数图象和性质的应用

§3第二课时指数函数图象和性质的应用题型一指数型函数的定义域和值域

【学透用活】[典例1]求下列函数的定义域和值域．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面要注意指数函数的值域是(0，＋∞)．一般地，对于y＝af(x)型函数，应先求出f(x)的值域A，再画出y＝ax(x∈A)的图形或利用函数的单调性，就能很容易求出原函数的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．

题型二指数型函数的单调性

【学透用活】[方法技巧](1)求形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的函数的单调性的技巧：①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．②当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性．(2)一般地，在复合函数y＝f(g(x))中，若函数u＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且函数y＝f(u)在区间(g(a)，g(b))或在区间(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x))在区间(a，b)上的单调性见下表：由此可得，复合函数单调性的规律是：同增异减．

u＝g(x)增增减减y＝f(u)增减增减y＝f(g(x))增减减增【对点练清】1．[变条件]本例中“x∈R”变为“x∈[1,2]”，则f(x)的值域为________．3．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间．解：函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R，则t∈(0，＋∞)．y＝(2x)2－2×2x＋5＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，t∈(0，＋∞)．当t≥1时，2x≥1，x≥0；当0<t≤1时，0<2x≤1，x≤0.∵y＝(t－1)2＋4在[1，＋∞)上单调递增，t＝2x在[0，＋∞)上单调递增，∴y＝(2x－1)2＋4的单调递增区间为[0，＋∞)．同理可得单调递减区间为(－∞，0]．题型三指数函数性质的综合应用

【学透用活】(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．因为函数y＝2x在R上是增函数且x1＜x2，所以2x2－2x1＞0.又(2x1＋1)(2x2＋1)＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因为f(x)是奇函数，f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，则f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因为f(x)为减函数，由上式推得t2－2t＞k－2t2，即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，从而判别式Δ＝4＋12k＜0，[方法技巧]指数函数性质综合问题的求解策略(1)若奇函数在原点处有定义，则f(0)＝0.(2)研究函数的单调性、奇偶性要树立定义域优先的原则．(3)解答此类问题时可依据所学的定理、定义逐一求解，从而达到各个击破的目的．

【对点练清】1．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于

(

)解析：由已知f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，

①f(－2)＋g(－2)＝a－2－a2＋2，又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2. ②由①②得g(2)＝2，f(2)＝a2－a－2，答案：B

(1)求实数a的值；(2)用定义法证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)求函数f(x)在[－1,2]上的值域．∵0＜x1＜x2，∴1＜2x1＜2x2，2x1＋x2＞1，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．集合A是由满足以下性质的函数f(x)组成的：对于任意x≥0，f(x)∈[－2,4]，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数．三、创新性——强调创新意识和创新思维3．若函数g(x)＝exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x＋2(x>0)．但当x<0时，x3<0，g(x)不一定为增函数，故f(x