有理数的乘除运算：从法则探究到素养生成-七年级数学探究式教学设计

有理数的乘除运算：从法则探究到素养生成——七年级数学探究式教学设计一、教学内容分析  有理数的乘除法是初中数学“数与代数”领域的核心内容，在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，其要求不仅在于掌握运算法则本身，更在于从“数的运算”到“式的运算”的思维进阶中，承载着发展学生运算能力、推理能力和模型思想的关键作用。从知识图谱看，它是对小学非负数乘除运算的本质扩充，也是后续学习整式乘除、分式运算、方程求解乃至函数研究的重要基石。本节课的核心在于引导学生在具体情境中抽象出运算法则，并理解其合理性。这不仅仅是技能训练，更是一个蕴含丰富数学思想方法的探究过程：从“负负得正”的合情推理与符号归纳中体会数学的确定性；从将除法转化为乘法的统一化处理中感悟数学的简洁美与转化思想；从运用运算律简化计算的过程中，培养优化意识和结构化思维。其育人价值在于，通过探究看似“反常”的运算规则，打破学生的思维定式，培育敢于质疑、严谨求证的理性精神，并认识到数学规则源于实际需要且逻辑自洽，从而建立对数学学科本身的信任与兴趣。  基于“以学定教”原则，七年级学生已熟练掌握了非负数的四则运算及有理数的加减法，初步建立了数轴模型和符号意识。然而，从加减法到乘除法的认知迁移存在关键障碍：其一，对“负负得正”的法则难以直观理解，易产生“为何两个负数相乘会得正数”的认知冲突与机械记忆倾向；其二，在涉及多个有理数乘除的混合运算中，符号的确定与运算顺序的优先级容易混淆；其三，将除法统一为乘法的必要性认知不足。为此，教学将通过创设递进式的生活与数学情境（如方向与时间、细胞分裂等），搭建从具体到抽象的认知阶梯，化解认知冲突。在过程评估上，将通过课堂设问、小组讨论成果展示、随堂变式练习等方式，动态监测学生对法则本质的理解与应用水平。针对不同层次的学生，将设计差异化的探究任务单与分层练习，为学困生提供更多具体实例的支撑与步骤引导，为学优生设置法则的合理性论证与规律拓展探究，确保所有学生都能在“最近发展区”内获得思维发展。二、教学目标  知识目标：学生能够准确归纳有理数乘法与除法的运算法则，特别是“负负得正”的符号规律；能清晰表述除法可以转化为乘法的原理（即除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数）；并能在具体运算中，综合运用法则及运算律进行正确、合理的计算。  能力目标：学生经历从实际情境中抽象数学规律的过程，发展观察、归纳、概括与合情推理的能力；在解决复杂的混合运算问题时，能够灵活选用运算顺序和运算律，优化计算过程，形成策略性思维和精准的运算能力。  情感态度与价值观目标：在探究“负负得正”等法则的过程中，学生能体验到克服认知困难、发现数学统一性与简洁美的乐趣，增强对数学逻辑性的认同感；在小组协作与交流中，养成乐于分享、敢于质疑、严谨求实的科学态度。  科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的符号意识与模型思想。通过将具体情境中的数量关系抽象为一般的符号运算式，引导学生建立初步的数学模型；通过归纳符号规律，强化对数学语言（符号）的运用与理解能力，为代数思维奠基。  评价与元认知目标：引导学生建立运算过程中的自我监控意识，例如，在完成计算后能主动反思：“我的符号处理对吗？有没有更简便的方法？”通过设计错例辨析活动，培养学生批判性审视计算过程、主动寻求优化策略的元认知习惯。三、教学重点与难点  教学重点为有理数乘除法的运算法则及其初步应用。其确立依据在于，该法则是本章乃至整个代数运算体系的基石性“大概念”。从课程标准看，它是发展学生运算能力这一核心素养的直接载体；从学业评价看，它是各类考试中基础且高频的考点，任何后续复杂运算（如含乘方的混合运算、解方程）都建立在其正确、熟练应用之上。因此，必须确保学生不仅“记住”法则，更“理解”其来龙去脉并形成稳定技能。  教学难点在于对“负负得正”法则的合理性理解，以及涉及多个因数乘除运算时符号的确定性判断。难点成因在于：首先，“负负得正”缺乏直观的生活原型，超越了学生的直接经验，属于逻辑建构的范畴；其次，多个符号连续作用时，学生容易因顾此失彼而产生错误。其预设依据来源于对常见错误的洞察：学生在作业中常出现类似“(2)×(3)=6”的符号错误，或在计算“(6)÷2×(3)”时对运算顺序和符号同步处理感到困惑。突破方向在于，通过设计循序渐进的数学活动，让学生在观察、归纳中“发现”规律，并辅以数轴模型、生活化类比（如反复相反的行为导致回归原状）进行意义赋予，从而化解抽象性带来的理解障碍。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（内含情境动画、探究活动指引、分层练习题）；磁性数轴模型板贴；小组探究任务单（含差异化引导问题）。1.2学习资源：当堂分层检测卷（A/B/C三层）；课堂小结思维导图模板（半结构化）。2.学生准备2.1知识预备：复习有理数的概念、数轴表示及加减法法则；预习课本相关章节，并提出一个关于有理数乘除法的疑问。2.2物品准备：直尺、不同颜色笔。3.环境布置3.1座位安排：四人小组合作式座位，便于讨论与互评。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与认知冲突激发：“同学们，我们已经学会了有理数的加减，它可以帮助我们计算收支、温度变化。那么，有理数的乘除法又能解决什么问题呢？请大家看一个动画：一辆玩具车在笔直跑道上以每秒2个单位长度的速度匀速行驶。如果我们规定向右为正方向。”（播放动画：1）车向右行驶，3秒后位置？2）车向左行驶，3秒后位置？3）车向右行驶，3秒前位置？）前两个问题学生能快速用“速度×时间”解决。但第三个问题，“3秒前”意味着时间倒流，如何用数学表示？速度为正，时间为负，这引发了新的运算形式。1.1.核心问题提出与路径勾勒：“当速度、时间这些量有了方向（正负），它们的乘法运算该如何定义？其法则是否还像小学那样简单？这就是今天我们探险的目标——揭开有理数乘除法的神秘面纱。我们将化身数学侦探，先从几个特例中寻找线索，再归纳出普适法则，最后成为运算高手，去解决更复杂的问题。”第二、新授环节任务一：探究有理数乘法法则（符号规律）1.教师活动：首先，引导学生将导入中的三个情境抽象为算式：(+2)×(+3)=+6;(2)×(+3)=6;(+2)×(3)=?。接着，提出核心驱动链：“观察前两个算式，因数的符号和积的符号有什么关系？根据你发现的规律，猜一猜(+2)×(3)的结果是多少？并尝试赋予它一个实际意义（比如，车向右开，但时间倒退回3秒前，车当时在哪里？）。”然后，进一步挑战：“那么(2)×(3)呢？两个负数相乘，结果应该是正还是负？你能设计一个情境或者利用刚才发现的符号规律，说服你自己和同伴吗？”教师巡视小组讨论，捕捉典型思路（如用数轴连续运动解释，或利用“一个因数不变，另一个因数变为相反数，积也变为相反数”的规律进行推理）。2.学生活动：学生以小组为单位，观察、讨论前两个算式的符号规律，尝试归纳“正正得正，正负（负正）得负”。进而猜测(+2)×(3)=6，并可能构思出如“方向向右但时间倒退，相当于在起点左侧”的情境。对于(2)×(3)，学生将经历激烈的思辨，可能运用已有规律进行逻辑推导：因为(2)×(+3)=6，若将+3变为相反数3，则积6也应变为相反数，故得+6。也可能尝试描述“向左行驶，3秒前的位置在右边”的情境。小组内分享各自的理解。3.即时评价标准：1.能否从具体算式中准确归纳出符号变化的初步规律。2.在解释(2)×(3)时，推理过程是否具有逻辑性（无论是基于规律推导还是情境构建）。3.小组讨论时，能否倾听他人观点并清晰表达自己的思考。4.形成知识、思维、方法清单：1.5.★乘法符号法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负。这是运算的“符号宪法”，必须先确定。2.6.▲绝对值计算：任何两数相乘，其积的绝对值等于两数绝对值的积。这是对小学知识的直接迁移。“我们把符号和绝对值‘分开处理’，是不是让复杂问题变简单了？”3.7.★“负负得正”的合理性：理解这一法则不能仅靠记忆。可以通过规律延续性（因数变相反数，积也变相反数）或赋予其间接意义（如反复逆向操作导致回归正向结果）来建立认知。对，数学的和谐与自洽就在这里体现。4.8.思维方法——从特殊到一般：我们通过几个特例，大胆猜想，小心论证，最终得出了适用于所有有理数的普遍法则。这就是数学发现的一般路径。任务二：归纳乘法法则与示例精析1.教师活动：邀请两个小组分别展示他们对符号法则和“负负得正”的探究结论。教师进行提炼和规范化表述，并将完整法则板书：“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。”随后，教师示范计算：(3)×(4)，并强调步骤：先定符号（负负得正），再算绝对值（3×4=12）。接着，抛出包含0的算式：(5)×0=?0×(+3.2)=?引导学生完善法则：“任何数与0相乘，积都为0。”“好，现在法则在手，我们来小试牛刀，请大家口答几个练习。”2.学生活动：倾听同伴展示，对照并修正自己的归纳。跟随教师示范，明晰计算步骤。齐声回答包含0的乘法结果，理解0在乘法中的特殊地位。进行快速口答练习，如：(+7)×(1),0×(100),(2.5)×(+4)。3.即时评价标准：1.能否流利、准确地复述乘法法则。2.在进行口算时，能否下意识地遵循“先定符号，后算绝对值”的程序。3.对含0的计算是否能迅速反应。4.形成知识、思维、方法清单：1.5.★有理数乘法法则完整版：包含符号规则、绝对值规则及零乘规则。这三者缺一不可。2.6.▲运算步骤程序化：“一看符号，二算绝对值”。养成这个好习惯，能极大减少错误。“别小看这个步骤，它就像你的计算导航仪。”3.7.核心概念——相反数的积：互为相反数的两数相乘，得负的绝对值平方。例如：a与(a)相乘得a²。这是一个常用小结论。4.8.易错点警示：计算时切勿符号与绝对值步骤混淆，或遗漏负号。尤其是多个数相乘时，更容易出错，为后续学习埋伏笔。任务三：探究有理数除法法则（转化思想）1.教师活动：创设问题链：“乘法我们会了，那除法呢？请计算：(12)÷(+3)=？根据乘除法的互逆关系，也就是找哪个数乘以(+3)等于(12)？”学生易得出4。教师追问：“那么，(12)÷(3)=？(+12)÷(3)=？观察这三个式子，你能发现有理数除法的符号规律吗？”引导学生类比乘法进行归纳。接着，提出关键问题：“除法运算总是可行的吗？有没有什么限制条件？”引出“0不能作除数”。然后，聚焦转化思想：“小学我们学过，除以一个数等于乘这个数的倒数。这个规律在有理数范围内还成立吗？以(12)÷(+3)为例，验证一下：12的倒数是？不对，是乘除数+3的倒数，即乘以(+1/3)。”引导学生计算(12)×(+1/3)，结果也是4。“看来，这个‘转化大法’依然管用！这给我们什么启示？”2.学生活动：利用乘除互逆关系求解简单的除法算式。观察、归纳除法符号法则：“同号得正，异号得负”。理解0不能作除数的道理。动手计算验证除法转化为乘法的可行性，并感受这种转化带来的统一与简便。3.即时评价标准：1.能否主动运用乘除互逆关系去理解除法运算。2.能否独立归纳出除法符号法则。3.是否理解并接受“除法可以转化为乘法”这一统一化策略。4.形成知识、思维、方法清单：1.5.★除法符号法则：与乘法法则完全相同（同号得正，异号得负）。这体现了乘除运算内在的一致性。“看，数学多讲究对称美！”2.6.★除法转化为乘法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。这是本节课最核心的转化思想，它将两种运算统一为一种，简化了运算体系。3.7.▲零的禁忌：0不能作除数。因为找不到一个数与0相乘能得到非零的被除数，这与乘除互逆关系矛盾。4.8.思维方法——化归与统一：将未完全掌握的新运算（除法）转化为已熟练掌握的运算（乘法），是数学中常用的高级策略。学会这种策略，比多做十道题更重要。任务四：法则综合应用与运算顺序1.教师活动：呈现混合运算式：(6)÷2×(3)。提问：“这个式子里有除有乘，该按什么顺序计算？从左到右？还是可以先乘后除？”引导学生回顾小学的运算顺序规则（同级运算，从左到右），并强调在有理数范围内依然适用。教师板演规范步骤。然后，增加复杂度：计算(4)×(2.5)÷(+5)×(2)。让学生先独立尝试，再小组核对。巡视中，重点关注学生是否严格遵循顺序，以及每一步的符号处理是否正确。选取典型错误（如符号一次性判断错误）进行投屏，让学生充当“小医生”诊断。2.学生活动：明确有理数乘除混合运算属于同级运算，应按从左到右的顺序进行。动手计算例题，体验步骤的连续性。参与错例诊断，分析错误原因（如跳步、符号看错、顺序错误），加深对规范流程的认识。3.即时评价标准：1.解题时是否体现出清晰的步骤和顺序感。2.在每一步的单项运算中，符号和绝对值的计算是否准确。3.在错例辨析中，能否精准定位问题并给出正确建议。4.形成知识、思维、方法清单：1.5.★运算顺序规则：乘除混合运算是同级运算，必须从左到右依次进行。在没有括号的情况下，不可随意改变顺序。2.6.★规范步骤的重要性：对于多步运算，建议分步写出中间结果，如：原式=(+10)÷(+5)×(2)=(+2)×(2)=4。这能有效降低出错率。“欲速则不达，步步为营才是硬道理。”3.7.易错点——符号的连续处理：每一步都只处理当前两个数的运算符号，不要试图一次性判断整个长式子的最终符号（除非所有数相乘）。这是初学者最容易“翻车”的地方。4.8.▲倒数概念的巩固：在将除法转化为乘法的具体过程中，求一个有理数（特别是分数、小数）的倒数需要熟练、准确。任务五：灵活运用运算律简化计算1.教师活动：提出挑战性计算题：计算(125)×(3)×(+8)×(1/3)。提问：“如果严格按照从左到右的顺序算，麻烦吗？有没有更巧妙的办法？”引导学生观察数字特征：125与8，3与1/3。启发：“小学学过的乘法交换律、结合律、分配律，在有理数范围内还成立吗？为什么？”让学生通过具体例子（如举两个数验证交换律）感受运算律的普遍性。然后，引导学生利用交换律和结合律，将乘积为整数、便于计算的数优先结合：原式=[(125)×(+8)]×[(3)×(1/3)]。让学生计算并体会简化带来的便捷。2.学生活动：观察算式特征，识别出可以凑整或约简的数对。通过举例验证，确信运算律在有理数范围继续有效。重新组合算式并完成计算，体验优化策略带来的效率提升。3.即时评价标准：1.是否具备观察算式结构、寻找计算捷径的意识。2.能否正确、合理地运用运算律对算式进行变形重组。3.通过简化计算后，结果是否正确。4.形成知识、思维、方法清单：1.5.▲运算律的普适性：加法与乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律，在有理数范围内依然成立。这是数学体系稳固性的体现。2.6.★简算意识与策略：面对复杂计算，养成先观察、后分析、再动手的习惯。优先组合互为倒数的数、能凑整的数（如25与4，125与8等）或能约分的数。3.7.思维方法——优化思想：数学不仅追求正确，还追求简洁与优美。寻找最优解决方案，是高层级数学思维的体现。“聪明的计算，不是硬算。”4.8.★除法没有交换律和结合律：特别注意，除法运算不能直接套用这些运算律。必须先将除法转化为乘法，才能运用运算律进行简便计算。这是又一个关键易错点。第三、当堂巩固训练  本环节设计分层练习，时间约10分钟，采用“独立完成+小组互评+教师精讲”模式。1.基础层（全体必做，巩固法则）：计算：(1)(7)×(6)(2)(+48)÷(8)(3)0×(9.5)(4)(1)÷(1/3)(5)(2)×3×(4)。【反馈：小组交换批改，教师统计正确率，针对共性问题如第(5)小题的符号处理，进行1分钟精讲。】2.综合层（多数学生挑战，应用与顺序）：计算：(1)(3/4)÷(0.75)×(1)(2)(6)÷2/3×(9)。【反馈：请两名学生上台板演并讲解思路，重点展示其运算步骤。台下学生评价其步骤规范性与结果正确性。教师追问：“第二题还有别的算法吗？”引导学生将除法先化乘法，再运用运算律。】3.挑战层（学有余力选做，思维拓展）：探究：已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，|m|=2，求式子(a+b)/mcd+m的值。【反馈：教师巡视，对完成者进行面批，并请其向小组成员讲解，渗透分类讨论（m=±2）和整体代入思想。】第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与反思，时间约5分钟。1.知识整合：“请同学们拿出思维导图模板，以‘有理数的乘除法’为中心，画出今天知识的枝干。”学生填写核心法则、转化关系、运算顺序、运算律、易错点等。教师投影优秀作品进行展示。“看，这位同学用‘符号’和‘绝对值’作为两个主分支，思路非常清晰！”2.方法提炼：“回顾今天的探索之旅，我们用了哪些重要的数学思想方法？”引导学生说出：从特殊到一般的归纳、转化与统一（除法化乘法）、优化思想（运用运算律简算）。3.作业布置与延伸：1.4.必做作业：教材对应章节的基础练习题，完成一份侧重于法则直接应用和简单混合运算的练习卷。2.5.选做作业：1.（拓展应用）查阅或思考生活中还有哪些情境可以用“负负得正”来解释？2.（探究联结）我们已经学完了有理数的加、减、乘、除，请尝试总结这四种运算之间的关系，并思考：一个运算和它的逆运算之间，符号法则有何联系？六、作业设计  基础性作业（必做）：1.口算20道有理数乘除法的单一运算题，重点关注符号判断。2.完成教材课后练习中关于法则应用的6道计算题，要求写出详细步骤。3.判断改错题：给出3道含有典型错误（如符号错误、0作除数、顺序错误）的计算过程，让学生诊断并改正。  拓展性作业（建议大多数学生完成）：1.生活数学：记录家中一周的收支情况（收入为正，支出为负），计算日均支出或总收入。2.综合计算：完成4道包含分数、小数的乘除混合运算题，并尝试用两种不同的顺序计算以验证结果。3.编写一道能用到“除法化乘法”进行简便运算的题目，并给出解答。  探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：1.数学小论文（提纲）：以“为什么‘负负得正’？”为题，通过查阅资料（如数学史、不同数学模型），整理出至少两种你能理解并认同的解释，形成一份不少于300字的说明。2.设计挑战：用2,1,0,3,1/2这五个数，构造一个乘除混合运算的算式，使它的结果尽可能大（或尽可能小），并说明你的构造策略。七、本节知识清单及拓展  1.★有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积为0。这是运算的根基，理解的关键在于接受符号规则的约定性与合理性。  2.★有理数除法法则：法则1（直接法）：同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非零数得0。法则2（转化法）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。后者更为本质和常用。  3.▲“负负得正”的理解：这是法则的难点。可从运算的延续性（保持分配律成立）、数轴运动模型（连续两次反向运动）、生活类比（反复否定等于肯定）等多角度辅助理解，但其根本在于逻辑自洽的需要。  4.★0不能作除数：这是数学中的铁律。因为若a÷0=b，则需a=b×0，当a≠0时无解，当a=0时b有无数解，无法定义唯一结果，破坏了运算的确定性。  5.★乘除混合运算顺序：在没有括号的情况下，必须严格按照从左到右的顺序依次计算。切忌凭感觉先算乘后算除或随意结合。  6.▲运算律的运用：乘法的交换律、结合律在有理数范围内成立。利用它们可以简化计算，但务必在纯乘法或已将除法转化为乘法的算式中使用。  7.易错点：符号的逐步确定：计算多因数乘除时，应“一步一符”，即每次只对当前进行的两个数的运算确定符号，不要试图“一眼定乾坤”。  8.易错点：倒数求法：求一个数的倒数，就是求1除以这个数。整数a的倒数是1/a，分数a/b的倒数是b/a，带分数、小数需先化分数。注意倒数与原数同号（除0外）。  9.核心思想——转化与统一：将除法运算转化为乘法运算，实现了乘除运算的内在统一，极大地简化了运算体系和研究对象。这是数学中“化异为同”思想的典型体现。  10.核心思想——从特殊到一般：我们通过研究具体、特殊的算式例子，归纳、猜想出普遍适用的法则，这是数学发现的基本模式。  11.拓展：多个有理数相乘的符号规律：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正。可鼓励学有余力者探究其原因。  12.拓展：倒数与相反数的区别：倒数关乎乘积为1，相反数关乎和为0。两者概念截然不同，切勿混淆。例如，2的相反数是2，倒数是1/2。八、教学反思  （一）目标达成度分析：从当堂巩固训练的结果来看，约85%的学生能准确完成基础层练习，表明乘法法则、除法转化等核心知识技能目标基本达成。综合层的通过率约70%，显示学生在运算顺序和步骤规范性上仍需加强。挑战层仅有少数学生完整完成，反映出将新知与旧识（相反数、倒数、绝对值）融合应用的能力是当前教学的“爬坡区”，也是后续分层辅导的重点。情感目标方面，学生在探究“负负得正”时表现出的困惑与豁然开朗的神情，是理性精神萌芽的可贵证据。  （二）教学环节有效性评估：导入环节的情境成功制造了认知冲突，激发了探究欲