高考数学高三一轮复习教学设计：《函数的概念及其表示》

高考数学高三一轮复习教学设计：《函数的概念及其表示》一、教学内容分析（一）课程标准解读本设计依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求，聚焦函数的核心概念与应用能力培养，为后续函数性质、导数、不等式等内容的学习搭建逻辑框架。在知识维度，核心内容包括：函数的定义（非空数集间的唯一对应关系）、三要素（定义域、值域、对应关系）、三种表示方法（解析式、图象、表格）及单调性、奇偶性等基础性质；关键技能涵盖：定义域与值域的求解、不同表示方法的转化、函数性质的判定（如单调性定义法：对任意x₁<x₂∈D，f(x₁)f(x₂)<0则单调递增）、实际问题的函数建模。在认知水平上，要求学生实现“了解—理解—应用—综合”的层级提升；在思想方法上，贯穿抽象思维、逻辑推理、数形结合、数学建模等核心思想；在核心素养层面，重点培育数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算与数学建模素养。（二）学情分析本节课的授课对象为高三学生，已具备以下基础：初中阶段掌握一次函数、二次函数、反比例函数的基本图象与性质；高中前期学习了集合的概念与运算，初步了解“对应关系”的含义。学生的优势在于具备一定的观察、归纳能力，能够通过具体实例感知数学规律；但存在以下不足：对函数“唯一性对应”的本质理解不深刻，抽象函数的分析能力薄弱，将实际问题转化为函数模型的建模能力不足，对分段函数、复合函数的表示与性质掌握不扎实。教学中需重点关注：通过具体实例化解抽象概念，借助数形结合突破图象分析难点，通过分层任务提升不同层次学生的应用能力。二、教学目标（一）知识与技能目标识记函数的定义（设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数）、三要素及三种表示方法，能准确区分函数与非函数关系。理解函数定义域、值域的求解逻辑，掌握常见函数（一次、二次、分式、根式函数）的定义域求解方法，能通过解析式、图象求值域。掌握函数单调性（定义式：∀x₁,x₂∈D，x₁<x₂⇒f(x₁)<f(x₂)（增函数）或f(x₁)>f(x₂)（减函数））、奇偶性（定义式：f(x)=f(x)（偶函数）或f(x)=f(x)（奇函数））的判定方法，能结合图象分析性质。能灵活运用函数的三种表示方法解决实际问题，具备构建简单函数模型（如线性模型y=kx+b、二次模型y=ax²+bx+c等）的能力。（二）过程与方法目标通过观察具体实例（如气温随时间变化、路程随速度变化），经历函数概念的抽象过程，提升数学抽象能力。通过绘制函数图象、分析图象特征、转化表示方法，掌握数形结合的思想方法，提升直观想象与逻辑推理能力。通过小组合作构建函数模型、解决实际问题，提升团队协作与问题解决能力。（三）情感态度与价值观目标感受函数在物理、经济、生活等领域的广泛应用，认识数学的工具性与实用性，激发数学学习兴趣。在概念探究与问题解决中，培养严谨求实的科学态度与批判性思维，树立尊重数学规律、勇于探索的学习理念。三、教材分析本内容是高三数学一轮复习“函数”模块的开篇，是整个函数体系的基础。其地位与作用如下：基础性地位：函数的概念是后续学习函数性质（单调性、奇偶性、周期性）、特殊函数（指数、对数、三角函数）、导数及其应用等内容的前提，是连接初等数学与高等数学的关键纽带。工具性作用：函数作为描述变量之间依赖关系的数学模型，是解决实际问题（如优化问题、预测问题）的核心工具，贯穿整个高中数学知识体系。知识关联性：与集合知识（对应关系）直接关联，与方程（函数零点）、不等式（函数值域与最值）、解析几何（曲线与方程）等内容存在内在逻辑联系，为跨模块知识整合提供支撑。核心重难点：核心概念为函数的定义与三要素，核心技能为定义域求解、性质判定、模型构建；重点在于函数本质的理解与表示方法的灵活运用，难点在于抽象函数的分析与实际问题的建模。四、教学重点与难点（一）教学重点函数的定义与三要素（定义域、值域、对应关系）的辨析与应用。函数三种表示方法（解析式、图象、表格）的转化与灵活运用。函数单调性、奇偶性的判定方法与图象特征分析。简单实际问题的函数模型构建与求解。（二）教学难点函数“唯一性对应”本质的理解，尤其是分段函数、含参数函数的对应关系分析。抽象函数（无具体解析式）的定义域、值域及性质的推导。实际问题中变量的选取与函数模型的合理构建（如如何将“最大化土地使用效率”转化为函数最值问题）。数形结合思想的深度运用（如通过图象分析抽象函数的性质）。（三）难点突破策略借助具体实例（如分段函数y=|x|、含参数函数y=ax²+bx+c）拆解抽象概念，通过“具体—抽象—具体”的思维路径强化理解。利用多媒体动态展示函数图象的生成过程（如描点法绘制二次函数图象），直观呈现函数性质与图象的关联。设计分层递进的建模任务，从简单线性模型到复杂实际问题，逐步提升学生的建模能力。五、教学准备清单多媒体课件：包含函数定义动画演示、常见函数图象（一次、二次、分式、根式）、性质推导过程、实际应用案例视频（如出租车计费系统、股票价格波动）。教具：函数图象对比图表（如表1）、函数三要素思维导图、分段函数模型示意图。实验器材：科学计算器、函数图形计算器（可选）、数据采集器（用于拓展实验）。学习资源：函数性质分析任务单、分层练习题（基础层、综合层、拓展层）、优秀建模案例参考资料。评价工具：函数知识掌握程度评价表（含定义域求解、性质判定、模型构建等维度）、学生互评量表。学生准备：预习函数的基本概念，完成前置练习题（如求简单函数的定义域），准备画笔、直尺、圆规、计算器。教学环境：小组式座位排列（4人一组），黑板分区设计（左侧板书知识体系，右侧板书例题解析）。表1函数三种表示方法对比表表示方法优点缺点适用场景示例解析式法简洁准确，便于运算与推导抽象，不直观理论分析、公式推导y=2x+1、y=x²4x+3图象法直观形象，易见性质（单调性、奇偶性）精度有限，不易精确计算性质分析、趋势判断二次函数y=x²的抛物线图象表格法数据具体，便于读取不全面，无法反映整体规律数据统计、实际测量气温随时间变化的统计表格六、教学过程（一）导入环节（5分钟）生活情境导入：展示出租车计费规则（3公里内起步价10元，超过3公里后每公里2元）、气温随时间变化的折线图，提问：“这些现象中存在哪些变量？变量之间的关系有什么共同特点？”引导学生发现“一个变量的变化会引起另一个变量的唯一变化”。认知冲突引发：给出关系式y=±√x，提问：“这是函数吗？为什么？”结合函数定义中的“唯一性对应”，引发学生讨论，明确函数的核心特征。学习目标明确：通过提问“本节课我们需要掌握哪些内容？”，引导学生梳理学习目标：理解函数定义、掌握表示方法、分析函数性质、解决实际问题。（二）新授环节（30分钟）任务一：函数的概念与三要素（10分钟）教师活动：板书函数的严格定义，强调“非空数集”“唯一对应”两个核心条件，结合集合语言表示f：A→B（A为定义域，{f(x)|x∈A}为值域）。讲解三要素：定义域（自变量x的取值范围）、值域（因变量y的取值范围）、对应关系（f的具体规则），通过例题1演示定义域求解方法。例题1：求函数f(x)=√(x2)+1/(x3)的定义域。解析：要使函数有意义，需满足√(x2)≥0（根式有意义）且x3≠0（分式有意义），即x≥2且x≠3，故定义域为[2,3)∪(3,+∞)。引导学生讨论：“定义域、对应关系确定后，值域是否唯一确定？”明确三要素中定义域和对应关系是核心。学生活动：参与定义辨析讨论，记录关键条件。独立完成练习题：求函数f(x)=1/√(4x²)的定义域，小组内互评答案。总结常见定义域限制条件（根式、分式、零次幂等）。即时评价标准：能准确复述函数定义及三要素。能正确求解常见函数的定义域，正确率≥80%。能解释“唯一性对应”的含义，区分函数与非函数关系。任务二：函数的表示方法及转化（8分钟）教师活动：展示表1（函数三种表示方法对比表），讲解每种方法的特点与适用场景。演示表示方法的转化：已知函数解析式y=|x2|，绘制图象（分段函数，x≥2时y=x2，x<2时y=2x）；已知某函数的表格数据（如下表），写出解析式。x1234y3579解析：观察数据可知y与x成线性关系，设y=kx+b，代入(1,3)、(2,5)得k=2，b=1，故解析式为y=2x+1。强调分段函数的表示方法：解析式分段书写、定义域标注清晰、图象分段绘制。学生活动：绘制函数y=x²2x的图象，标注顶点、对称轴，小组内交流图象特征。完成表格数据到解析式的转化练习，分享解题思路。即时评价标准：能熟练掌握三种表示方法的转化，图象绘制准确。能正确表示分段函数，标注关键信息（定义域、关键点）。任务三：函数的核心性质探究（7分钟）教师活动：讲解单调性定义：设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，若对任意x₁,x₂∈I，x₁<x₂，都有f(x₁)<f(x₂)，则称f(x)在I上单调递增；若f(x₁)>f(x₂)，则称单调递减。结合图象说明“增函数图象从左到右上升，减函数图象从左到右下降”。讲解奇偶性定义：设函数f(x)的定义域关于原点对称，若f(x)=f(x)，则为偶函数（图象关于y轴对称）；若f(x)=f(x)，则为奇函数（图象关于原点对称）。例题2：判断函数f(x)=x³3x的奇偶性。解析：定义域为R（关于原点对称），f(x)=(x)³3(x)=x³+3x=(x³3x)=f(x)，故为奇函数。学生活动：独立判断函数f(x)=x⁴+2x²的奇偶性，推导单调性（以二次函数y=x²为例）。小组讨论：“奇函数、偶函数的定义域有什么共同特征？”（关于原点对称）即时评价标准：能准确复述单调性、奇偶性的定义及判定步骤。能正确判定常见函数的奇偶性，正确率≥90%。能结合图象分析函数的单调性区间。任务四：函数模型的构建与应用（5分钟）教师活动：展示实际问题：某商店销售一种商品，每件成本为10元，售价为x元（10<x≤20），销售量y与售价x的关系为y=1005x，求利润L与售价x的函数关系式，并求售价为多少时利润最大。解析：利润L=（售价成本）×销售量，即L=(x10)(1005x)=5x²+150x1000，定义域为(10,20]，结合二次函数性质，顶点横坐标x=15，故售价为15元时利润最大。强调建模步骤：审题（找变量）→找关系（列等式）→确定定义域→化简解析式。学生活动：小组合作完成简单建模练习，分享建模思路。总结建模的关键步骤与注意事项。即时评价标准：能准确识别实际问题中的变量关系。能构建正确的函数模型，标注定义域。（三）巩固训练（15分钟）基础巩固层（7分钟）判断下列关系是否为函数，并说明理由：①y=x²+2x+1②y=√(x)③x=y²④y=1/x求函数f(x)=√(x+3)1/(x1)的定义域。判断函数f(x)=x²2|x|的奇偶性，画出其大致图象。综合应用层（5分钟）某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品的可变成本为10元，售价为30元，求总成本C、总收入R、总利润L与产量x的函数关系式，并求盈利时的产量范围。已知函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x²2x，求x<0时f(x)的解析式。拓展挑战层（3分钟）设计一个函数模型描述物体自由落体运动（忽略空气阻力，重力加速度g=9.8m/s²），若物体从高度h=45m处下落，求落地时间t（提示：自由落体位移公式h=½gt²）。某城市空气质量指数（AQI）与风速v（m/s）的关系近似为线性函数，当v=3时AQI=60，v=8时AQI=35，建立函数模型并分析风速对空气质量的影响。即时反馈机制学生互评：小组内交换练习答案，标注错误并说明原因，教师巡视指导。教师点评：聚焦共性错误（如定义域求解遗漏限制条件、奇偶性判定忽略定义域对称性），展示优秀答案与典型错误案例。答疑解惑：针对学生提出的疑问进行针对性讲解。（四）课堂小结（5分钟）知识体系建构：引导学生用思维导图梳理本节课核心知识：PlainText函数的概念及其表示├─定义：非空数集间的唯一对应关系├─三要素：定义域、值域、对应关系├─表示方法：解析式、图象、表格（相互转化）├─核心性质：单调性（定义+图象）、奇偶性（定义+图象）└─应用：实际问题→函数模型→求解→检验方法提炼：总结本节课核心思想方法：数形结合（图象辅助分析性质）、分类讨论（分段函数）、建模思想（实际问题转化为数学问题）。作业布置：必做：基础巩固层+综合应用层未完成题目，教材对应习题。选做：拓展挑战层题目，结合生活实际设计一个函数模型（如家庭电费计算模型），撰写简短建模报告（含变量定义、关系式、图象、应用分析）。七、作业设计（一）基础性作业（1520分钟）求下列函数的定义域与值域：（1）f(x)=√(42x)（2）f(x)=x²4x+5（3）f(x)=1/(x²+1)判断下列函数的奇偶性，并说明理由：（1）f(x)=x³+1/x（2）f(x)=|x+1|+|x1|（3）f(x)=2x+1已知函数f(x)的图象过点(1,3)、(2,5)、(3,7)，试判断该函数的类型（线性/二次/其他），并写出解析式。（二）拓展性作业观察日常生活中的一个变化现象（如水电费计费、超市促销活动、气温变化等），用函数描述其变化规律，要求：明确变量定义与取值范围；写出函数解析式（或表格、图象）；分析函数的性质（如单调性、最值）及实际意义。实验探究：用计算器记录自己10次1分钟跳绳的次数，以跳绳次数为因变量y，练习天数为自变量x，构建函数模型（线性或二次），验证模型的合理性并预测第15天的跳绳次数。（三）探究性作业探究分段函数在生活中的应用，举例说明分段函数的优势，并设计一个分段函数解决实际问题（如停车费计费模型）。查阅资料了解函数在经济学（如成本收益模型）、物理学（如匀变速直线运动）、生物学（如种群增长模型）中的应用，撰写一篇200字左右的短文。八、本节知识清单及拓展函数定义：f：A→B（A、B为非空数集，任意x∈A有唯一y=f(x)∈B），核心是“唯一性对应”。三要素：定义域：求解依据（根式≥0、分式分母≠0、零次幂底数≠0等）；对应关系：常见形式（解析式、图象、表格）；值域：由定义域与对应关系确定，求解方法（图象法、配方法、单调性法等）。表示方法：解析式法（简洁）、图象法（直观）、表格法（具体），可相互转化。核心性质：单调性：定义式+图象特征，判定步骤（取值→作差→变形→判断符号）；奇偶性：定义式+定义域关于原点对称，图象特征（偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称）；周期性（拓展）：f(x+T)=f(x)（T≠0），常见周期函数（三角函数）。常见函数模型：线性模型：y=kx+b（k≠0），适用于均匀变化问题；二次模型：y=ax²+bx+c（a≠0），适用于最值问题；反比例模型：y=k/x（k≠0），适用于反比例变化问题。拓展知识：分段函数：定义域分段、解析式分段，图象分段绘制；复合函数：y=f(g(x))，定义域为g(x)的值域与f(x)定义域的交集；反函数：若f(x)是单调可逆的，其反函数f⁻¹(x)满足f(f⁻¹(x))=x；函数零点：f(x)=0的解，即函数图象与x轴的交点横坐标，判定定理（f(a)·f(b)<0则区间(a,b)内有零点）。九、教学反思（一）教学目标达成度评估从课堂反馈与作业情况来看，大部分学生已掌握函数的定义、三要素及基础性质，能正确求解常见函数的定义域、判断奇偶性，基础巩固层习题正确率达85%以上。但在综合应用与建模环节，约30%的学生存在困难，主要表现为：实际问题中变量关系识别不清、定义域标