2025年高考备考高中数学个性化分层教辅学困生篇《函数应用》

2025年高考备考高中数学个性化分层教辅学困生篇《函数应用》

一,选择题（共10小题）

I.（2024•新郑市校级开学）已知函数f（x）=5s出（2%一看），%€[0,攀],若函数尸（x）=；（x）-4的

所有零点依次记为XI，X2,X3，…，X"，且XlVx2VX3〈“VX"，则XI+2v2+Zv3+…+2x〃-I+Xn=()

6257r1001717117T

A.2927rB.-------c.----------D.--------

232

2.（2023秋•日照期末）函数/（x）=2“3x-4的零点所在的大致区间是（)

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

叁;:署则力⑹I

3.（2023秋•阜南县期末）已知函数/（%）=)

A.B.3C.9D.10

4.（2024春•宁波期中）己知函数/1（＞）=上—〃-2,若＞0,则实数。的取值范围是

)

33

A.(2,+8)B.(-2,力C.(-8,-1)D.(-2,+8)

5.（2024•昔阳县校级模拟）若函数/（.r）=1?+』-lx-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,

参考数据如表:

/⑴=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)=-0.984/(1.375)=-0.260

/（1.438）=0.165/（1.4065）=-0.052

那么方程入3+7-2x-2=0的一个近似根（精确到（）.1）为（）

A.1.2B.1.3C.1.4D,1.5

6.（2023秋•仙游县期末）函数/（幻=log〃+2》-7的零点一定位于区间（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（5,6）

7.（2024•南开区学业考试）函数/（x）=2alogir+a・4K+3在区间弓，I）上有零点，则实数。的取值范围

是（）

A.—5B・〃V—5C.-V—5D.一工

8.（2023秋•松江区期末）若函数/（x）=/+W-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其

参考数据如下：

f(1)=-2/(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984

f(1.375)=-0.260/(1.4375)=0.162f(1.40625)=-0.054

那么方程Ph?-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()

A.1.25B,1.375C.1.42D.1.5

9.(2023秋•碑林区校级期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得

的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位；年)的关系为)，一・3+1舐・25(x£N’)，则该公

司每台机器年平均利润的最大值是()万元.

A.8B.12C.28D.56

10.(2024•香洲区校级模拟)函数/”)=cosx-|/gN零点的个数为()

A.2B.4C.6D.8

二.多选题(共5小题)

(多选)11.(2024秋•泉州月考)已知函数/'(%)=|/%-1+2］-m(0Vm<3)有两个不同的零点xi,X2

(X1<X2),则()

A.x\x2^1B.—<e2m

X1

2m3

C.D.eS-<x<^—

1m+2L23-m

(多选)12.(2024春•滁州期末)已知定义在R上的函数尸/⑴满足/(x)4/(・x)=0,且

=/(l+x).若xW［0,1］时，/(x)=log2(x+1),则()

A.f(x)的最小正周期7=4

B./(x)的图象关于(2024,0)对称

C./号)=1-log23

D.函数y=/(%)+：在区间［-2,0］上所有零点之和为-2

(多选)13.(2024春•五华区校级月考)已知函数/(x)=*%・尹阳，则下列说法正确的是()

A./(x)的图象关于直线％=今对称

B./(x)的图象关于点4,0)中心对称

C./(x)是一个周期函数

D./(x)在区间(0,n)内有且只有一个零点

(多选)14.(2024春•五华区校级月考)若点(刈，和)在函数/(公的图象上，且满足)了/(州)20,

则称X0是/(K)的〈点.下列选项中的XO是函数f(x)的C点的是()

.197r，/、.

A.xQ=%-,f(x)=sinv

口19TTRZ>.

B.x0=----^―,J(x)=cosx

C.xo=-346°,f(x)=tanx

D.

xo=765°,f(x)=sinxcosx

(多选)15.(2024•播州区校级一模)已知函数/(%)=[-：X-Q，则下列结论中正确的是()

lx2-4x,x>0,

A.函数f(x)有且仅有一个零点

B.函数/(x)是奇函数

C./(x)在(-8,2)上单调递减

D.函数/(.I)的最小值为-4

三,填空题(共5小题)

16.(2024•蜀山区自主招生)若函数/(工)=/+办+2有一个二重零点，则。的所有可能取值是.

17.(2023秋•宝安区校级期末)已知函数八外=『",则八0)_/(_3)=________.

{log2(l-x}fx<-l

18.(2023秋•双塔区校级期末)若/(%)=1一”'X-Q，是奇函数，则g(7)=_________.

U(2x+1),x>0

19.(2023秋•商丘期末)已知函数/•㈤=『"7+2'**1在口上单调递增，则实数。的取值范围

ax+。，%<1

为.

20.(2023秋•邺城县校级月考)给定函数y=/(x),若在其定义城内存在加(刈#0)使得/(-xo)=-

/(.W),则称/(公为“。函数”，出为该函数的一个“。点”.设函数一"2,x<0,若/〃2

Jn(a—ex)zx>0

是g(x)的一个“Q点”，则实数。的值为.

四.解答题(共5小题)

21.(2024秋•泉州月考)悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之

其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为。(不)=竺竽二，相

应的反链函数表达式为R(x)二竺尹.

2025年高考备考高中数学个性化分层教辅学困生篇《函数应用》

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

I.(2024•新郑市校级开学)已知函数/(x)=5sE(2xxe[0,竽],若函数尸(x)=;(x)-4的

所有零点依次记为XI，X2，X3，…，X”，且XIVx2Vx3V…V.%,则XI+2X2+2A3+“+2X〃.i+x〃=()

625TT10017T711TT

A.292-ITB.----C.-----D.----

232

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理.

【答案】A

【分析】由题可得，是要求解关于对称轴对称的两点与对称轴的关系问题，需要先求出对称轴通式“=

再判断在符合定义域取值范围内有多少条对称轴，确定每相邻两零点与对称轴关系，

再通过叠加法表示出x\+2x2+2n+-+2xn-\+Xn,结合数列通项公式求和即可.

【解答】解：函数/(%)=5s»(2x—5)，令2%—看=今+k7T[k£Z),可得'=我"+"/c£Z),

即函数的对称轴方程为％=2ATT+孩(k£Z),又f(x)的周期为r=7T,%6[0,峥],

令7r+^=等，可得々=24，所以函数在“€[0，竽]上有25条对称轴，

根据正弦函数的性质可知，/+%2=与X2,%2+%3=.X2,…，％n-1+X2(最后一条对

OOO

称轴为函数的最大值点，应取前i条对应的对称轴)，

将以上各式相加得Xj+2X2+2%3+…+2%nT+Xn=(普+期+等+…+X2

n(2+71)x248767r…

=3X-2-二丁=292兀，

故选：A.

【点评】本题考查函数与方程综合应用，属于中档题.

2.(2023秋•日照期末)函数/(》)=2'+3x-4的零点所在的大致区间是()

A.(0,I)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【考点】函数零点的判定定理.

[7题】函数的性质及应用.

【答案】A

【分析】确定/(O)=1-4=-3<O,/(I)=2+3-4=1>0,根据零点存在定理，可得结论.

【解答】解：V/(0)=1-4=-3<0,/(I)=2+3-4=1>0,

・•・根据零点存在定理，可得函数/'(X)=243%-4的零点所在的大致区间是(0,1)

故选：A.

【点评】本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题.

?.r—3r>0…

3.(2023秋•阜南县期末)已知函数/"(%)=,，则川'（（））］=（）

lx2+1,x<0

A.-1B.3C.9D.10

【考点】分段函数的应用；函数的值.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】根据题意，由函数的解析式，求出/(0)的值，进而计算可得答案.

【解答】解：根据题意，函数-3,”二°,

W+1,%<o

则/(0)=2X0-3=-3,

/Lf(O)]=/(-3)=(-3)2+1=10.

故选：D.

【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题.

4.(2024春•宁波期中)已知函数/(%)=£—“t,若刀(2/)>0,则实数a的取值范围是

()

33

A.（2,+8）B.（一2,C.（-8,D.（-2,+8）

【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】根据题意，设g(x)=/(x-2)分析g(x)的奇偶性、单调性，由此原不等式变

形可得关于〃的不等式，解可得答案.

1

【解答】解：根据题意，设g(x)=f(x+2)=3一/，

g(x)定义域为R,有g(-x)=-(2一/)=-g(x),

则g(X)为奇函数,

1

针(X)=-(―<0,则g(x)在R上为减函数，

ex

若/(〃-2)4/(2/)>0,即g(G-4)+g(2/-2)>0,

则有g(〃-4)>-g(2〃2-2),变形可得g(a-4)>g(2-2/)，则有°・4<2・2d,

解可得：-2々号，即。的取值范围为(-2,1).

故选：B.

【点评】本题考查函数的单调性和对称性，涉及不等式的解法，属于基础题.

5.(2024•昔阳县校级模拟)若函数/(x)=9+/-2r-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，

参考数据如表：

/(I)=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260

/(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程.P+/-2x-2=0的一个近似根(精确到().1)为()

A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

【考点】二分法的定义与应用.

【专题】应用题.

【答案】C

【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理--零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越

越接近的特征选择正确选项

【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.4065,1.438)中，观察四个选

项，与其最接近的是C，

故选：C.

【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其

原理得出零点存在的区间，找出其近似解.属「基本概念的运用题

6.(2023秋•仙游县期末)函数/Ct)=logzt+2.7的零点一定位于区间()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(5,6)

【考点】函数零点的判定定理；二分法的定义与应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】8

【分析】根据题意，由函数的解析式求出/(2)、/(3)的值，由二分法分析可得答案.

【解答】解：根据题意，/(X)=log”+2x-7,其定义域为(0,+8),

而函数y=logzi•和y=2x-7都在(0,+°0)上的增函数，则/(x)=log2x+2x-7在(0,+°0)递增,

又由/(2)=log22+2X2-7=-2<0,/(3)=log23+2X3-7=log23-l=log23-log22>0

则有/(2)/(3)<0,

所以/(x)=log2x+2x・7的零点一定位于区间(2,3),

故选：B.

【点评】本题考查函数零点判定定理，涉及二分法的应用，属于基础题.

1

7.(2024•南开区学业考试)函数/(%)=2alog»+a・4x+3在区间(5,1)上有零点，则实数。的取值范围

是()

13313

C<-

-一----

A.2B.222F).4

【考点】函数零点的判定定理.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断函数/(x)的单调性，然后根据零点存在的定价条件解不

等式/<0即可得到结论•

【解答］解：若〃=0,则/(、)=3,没有零点，.•.〃=()不成立，

若。<0,则函数/(x)=2HogM+4・4'+3在区间(*，I)上单调递减，

2

若则函数f(x)=2Hog“+4・4\+3在区间(工，I)上单调递增，

2

即函数/(x)=2alog2A，+a・4'+3在区间§1)上是单调函数，

若在区间I*1)上有零点，

1

则/(刁)/(1)<0,

1

叩(2«log2—+2f/+3)(4〃+3)<0,

即3(44+3)<0,则〃<一半

故选：

【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据函数的性质，判断函数的单调性是解决本题的关键.

8.(2023秋•松江区期末)若函数/(公=/+/-2.2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其

参考数据如下：

f(1)=-2/(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984

/(1.375)=-0.260/(1.4375)=0.162/(1.40625)=-0.054

那么方程/+f・2x・2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()

A.1.25B.1.375C.1.42D.1.5

【考点】二分法的定义与应用.

【专题】计算题；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】由二分法及函数零点的判定定理可知函数/(x)=/+/-2x-2的零点在(1.40625,1.4375)

之间；从而判断.

【解答】解：由表格可得，

函数/(x)=9+/-2x・2的零点在(1.40625,1.4375)之间；

结合选项可知，

方程・2=0的一个近似根(精确度为().05)可以是1.42；

故选：C.

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及二分法的应用，属于基础题.

9.(2023秋•碑林区校级期末)呆公司购买一枇机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得

的总利润丁(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y=・f+18x-25(xWN*)，则该公

司每台机器年平均利润的最大值是()万元.

A.8B.12C.28D.56

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】应用题：转化思想；数学模型法；不等式：数学运算.

【答案】A

【分析】利用基本不等式求得年平均利润的最大值.

【解答】解：年平均利润为?=~(x+y)4-18<-2Jx~+18=8,

当且仅当x=§,即x=5时等号成立，

所以年利润的最大值为8万元.

故选：A.

【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题.

10.(2024•香洲区校级模拟)函数/(x)=cosx-|@r|零点的个数为()

A.2B.4C.6D.8

【考点】判定函数零点的存在性.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用.

【答案】B

【分析】根据题意，同一坐标系里作出户=cosx和*=|/gx|的图象，分析其图象的交点，由函数零点的

定义分析可■得答案.

【解答】解：根据题意，函数/(x)=cos^-|@r|的零点，即方程cou=|/gM的实数根

同一坐标系里作出yi=cosx和的图象：如图：

当0<x<10时，y2=|/gx|=/gxW1,.V2的图象与yi=cosx的图象有4个交点；

当x>10时，yi=cosxW1而)2=|/gx|=/gx>1,两图象没有公共点

因此，函数yi=cosx和y2=|/g.r|的图象交点个数为4,即f(x)=cosx-|/gx|的零点有4个；

【点评】本题函数零点的判定，注意转化为函数图象交点的问题，属于基础题.

二,多选题(共5小题)

(多选)11.(2024秋•泉州月考)已知函数f(%)=|2九%-1+2|-m(0Vm<3)有两个不同的零点xi,X2

(xi<xi),贝I()

A.x\xi^IB.—<e2m

Xl

2m3

C.x>--njD.e3<x---

r1Zn+2243—TH

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理.

【答案】BCD

【分析】A选项，根据一切Xi2=仇&一£"+2，得到仇3i%2+4>0，换元得到皿(九)=

X1x2vxlx2

2Znn-i+4,由W(〃)单调递增，且W(l)=0,得到A错误；

97

选项，转化为：有两个交点〈构造：求

3-人+2|=m(0Vm<3)xi,X2(xim人),g(x)="x-+2,

出定义域，求导得到g(X)的单调性，令人(工)=|也%—2+2],作出h(x)的图象，得到单调性，所

以0V"VlVx2,求出27n>炽等)，故至•vfm；

X1%i

22

C选项，由8选项可知巾=一/—2,故〃UI+2XI・2=・XI//R>0,因此；^>而直；

对于D,因为0<m<3,所以g(言)-m=Tn(3-m)一5+m3,构造函数Q(x)=-Zn(3-m)-y+

ln3,求导得到函数单调性，而Q(0)=0,所以不<言，m-g(翁=2爸一号+1),换元后构造

/(t)=t-^+1,/(r)单调递增，且/(0)=0,

?nmQ

所以m=g(%2)>g(e4)，所以OIII

【解答】解：对于A,因为一上M■-2=仇》2-£■+2，所以松1%2=£"+£■-4>/十一4,

X1x2X1x2Vxlx2

4

所以仇工62.y+4>0,

Vxlx2

令币而=n,IV(TI)=2)九一，十4A0,显然W(〃)单调递增，且W(l)=0,

所以〃>1=XLV2>1,A错误；

8选项，由函数/(%)=即x—孑+2|-m(0Vm<3)有两个不同零点xi,X2(xi<%2),

人

7

转化为-：+有两个交点)

人2|=77i(0Vm<3)xi,X2(xiVx2,

构造函数g(x)=仇%-]+2,定义域为(0,+8),

1?

则g'(x)=i+m，故g'(x)>0,

所以g(x)在(0,+8)单调递增，而g(1)=0,

令九(x)=|仇X-2+2],

可得力(x)图象如图所示:

故力（工）在（0,1）单调递减，在（1,+8）单调递增,

所以0<X|Vl<X2,

m=-lnx1+7--2=lnx2一二+2,所以2m=-lnxt+lnx2+言-g>伍(?)，

所以三Ve2,故B正确；

X1

9

对于C,由8可知?n=—InXi+——2>

xi

o

因此故正确；

HIT1+2x1-2=-xi/zui>0,Am+ZC

对于。，因为0VmV3,所以OVqVl,故卫Ve2‘n,

3X1

而I、I，3、_j32(3-m).„_.32m

则g(3^m)-m=-ln(3—?n)—y+ln3,构造函数Q(%)=-ln(3—m)—y+ln3,

则0(%)=』3=双/>0,而Q(0)=0,所以9(言)>m=g3)，

所以孙vR,

mm2m1

因为g(e?)=y--m+2,所以机-g(e3)=2(4一鸣+1)，

m1

令一=t(O<tVl),构造/«)=t一々+1,显然/(/)单调递增，且/(O)=0,

3e

mmo

所以m=9(X2)>9(。丁)，所以。3<%2〈二O二石11L，故。正确；

故选：BCD.

【点评】本题考查函数与方程综合应用，属于中档题.

(多选)12.(2024春•滁州期末)已知定义在R上的函数y=/(x)满足/(x)+fC-x),且/(1・x)

=/(l+x).若在［0,1］时，f(x)=log2(x+1),则()

A.f(x)的最小正周期T=4

B.f(x)的图象关于(2024,0)对称

C.f(当=1-log23

D.函数y=f(x)+2在区间［-2,0］上所有零点之和为-2

【考点】求函数的零点；奇偶函数图象的对称性；函数周期性的判断与求解.

【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】ABD

【分析】根据/(X)4/(-X)=0,且/(I-X)=/(l+x)判断/(X)是奇函数且图象关于X=1对称，

进而确定周期和对称中心，判断A，B；计算f(当=，。W3-1得c错误；推导出/G)在［-2,0］的

图象关于x=-1对称且值域为L1，0］确定。选项.

【解答】解：因为/(工)4/(-x)=0,所以f(x)是奇函数；

因为/(1-x)=/(l+x),所以/(x)的图象关于x=l对称，

所以/(2+x)=/(l+l+x)=/(-x)=-f(x),则f(4+x)=-/(2+x),

因而/(4+x)=f(x),所以/(x)的最小正周期7=4,故A正确；

由/(4048・％)=/(1012X4-x)=f(-x)=-/(x),则f(x)的一个对称中心为(2024,0),故8

正确；

f(学)=/(T一①=/(1)=/(1)=log23-l,故C错误：

当尤［0,1］时,/(x)=log2(x+1)单调递增且值域为［0,1］,

因为/(X)的图象关于X=1对称，所以/(工)在［1,2］单调递减且值域为［0,1］,

又因为/(x)是奇函数，所以/J)在［-2,0］的图象关于戈=-1对称且值域为［-I,0］,

所以函数y=/(%)+2在区间［-2,0］上有两个零点，且所有零点之和为-2,

故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了函数的零点以及函数奇偶性和周期性，属于基础题.

(多选)13.(2024春•五华区校级月考•)已知函数/(x)=*口_产。9则下列说法正确的是()

A.f(x)的图象关于直线“押称

B.f(X)的图象关于点4,0)中心对称

C./(%)是一个周期函数

D./(X)在区间(0,TT)内有且只有一个零点

【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的周期性：函数的零点.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】BCD

【分析】根据题意，分析/（^-工）与/（X）的关系，可以判断函数的对称性，可得A错误，B正确:

利用三角函数的周期性可得/（X+2TT）=/（X）,可得C正确，由函数零点的定义分析。，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项:

对于A、B,函数/(x)=esiav-ecosv,f-x)=产吗一切一。的&")=e8sx・刖』.(^-^)

=八）,

则/（X）的图象关于点4,0）中心对称，A错误，3正确;

对于C,/(x+2n)=别>户2n6cos<x+2n>=es\nx_ecos.r_y(不),

则/（X）是周期为211的周期函数，C正确;

对于。，若/（X）=/欣・/3=0,必有别旧=/。%即si!LT=COSX,在区间（0,7T）内只有一解，即

7T

户4'

则/（%）在区间（0,u）内有且只有一个零点，。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查函数的对称性、周期性和零点的判断，涉及三角函数的性质，属于基础题.

（多选）14.（2024春•五华区校级月考）若点（刈，和）在函数/（x）的图象上，且满足和♦/（加）20,

则称刈是/（x）的（点.下列选项中的刈是函数/（不）的，点的是（)

人197r上/、.

A.x0=于kx)=siiu-

B.x0=——J(x)=cosx

C..ro=-346°,f(x)=tanx

]

D.xo=765°，汽x）=sinxcosx

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】新定义：对应思想；综合法：三角函数的图象与性质；数学运算.

【答案】AC

【分析】根据刈是/（x）的C点的定义，对选项一一分析计算，检验即得.

【解答】解：对于A,%=/（4马==—帝，

**.y0"（7o）=-1szn（-1）=^sin|＞。符合题意,故正确：

D•・_197r_19兀、_/19TTA_百

对J8,.x0=----亨,yQ=f(--5-)=cos(------^-)-~~2>

.,•Vof(yo)=-卑cos(一务=一坐cos坐VO,不符题意,故错误;

对于C,V.ro=-346°,y0=/(-346°)=tan(-346°)=tanl4°G(0,孚),

工和•/（和）=tan140tan（tan140）>0»符合题意，故正确;

对于。项,1=2

由f（外=sinxcosx~sinZx"

•・・.m=765°,所以%=/（765。）=而念即=2,

工%"（%）=2乂磊=不力V0,不合题意，故错误.

故选：AC.

【点评】本题属于新概念题，考查了三角函数的计算及对新概念的理解，属于基础题.

（多选）15.（2024•播州区校级一模）已知函数/X-0,则下列结论中正确的是（）

U2-4x,x>0,

A.函数/（x）有且仅有一个零点

B.函数f（x）是奇函数

C.f（x）在（-8,2）上单调递减

D.函数/（工）的最小值为-4

【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数：函数的奇偶性.

【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】C。

【分析】作出函数y=/（x）的图象，结合图象逐一判断即匕.

【解答】解：作出函数y=/（x）的图象，如图所示：

由此可得函数有两个零点戈=0和x=4,故A错误；

函数的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故8错误：

函数在（・8,2）上单调递减，故C正确；

当x=-2时，函数有最小值，为-4,故。正确.

故选：CD.

【点评】本题考查了一次函数,二次函数的性质，考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于基础题.

三,填空题（共5小题）

16.（2024•蜀山区自主招生）若函数/（幻=/+”+2有一个二重零点，则。的所有可能取值是-3.

【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数.

【专题】函数思想；方程思想：函数的性质及应用；数学运算.

【答案】-3.

【分析】根据零点的定义，将问题转化为三次方程求解问题，设/+办+2=（X-m）2（.”〃），展开求

解即可.

【解答】解：由题意等价于三次方程/+如+2=0存在一个二重根与一个根，

设其二重根为，小另一实根为〃，

则x3+ar+2=（X-m）2（x-

展开得：/+0¥+2=入3-（n+2m）7+（2mn+m2）x-in2n,

2m+n=0

所以m2+2mn=a,解得a=-3.

,m2n=—2

故答案为：・3.

【点评】本题考查了函数与方程思想，考查了函数的零点，属于基础题.

2~xV->_1

'-，M/(0)-/(-3)=-1.

(log?。一%)，Xv-1

【考点】分段函数的应用；函数的值.

【专•题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】-1.

【分析】利用分段函数求解函数值即可.

2X-1

【解答】解：函数/(X)=1-,

乜0。2(1-％)，X<-1

贝l]/(0)-/(-3)=2°-log24=l-2=-1.

故答案为：-I.

【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，是基础邈.

18.(2023秋•双塔区校级期末)若/(%)=]一”'X-0,是奇函数，则g(7)=・3.

g(2x+1),x>0

【考点】分段函数的应用；函数的奇偶性.

【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】-3.

【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得/(3)=g(7),结合函数的奇偶性分析可得答案.

【解答】解：根据题意，/(X)=\~X，,

lg(2x+l),x>0

令x=3可得：/(3)=g(7),

又/(#是奇函数，

所以g(7)=f(3)=f(3)=[(3)J=3.

故答案为：-3.

【点评】本题考瓷函数的奇偶性，涉及函数值的计算，属于基础题.

J.2_a—+2,%>1

在R上单调递增，则实数。的取值范围

{ax+a,x<l

为(0,.

4

【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(0,

4

件1

【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得43一°工°,解可得答案.

a>0

W3—a>2a

—ax+29%>1

【解答】解：根据题意，函数/•(%)=在R上单调递增，

.ax+a,xVI

fQ

-<1

-2

-3

<3a>o3

有

贝H--^

un>-U

Qo44

\y/3—a>2a

故答案为：(0,1h

【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题.

20.(2023秋•郸城县校级月考)给定函数)，=/(x),若在其定义域内存在村(mWO)使得/(-灿)=-

/(.ro),则称/(x)为“C函数”，m为该函数的一个“。点设函数g(%)=b"一"2'X<°,若/〃2

Jn(a-ex),r>0

是g(x)的一个“C点”，则实数。的值为3.

【考点】由函数的零点求解函数或参数.

【专题】新定义；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】3.

［分析］由/«2>0,则有g(-/n2)=-g(/〃2),即0=-In(a-eln2),即可求解.

【解答】解：由题意知，当£>0时，

由新定义的函数知，加2>0,则g(x)

有g(M2)=g(/〃2),

即0=-In(a-M),

解得。=3.

故答案为：3.

【点评】本题属于新概念题，考查了对数函数的性质，属于基础题.

四.解答题(共5小题)

21.(2024秋•泉州月考)悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然卜垂M，处于最稳定的状态，反之

其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为D(x)=-A，相

应的反链函数表达式为R(x)二竺/.

(1)证明：曲线y=宾郎一[02(%)-R2a)]是轴对称图形：

(2)若直线)，=/与函数)，=。(x)和)，=R(A)的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为

Xl,X2,X3，证明：+%2+工3>"(1+e)；

(3)已知函数/x)=|D(2x)-«/?(%)-b|,其中a,bER.若火x)W4对任意的%E[/n(V2-1),Ing+1)]

恒成立，求|a|+血的最大值.

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】函数思想：定义法；函数的性质及应用；逻辑推理.

【答案】(1)证明见解析.

(2)证明见解析.

(3)7.

【分析】(I)将函数化简得y=(左宫)2-1,根据偶函数的性质即可判断此函数图象关F)，轴对称;

(2)根据函数的单调性可大致判断函数尸D(x)和产R(%)的图象，且)=。(%)为偶函数，结合

图象可判断川+也=0,且/>1,再解不等式即可；

(3)观察函数特征，不妨设/?(%)=竺于二=m,当xw[伍(注一1),"(注+1)]时，得加曰-1,1],

从而f(x)=|2m2+l-am-b|W4对Vm€[-1,1]恒成立,再解不等式即可.

【解答】解：(1)证明：y=需一2M—R2a)]=(W!=)2—l,

令g(X)=-1，则。(一工)=-1=_1=g(x),

所以g(X)为偶函数，

故曲线'=1号-[p2W-R2。)]是轴对称图形，且对称轴为X=0.

pX_p-X

(2)证明：令。'⑺=S=0,得x=0，

当x>0,D'(x)>OD(x)单调递增；当xVO,D'(A)VO,D(x)单调递减，

所以D(x)在x=O处取得极小值1,

当Xf+8,D(X)—+8;当-8,。(X)一一8.

*(%)=竺/〉0恒成立，所以R(x)在R上单调递增，

当x-+8,R(x)-*4-00；当Xf・8,R(x)

所以。(X)、R