新高考数学专题复习专题53概率(多选题)专题练习(学生版+解析)

专题53概率（多选题）

一、题型选讲

题型一、正态分布型

例1、（2020•山东青岛•高三开学考试）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策,

贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别

服从正态分布N（〃,3（）2）和N（28O,4O2）,则下列选项正确的是（）

附：若随机变量X服从正态分布则P（4-b<X<〃+b）k0.6826.

A.若红玫瑰日销售量范围在（〃-30,280）的概率是0.6826,则红玫瑰日销售量的平均数约为250

B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日俏售量更集中

C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D.白玫现H销售量范围在（280,320）的概率约为。.3413

例2、甲、乙两类水果的质量（单位：依）分别服从正态分布N（M，cr；）,N（〃2，b；）,其正态分布的密度

曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）

A.甲类水果的平均质量从=04依

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近

题型二、线性回归方程及独立性检验

例3、（2020届山东省德州市高三上期末）针对时卜.的“抖音热〃，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”

4

作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的《，女生喜欢抖音的人

数占女生人数若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（）人

附表:

P（K24）0.0500.010

k3.8416.635

附：吁—

（4+/?）（c+d）（o+c）（〃+d）

A.25B.45C.60D.75

例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调杳了50名

男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算K?的

观测值％之4.762,则可以推断出（）

满意不满意

男3020

女4010

2

p[K>k）0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

3

A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为《

B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意

C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

D.有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

题型三、常见概率

例5、（2020•山东潍坊•高三月考）（多选题）从甲袋中摸出一个红球的概率是g,从乙袋中摸出一个红球的

概率是!，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）

2

A.2个球都是红球的概率为！B.2个球不都是纥球的概率为g

63

21

C.至少有1个红球的概率为；D.2个球中恰有1个红球的概率为7r

32

例6、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有A,B,C，。四个景点，一位游客来该市游览，

21

已知该游客游览A的概率为一，游览8,。和。的概率都是一，且该游客是否游览这四个景点相互独立.

32

用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（）

A.游客至多游览一个景点的概率L3

B.P（X=2）=W

4

UP”=4）4D.E（X）=£

二、达标训练

1、设离散型随机变量X的分布列为

X0i234

pq0.40.10.20.2

若离散型随机变量y满足y=2X+i，则下列结果正确的有o

A.4=0.1B.EX=2，DX=1.4

c.EX=2,DX=1.8D.EY=5,DY=1.2

2、下列命题中，正确的命题的是（）

2

A.已知随机变量服从二项分布8（%〃），若£（x）=30,。（工）二20,则〃二不

B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；

C.设随机变量专服从正态分布N（o,l）,若P（4>1）=〃，则P（-1<JV（））=：-P；

D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X-5（10,0.8）,则当x=8时概率最大.

3、下列说法正确的有（）

A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对侑越接近于0

B.E（2X+1）=2£（X）+1,仇2X+1）=4O（X）+1

C.设随机变量4服从正态分布N（0」），若P楂>l）=p,则=l-

D.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A="4个人去的景点各不相同”,

事件3="甲独自去一个景点"，则P（4|3）=g

专题53概率(多选题)

一、题型选讲

题型一、正态分布型

例1、(2020•山东青岛•高三开学考试)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策,

贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别

服从正态分布N(〃,3()2)和"(280,4()2),则下列选项正确的是()

附：若随机变量X服从正态分布则P(〃—b<X<〃+b)k0.6826.

A.若红玫瑰日销售量范围在(〃-30,280)的概率是0.6826,则红玫瑰日销售量的平均数约为250

B.红玫瑰日俏售量比白玫瑰FI俏售量更集中

c.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D.白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413

【答案】ABD

【解析】对于选项A：4+30=280,〃=250,正确；

对于选项BC：利用。越小越集中，30小『4(),B正确,C不正确;

对于选项D：P(28O<X<320)=P(/z<X<+<7)«0.6826x1«0.3413,正确.

故选:ABD.

例2、甲、乙两类水果的质量(单位：依)分别服从正态分布其正态分布的密度

曲线如图所示，则下列说法中正确的是()

A.甲类水果的平均质量⑼=0.4依

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近

【答案】ABC

【解析】

由图像可知,甲类水果的平均质量M=0.4依，乙类水果的平均质量〃2=0.8依，0V%，则ASC都正确：。不

正确.

故选：ABC.

题型二、线性回归方程及独立性检验

例3、（2020届山东省德州市高三上期末）针对时下的“抖音热〃，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”

4

作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的不，女生喜欢抖音的人

3

数占女生人数M，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（）人

附表：

P（R2困0.0500.010

k3.8416.635

附：K'______'Mi)]—

(a+.)(c+d)(a+c)|b+d)

A.25B.45C.60D.75

【答案】BC

【解析】

设男生的人数为根据题意列出2x2列联表如下表所示:

男生女生合计

喜欢抖音4/73〃7n

不喜欢抖音n2n3〃

合计5n5n10〃

2

10〃x(4〃x2〃一3〃x〃10/?

则K2=

5〃x5〃x7〃x3〃21

由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则3.841WK?<6.632，

即3.841V胆<6.632,得8.0661</?<13.9272，

21

・・・〃GM，则〃的可能取值有9、10、11、12,

因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60.

故选：BC.

例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名

男生和50名女牛.，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的，平价，得到如图所示的列联表.经计算K?的

观测值%士4.762,则可以推断出（）

满意不满意

男3020

女4010

P（K2>k）0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为|

B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意

C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

D.有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

【答案】AC

【解析】

303

对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为=；，故A正确；

30+205

4043

对「选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为^-----=一>:，故B错误；

40+1055

因为〃。4.762>3.841,所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C正确,D错误

故选：AC

题型三、常见概率

例5、（2020•山东潍坊•高三月考）（多选题）从甲袋中摸出一个红球的概率是耳，从乙袋中摸出一个红球的

概率是从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）

A,2个球都是红球的概率为，B.2个球不都是纥球的概率为g

6

2D.2个球中恰有1个红球的概率为g

C.至少有1个红球的概率为1

【答案】ACD

【解析】

设“从甲袋中摸出一个红球"为事件A,"从乙袋中模出一个红球”为事件A,

则P（A）=：,*&）=；,且A，4独立；

在A中，2个球都是红球为44,其概率为:乂!=，，A正确；

326

在B中，“2个球不都是红球”是"2个球都是红球〃的对立事件，其概率为B错误;

6

__712

在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1-P（H）P（月）=1一h7=7,C正确；

323

2个球中恰有1个红球的概率为:x[+]x!=!，D正确.

32322

故选：ACD.

例6、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有A,B,C,。四个景点，一位游客来该市游览,

已知该游客游览A的概率为2,游览3,。和。的概率都是且该游客是否游览这四个景点相互独立.

32

用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（）

A.游客至多游览•个景点的概率:3

B.P（X=2）=Q

4

D.E（X）4

【答案】ABD

【解析】

记该游客游览i个景点为事件4,z=oj,

则P⑷十1m卜加

,⑷“一卯-力生*外-;)

15__\_

所以游客至多游览一个景点的概率为尸(4))+。(A)24+24~4故A止确;

随机变量X的可能取值为01,2,3,4;

尸(X=O)=P(A)=L，

P(X=I)=P(40

2

P(X=2)=§xC；故B正确;

P(X=3)=|xC；

2<I\1

P(X=4)=—x—=—»故C错误;

3\2)12

1s97213

数学期望为：E(X)=0x——+lx——+2x——+3x——+4x——=一,故D正确,

24242424246

故选:ABD.

二、达标训练

1、设离散型随机变量X的分布列为

X01234

Pq0.40.10.20.2

若离散型随机变量y满足y=2x+i,则下列结果正确的有o

A.q=o.lB.EX=2,DX=\A

c.EX=2,DX=1.8D.EY=5,DY=7.2

【答案】ACD

【解析】

因为学+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以3=0.1,故A正确:

又EX=()x().l+lx().4+2x0.1+3x().2+4x0.2=2，

DX=(0-2)2x0.1+(1-2)2x0.4+(2-2)2x0.1+(3-2)2x0.2+(4-2)2x0.2=1.8,故C正确;因为

y=2X+l，所以EY=2耿+1=5,DK=4DX=7.2,故D正确.

故选：ACD.

2、下列命题中，正确的命题的是（）

2

A.已知随机变量服从二项分布5（〃,〃），若K（x）-30,。⑺-20,则〃=于

B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；

C.设随机变量J服从正态分布N（0,l）,若。（4>1）=〃，则P（—l<JV0）=g—P；

D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X〜8（10,0.8）,则当X=8时概率最大.

【答案】BCD

【解析】

对于选项A随机变量服从二项分布3（〃p）,E（X）=30,D（X）=20,可得印=30,〃〃（l-p）=20,

则,故选项A错误；

对于选项B：根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，

E依+b）=aE>b,。（喈+匕）=〃.（4/为常数），故选项8正确；

对于选项c：随机变量，艮从正态分布N（o,i）,则图象关于y轴对称，若=则

P（0<^<l）=--p,即尸（一1<自<0）=’-〃，故选项C正确；

对干选项D：因为在10次射击中,击中目标的次数为X，X-5（10,0,8）,当犬二女时，对应的概率

/、-左)

P(…)Yxk°gxx。21()f所以当。1时，木P(x舄=k}1=字3.00.8.841..002.2°…"4(11由

P(x=k)4(11-攵)44

~k~21得，44—422女，即1WA《彳，因为左cN"所以攵K8且左WN*，

P(x=k-1)0

即七二8时，概率P（x=8）最大，故选项D正确.

故选：BCD

3、下列说法正确的有（)

A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于0

B.E（2X+1）=2E（X）+1,Z）（2X+1）=4D（X）+1

C.设随机变量自服从正态分布N（O,1）,若=则P（-=

D.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A="4个人去的景点各不相同”，

2

事件8="甲独自去一个景点"，则P（A|B）二g

【答案】CD

【详解】

对于4中，根据相关系数的定义，可得两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1,

所以A错误；

对于8中，由E（2X+1）=2E（X）+1,D（2X+1）=4D（X）,所以8错误；

对干c中，设随机变量4服从正态分布N（O,1）,P（^>l）=P（^<-l）=p,

则P（-1<4<1）=1-2〃，所以c正确；

对于。中，甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=”4个人去的景点各不

相同"，事件8="甲独自去一个景点”，

P（AB）_〃（4叽A：_2

则P（A⑻所以。正确.

尸（6）一〃⑻-C\x33~9

4、4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X〜N（9,4）,则（）

（附：X〜N.,吟,P（//-<T<X<X/4-CT）=0.683,-2cr<X<//+2cr）=0.955,

P（"-3cr<X<〃+3b）=0.997.）

A.该校学生每周平均阅读时间为9小时；

B.该校学生每周阅读时间的标准差为4；

C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占03%；

D.若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210.

【答案】AD

【详解】

因为E（X）=9,O（X）=4.所以平均数是9,标准差为2,A正确，B不正确:

因为尸（7vX<11）=0.683,尸（5vX<13）=0.955,P（3<X<15）=0.997.

结合正态曲线的对称性可得，该校学生每周阅读时间不超过3