新教材高中数学第4章概率与统计41条件概率与事件的独立性413独立性与条件概率的关系课后素养落

课后素养落实(十二)独立性与条件概率的关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.下列事件中，A,B是相互独立事件的是()

A.一枚硬币掷两次，A="第一次为正面"，B="第二次为反面”

B.袋中有2白、2黑的小球，不放回地摸两球，A="第一次摸到白球"，8="第二次

摸到白球”

C.掷一枚骰子，A="出现点数为奇数"，B="出现点数为偶数”

D.A="人能活到20岁”,B=”人能活到50岁”

A[把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是

相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与8事件不相互独立；对于C,A,B应为

互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件8受事件4的影响.故选A.]

2.若OVP(A)<1,且P(B|A)=P(8).若P(T,P(B\At则P(A8)等于()

A.0.12B.0.8C

D[由P(8|A)=P(8)可知事件A,8相互独立，

・・・尸(8|了)=尸(8)=0.2,

又P(T)=0.6,•••P(4)=0.4,

所以尸(八B)=P(A)尸(BX0.2=0.08.故选D.]

3.从甲袋中摸出〜个红球的概率是/从乙袋中摸卜H一个红球的概率是:，从两袋各摸M

一个球，则|表示()

A.2个球不都是红球的概率

B.2个球都是红球的概率

C.至少有1个红球的概率

D.2个球中恰有1个红球的概率

C[分别记从甲、乙裳中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=：,由于A,B

J4

————212

相互独立，所以1一P(A)P(B)=1—5，X54=J5.根据互斥事件可知C正确.]

4.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢

两局才能得冠军.若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()

A.IB.耳C.；D.

A［问题等价为两类：第一类，第一局甲赢.，其概率丹=*第二类，需比赛2局，第

1I13

率

概--X-=--

一局甲负，第二局甲嬴,224

4-

5.荷花池中，有•只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从■

片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所

示.假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是()

2|13

A.1B.耳C.jD.W

C［设按照顺时针跳的概率为“，则逆时针方向跳的概率为2p,则〃+2〃=3〃=1,解得

I!?

P=C，即按照顺时针跳的概率为辛则逆时针方向跳的概率为F若青蛙在A叶上，则跳3次

JJJ

之后停在A叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针，①若先按逆时针开始从则对应

2228

-X-X-

333-②若先按顺时针开始从A—C,则对应的概率为

27

则概率为方+:=方=；,故选：C.1

二、填空题

6.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A

型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成4型螺栓的概率为.

3

g［“从200个螺杆匕，任取一个是A型”记为事件艮“从240个螺母中任取一个是4

型”记为事件C,则P(8)=图，P(C)=毒.

・・・p(8nc尸P(B).P(C)=|t嚣4］

7.甲、乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋

装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取1个

球，则取出的两个球都是红球的概率为.

1［由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事件相互独立，且

从甲袋中取出红球的概率为1=宗从乙袋中取出红球的概率为?所以所求事件的概率为转寺

=1|

8.台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全

球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一

时刻，甲、乙、，各卫星间相互独立，则在同时刻至少有两颗预报准确的是.

0.902[设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为T,~C,

则尸(4,P(B,P(C,P(~A,

P(~B,P(~C,

至少两颗预报准确的事件有A~BC,~ABC,ABC,这四个事件两两互斥且独立.

所以至少两颗预报准确的概率为

/)=p(Af18门77)十HAfi石nc)+/J(T十”(Afi8nc)

xxxxxxxx

=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.]

三、解答题

3

9.三个元件“，行正常工作的概率分别为今I-

4且是互相独立的.将它们中某

两个元件并联后再和第三八元件串联接入电路，在如图所示的电路中，求电路不发生故障的

概率.

[解]记”三个元件「，乃，A正常工作”分别为事件4,小，A3,则P(4)=/P(Ai)

33

--

44

不发生故障的事件为(A2UA3)CA|,

・•・不发生故障的概率为

P=P|(42UA3)AA1]

=[1-P(T2)P(T3)WI)

=0-4X4)X2=32-

10.在一个选拔节目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确【可

答者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率

分别为5忘135?1且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

[解I设事件A&=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第，轮问题”，则尸(4)=焉，P(A2)=

35

--

46

(1)设事件3表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，

则P(B)=P(A]A2A3)=P(A])P(A2)P(A3)

(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，

则P(C)=P(T|+4|3+A|A2K3)

=P(Al)+P(AlA2)+P(AlA2A3)

=1-6+6X(1-4)+|X4XC-9=i|

1.(多选题)设两个独立事件人和B都不发生的概率为&A发生B不发生的概率与8发

生A不发生的概率相同，则下列说法正确的是()

A.事件A与B发生的概率相同

B.P(A)=；

C.P(B)=l

-2

D.P(AB)=§

ACD[因为事件A,B相互独立，由P(彳3)=P(AZ)可得口一0(A)]P(3)=P(A)[1—P⑹],

即P(A)=P(8).

又P(AB)=P(A)P(B)=^

—112

.,.P(4)=§,即1—P(A)=g,/.P(A)=T.

22

-X---

：,P(AB)=P(A)P(B)=39

结合选项可知ACD正确，故选ACD.]

2.(多选题)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3

个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A，&和小表示由甲罐取出的球是红球、

白球和黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球.则下列结论中正

确的是()

A.P(B)=]

B.P(B1A尸今

C.事件8与事件4相互独立

D.4,A?,A3是两两互斥的事件

5121

BD[由题意知，4,42,4是两两互斥的事件，P(4)=正=],尸(4)=m=不P03)

3544

=而，P(B|A1)=7Y，P(B|4)=五,P(用4)=五,故B，D正确.

而P(B)=P(4B)+P(A2B)+P(A3B)=P(4)P(I)+P(A2)P(B\A2)+P(A3)P(B\AS)=；：＜得+

14349

彳XJT+示'二二行"尸①囿)，所以事件8与事件4不是相互独立的，故A，C不正确]

JI11V/11乙乙♦

12———

3.已知A,B是相互独立事件，且P(A)=不P®=F则P(A|8)=,P(4B)

31

|正[VA,4是相互独立事件，・•・A与B也是相互独立事件，

———I3

・•・P(*8)=P(A)=1—P(4)=1—4=，

P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[\-P(8)]=；X(1—|)==.]

4.本着健康、低碳的生活理念，租自行车蔚游的人越来越多，某自行车租车点的收费标

准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的

部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙

不超过两小时还车的概率分别为京两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是:，/

两人租车时间都不会超过四小时.则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.

得[由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为/1,设甲、

乙两人所付的租车费用相同为事件4,则P(A)=|x|+1x^+1x1=-^.

所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为卷.]

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一

盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6O5O5.假设各盘比赛结果相互独立.求：

(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；

(2)求红队至少两名队员获胜的概率.

[解]设甲胜A的事件为。，乙胜R的事件为凡丙胜C的事件为凡

则万，T,下分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.

因为P(O)=0.6,P㈤=0.5,P(F)=0.5,

由对立事件的概率公式知P(7)=0.4,P(~E)=0.5,P(~F)=0.5.

⑴红队有且只有一名队员获胜的事件