2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第07讲 向量数量积的坐标运算（2知识点+7大题型）（原卷版）

第07讲向量数量积的坐标运算内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：简单数量积坐标运算】【题型02：模的坐标运算】【题型03：夹角的坐标运算】【题型04：向量垂直的坐标运算】【题型05：投影向量的坐标运算】【题型06：平面几何与坐标运算】【题型07：利用坐标求平面几何的最值范围】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量,（1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即（2）向量垂直:知识点2：平面向量的模与夹角的坐标表示（1）向量的模:设,则（2）两点间的距离公式:若,则（3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则【题型01：简单数量积坐标运算】1．设，为平面直角坐标系内两点，若，则（

）A．16 B． C．4 D．2．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则（）A．0 B．3C．6 D．123．已知其中k为实数，若向量与的夹角为钝角，则k的取值范围（

）A． B． C．6 D．4．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．5．已知向量与，且，则6．已知向量，，若，且，则．【题型02：模的坐标运算】7．已知向量，，若，则（

）A． B． C．1 D．8．已知，.，且点在第四象限，则点的坐标为（

）A． B． C． D．9．已知向量.若，则（

）A． B．5 C． D．4510．已知，，若，则（

）A．3 B． C． D．11．在四边形中，，，，则四边形的面积为（）A． B．4 C． D．612．在平面直角坐标系中，已知，，，若，则.【题型03：夹角的坐标运算】13．已知向量，，则（

）A． B． C． D．14．已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（

）A．1 B． C． D．215．已知向量，若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．316．已知不共线的向量，，，且，则（

）A．1 B． C． D．617．已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则.18．已知向量，，向量在方向上的投影为2．(1)求实数的值；(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【题型04：向量垂直的坐标运算】19．已知向量，，若，则（

）A． B．5 C． D．820．已知平面向量，若，则=（

）A． B． C． D．21．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（）A． B．C． D．22．若向量，则.23．平面上有三点，，，向量，．(1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值【题型05：投影向量的坐标运算】24．已知向量，则在方向上的投影数量为（

）A．4 B． C．2 D．25．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（

）A． B． C． D．26．已知平面向量满足，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．27．在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（

）A．2 B．0 C．2 D．328．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则.29．光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标表示为（

）A． B． C． D．【题型06：平面几何与坐标运算】30．已知在等腰三角形中，，，是的中点，且，则（

）A． B． C．0 D．31．如图，为等边三角形的中线上任一点，，，则（）

A． B．C． D．32．已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．33．如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（

）A． B． C． D．34．已知在中，是内一点，且，则.35．已知，，，判断的形状，并给出证明．36．已知在中，，，若，判定的形状．【题型07：利用坐标求平面几何的最值范围】37．已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（

）.A．1 B．2 C．3 D．438．如图所示，已知正方形的中心为点，其边长为2.分别以为圆心，1为半径作圆.若动点分别在圆，圆，圆，圆上，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．439．在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（

）A．280 B． C．300 D．40．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（

）

A．9 B．10 C．11 D．1241．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（）A． B．2 C． D．42．如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为．43．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是.一、单选题1．已知向量，．若，则（

）A． B． C． D．2．已知向量满足，，，则（

）A．1 B．C． D．23．若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（

）A． B．1 C．2 D．44．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（

）

A．12 B． C．16 D．5．在平面直角坐标系中，已知点，，，若向量，在的投影向量相等，则的值是（

）A．0 B． C． D．36．已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知向量，，，，且，则（

）A．与的夹角为B．在上的投影向量为C．D．8．设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（

）A．B．C．在上的投影向量的坐标为D．三、填空题9．已知向量，若与的夹角的余弦值为，则.10．已知向量，若，则．（写出一个值即可）11．已知在平行四边形中，，边的长分别为1，2，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围