7.1.2两条直线垂直（导学案）（解析版）初中数学人教版（2024） 七年级下册

7.1.2两条直线相交（导学案）（解析版）(1)能准确理解垂线、垂足、垂线段的概念，掌握垂线的符号表示，能在图形中识别垂线关系。(2)会用三角板或量角器过直线上或直线外一点画已知直线的垂线，掌握“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，理解“垂线段最短”的性质及点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。(3)经历观察、操作、猜想、验证的探究过程，体会“从一般到特殊”的数学思想，发展几何直观和逻辑推理能力，能运用所学知识解决简单的实际问题，增强应用意识。难点:“点到直线的距离”概念的理解与应用；运用垂直性质进行简单的推理计算。重点：垂直概念的双重理解（定义与推理）、垂线的两个基本性质（唯一性与垂线段最短）。第一环节自主学习温故知新：问题：“两条直线相交时，所成的角有什么关系？若其中一个角是35°，其他三个角分别是多少度？”.复习巩固邻补角互补、对顶角相等的性质。如果其中一个角是90°，其他三个角是多少度？此时两条直线的位置关系有什么特殊性？【学法指导】新知自研：自研课本第4-6页的内容【学法指导】自研课本P4-6页内容，(一)垂直定义情境展示：展示生活中的垂线实例（墙角的两条边、旗杆与地面、十字路口的道路），提问“这些图形中两条直线的相交有什么共同特点？”。归纳定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。如直线AB与CD垂直，记作“AB⊥CD”，垂足为Ｏ，一般在垂足处标注字母和符号“┐”。问题1：垂直是两条直线的位置关系，如果a是b的垂线，那么b也是a的垂线吗？（b也是a的垂线）问题2：“当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直”，反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度?你能写出这个推理过程吗？（∠AOD＝90〫，因为AB⊥CD，所以∠AOD＝90〫）辨析概念：“两条线段或射线垂直，是指它们本身垂直吗？”（线段、射线垂直即它们所在直线垂直）（二）过一点画直线的垂线总结归纳：无论点在直线上还是直线外，都只能画出一条垂线基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。难点解析：拆解“有且只有”的含义——“有”表示存在性（能画出），“只有”表示唯一性（仅一条）。（三）垂线段最短动手测量：在直线外取一点P，画PO⊥于O，再在上取不同点A、B、C，连接PA、PB、PC，测量PO、PA、PB、PC的长度，比较大小。总结归纳：“垂线段最短”（过直线外一点作直线的垂线，这点与垂足之间的线段）。距离定义：点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。问题1：你发现指出点P到直线的距离是什么吗？（线段PO的长度）问题2：距离是数量还图形？（距离是数量，不是图形）问题3：点到直线的距离是怎样转化的？（点到直线的距离是转化为两点间的距离，即点和垂足间的距离）【自研自探】自研课本P4-6页内容典型例题例1.如图，AB⊥CD，垂足为O，∠AOC=90°，求∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD的度数。【详解】解:因为AB⊥CD，垂足为O，根据垂直定义，得∠AOC=∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°.例2.如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.【详解】解:如图所示：第二环节合作探究1.讨论垂直的定义？怎样表示？2.讨论垂直是两条直线的位置关系，如果a是b的垂线，那么b也是a的垂线吗？3.讨论“当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直”，反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度?怎样写出这个推理过程？4.讨论两条线段或射线垂直，指的是什么？”5.讨论同一平面内，过一点有几条直线与已知直线垂直？“有且只有”的含义是什么？6.讨论垂直线段有什么的性质？什么是点到直线的距离？距离是数量还图形？点到直线的距离是怎样转化的？拓展提升：1．如图，要从水渠引水到村庄A，在水渠的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．【详解】解：如图，线段即为所求．理由：垂线段最短．2．如图，分别过点P作的两边的垂线．【详解】解：如图所示，即为所求．课堂练习：1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系?为什么?2.如图，分别过点P画直线AB，CD的业线，并量出点P到直线AB的距离.3.如图，在三角形ABC中、∠C-90°.(1)分别指出点A到直线CB，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度1(2)三条边AB，AC，CB中哪条边最长?为什么?参考答案：1.这两条直线互相垂直.因为它们相交所成的四个角都等于90°.2.略.3.(1)点A到直线CB，点B到直线AC的距离分别是线段AC，BC的长度;(2)根据“垂线段最短”，可知线段AB最长.1．（2025蒙城检测）如图，于点，于点，其中长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有条．【详解】∵，，∴线段是点B到直线距离的线段；线段是点A到直线距离的线段；线段是点C到直线距离的线段；线段是点A到直线距离的线段；线段是点B到直线距离的线段；故答案为：5．2.（2025淮安检测）直线与直线相交于C，画图：过点P作，垂足为R，交于N．【详解】解：如图所示，即为所求．3．（2025包河校检测）如图，直线相交于点O，，垂足为O．若，求的度数．【详解】解：，，，，.知识总结：（1）当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。如直线AB与CD垂直，记作“AB⊥CD”，垂足为Ｏ，一般在垂足处标注字母和符号“┐”。同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（3）“垂线段最短”（过直线外一点作直线的垂线，这点与垂足之间的线段）。（4）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线