分数的除法意义与分数除法计算-五年级上册数学（北师大版）单元教学设计

分数的除法意义与分数除法计算——五年级上册数学（北师大版）单元教学设计一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课隶属于“数与代数”领域“数的运算”主题，是学生从整数除法迈入分数除法运算的关键转折点与逻辑起点。在知识技能图谱上，其核心是建构“分数与除法”的关系（a÷b=a/b，b≠0），这不仅是对分数“份数”定义的深化，亦是将除法运算结果从“整数商”扩展到“分数商”的形式化表达，为后续学习分数除法、比和百分数奠定了不可或缺的算理基石。从过程方法路径而言，课标强调通过具体情境和问题解决，发展学生的数感、运算能力和推理意识。本节课需设计从“分物”情境到数学抽象模型的探究历程，引导学生经历“具体操作—现象归纳—符号表达—解释应用”的完整数学化过程，以此训练学生的模型思想与归纳推理能力。在素养价值渗透层面，本课承载着深刻的理性精神与联系观点。透过“分饼”、“分绳子”等生活情境，学生将领悟到数学源于生活又统摄生活的力量；通过探索除法与分数这两种看似独立运算的内在统一性，学生得以初步体验数学的简洁与和谐之美，发展辩证看待数学概念联系的思维品质。

基于“以学定教”原则，需进行立体化学情研判。学生的已有基础与潜在障碍在于：他们已经理解了分数的意义（特别是“部分整体”关系），掌握了整数除法的含义（等分除、包含除），并具备用分数表示商是整数的除法结果的初步经验。然而，认知难点在于：第一，如何超越“分得整数块”的直观，接受“分得不足一块”时用分数表示结果的合理性；第二，如何从具体分物的不同情境（如分1个物体、分多个同类物体）中，抽象出普遍适用的关系模型a÷b=a/b；第三，对关系式中b≠0条件的深层理解。针对性的过程评估与教学调适策略是：在新授环节嵌入“前测性”提问与操作任务，如“3张饼，平均分给4人，怎么分？每人分到多少？”通过观察学生的分法（是先分每张饼的1/4再合并，还是将3张饼叠起来再分）和表达方式，即时诊断其思维层次。对于倾向于单一方法的学生，引导其思考“还有不同的分法吗？结果一样吗？”，促进思维灵活性；对于抽象概括有困难的学生，提供更多组具体算例的“脚手架”，引导其对比发现规律。整个教学将采用“低门槛、多层次、高挑战”的任务设计，确保每位学生都能在最近发展区内获得成功体验与思维攀升。二、教学目标

知识目标：学生能理解并掌握分数与除法的关系，即两个数相除（除数不为零），可以用分数表示商，具体表示为a÷b=a/b(b≠0)。他们不仅能从具体分物情境中解释该等式的意义，还能运用这一关系解决将除法运算结果表示为分数，以及将分数理解为两数相除的实际问题。

能力目标：学生能够通过操作学具、画示意图等直观手段，分析和解决“一个数除以另一个数（商为分数）”的实际问题。在从多个具体实例中归纳概括一般规律的过程中，发展其观察、比较、归纳和抽象概括的数学能力，并能够用准确的数学语言表达自己的发现与推理过程。

情感态度与价值观目标：在小组合作探究与交流分享中，学生能认真倾听同伴的解题策略，尊重不同的思考方法，并愿意分享自己的见解。通过发现除法与分数之间的内在联系，感受数学知识间的统一性与逻辑美，增强探索数学奥秘的兴趣和信心。

科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型思想与符号意识。引导其经历从现实生活情境中抽象出数学问题，并用除法算式表示，进而将运算结果用分数这一数学符号进行表征和一般化的全过程，初步体会数学建模的思想。同时，通过理解关系式a÷b=a/b的普适性，强化符号的表征与沟通功能。

评价与元认知目标：设计学习任务单中的“我的发现”栏目，引导学生在探究活动后自主梳理并书面总结规律。通过对比教科书结论与自我总结，学会评价自己概括的准确性与完整性。在课堂小结环节，鼓励学生反思探索过程中遇到的困难及克服方法，如“我是通过多举几个例子才确信这个规律的”。三、教学重点与难点

教学重点：理解并掌握分数与除法的关系，即a÷b=a/b(b≠0)。确立此为重点，源于其在知识体系中的枢纽地位：它是将整数除法运算自然扩展到分数领域的桥梁，完整了“除法运算结果”的概念，同时深刻揭示了分数作为“数”而非仅仅“部分整体关系”的另一种含义——两数相除之商。从课标要求看，这属于必须掌握的“大概念”；从学业评价看，该关系是解决分数与除法互化、理解分数除法算理乃至后续学习比和比值的基础，是体现数学理解与应用能力的高频考点。

教学难点：学生理解分数与除法关系的普遍性，以及灵活运用该关系解决实际问题。难点成因在于：第一，认知跨度大，学生需要从“等分整数个物体得到分数结果”的具体案例，跨越到接受“任何两个数相除（除数不为零）都可以写成分数形式”这一抽象结论。第二，容易产生思维定势，部分学生可能认为只有当除法不能得到整数商时才用分数表示，需突破这一局限认知。第三，在逆向应用，即根据分数意义写出除法算式时，容易混淆被除数与除数。突破方向在于提供丰富、有层次的实例（包括“被除数小于除数”、“被除数大于除数”、“被除数是整数或分数”等多种情况），引导充分感知、比较、归纳，并通过变式练习强化理解。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含分饼、分绳子等动态演示情境）；实物投影仪。1.2学习材料：设计并印制分层《探究学习任务单》；准备圆形纸片（当作“饼”）若干套、彩带纸条（当作“绳子”）若干。2.学生准备2.1预习任务：复习分数的意义和整数除法的含义；思考：1除以2的结果除了是0.5，还能怎么表示？2.2学具：每人准备剪刀、彩笔。3.环境布置3.1座位安排：4人异质小组围坐，便于合作探究与交流。3.2板书记划：左侧预留核心关系式与推导过程区，右侧作为学生展示与练习反馈区。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与冲突激发：同学们，我们今天从一场“公平的分享”开始。看，老师这里有1块香甜的饼，（出示圆形图片）要公平地分给4位同学。请问，每人能分到多少块饼呢？对，大家都说“四分之一块”。那如果用我们学过的除法算式来表示这个分饼的过程，该怎么列式呢？1块饼分给4人，就是1÷4。好的，1÷4的商是多少？有的同学可能想说“0.25”，这是我们以后会学的小数表示。那在今天之前，我们学过的数里，有没有能表示这个结果的呢？——“分数”！1除以4，结果就是1/4。看，除法和分数在这里碰面了。

2.核心问题提出：这只是一个巧合吗？还是说，除法和分数之间，藏着某种普遍的联系？比如，3张饼平均分给4个人，每人分到多少？7米长的绳子平均截成4段，每段多长？这些问题的除法算式和分数结果之间，又有怎样的关系呢？

3.路径明晰：这节课，我们就化身“数学发现家”，通过动手分一分、画一画、算一算，来寻找除法与分数之间的秘密联系，并总结出一个能打通这两个知识领域的“万能公式”。第二、新授环节

核心理念：本环节采用“支架式教学”，设计层层递进的探究任务，引导学生从具体操作走向抽象概括。任务一：探究“1”除以“多”的情况（1÷b）教师活动：首先，我们从最简单的开始巩固。回到“1块饼平均分给4人”的情境。除了说每人分到1/4块，你能用手中的圆形纸片，折一折、涂一涂，把分的过程和结果展示出来吗？请同学们动手操作。巡视指导，收集不同的分法（如对折再对折）。然后提问：1÷4的结果为什么是1/4？谁能结合操作说一说？（引导说出：把1个整体平均分成4份，每份就是这个整体的1/4，所以1÷4=1/4）。接着，变换除数：“如果把这1块饼平均分给5位同学呢？算式和结果是？”（1÷5=1/5）“分给8个人呢？”（1÷8=1/8）。好，请大家在任务单上完成一组填空：1÷3=（）；1÷7=（）。做完后，和同桌说说你的发现。学生活动：动手操作圆形纸片，通过折叠和涂色表示1/4。根据教师提问，结合操作解释算理。完成教师提出的口答与任务单上的填空练习，并与同伴交流观察到的规律：1除以一个数，商就是几分之一。即时评价标准：1.操作是否规范（平均分）？2.能否将操作过程与除法算式、分数结果正确关联并口头表述？3.在填空练习中，是否能准确、快速写出结果，并与同伴清晰交流发现的规律？形成知识、思维、方法清单：★核心发现1：当被除数是1时，除以一个整数b（b≠0），商就是分数1/b。这可以理解为，将1个整体平均分成b份，求1份是多少。▲思维进阶提示：这是分数与除法关系的特例，也是最直观的起点。引导学生用规范的语言“把单位‘1’平均分成b份，每份是1/b”来描述，为后续推广做铺垫。★方法回顾：结合实物操作或画图，是理解分数意义和除法等分含义的直观工具。任务二：探究“多”除以“多”的情况（a÷b，商是真分数）教师活动：现在问题升级了！（出示情境）如果是“3块饼，平均分给4个小朋友，每人分到多少块？”请大家先别急着算，以小组为单位，利用手中的3张圆形纸片，商量一下可以怎么分，并动手分一分，想办法表示出每人分到的结果。巡视小组，重点关注不同的分法：有的组可能把每张饼都平均分成4份，每人从每张饼中取1份，共取3个1/4张，也就是3/4张；有的组可能把3张饼叠在一起，平均分成4份，每人得到1大份，这一大份实际上也是3张饼的1/4，即3/4张。邀请不同分法的小组上台展示。“大家看，虽然分的过程不一样，但最终每人分到的结果都一样吗？”——对，都是3/4张。那么，这个分饼的过程用除法算式表示是？3÷4。结果呢？3/4。所以，我们可以写下：3÷4=3/4（块）。请大家把这个发现记录下来。学生活动：小组合作，利用学具探究“3÷4”的分法。可能产生多种策略，并通过剪拼、涂色等方式表示结果。聆听其他小组的分享，理解不同分法背后的相同数学本质。记录等式3÷4=3/4。即时评价标准：1.小组是否能合作设计出至少一种合理的分法？2.能否清晰地向全班演示或解释自己的分法及理由？3.是否认同不同分法得到相同结果，并理解算式与结果的对应关系？形成知识、思维、方法清单：★核心发现2：当被除数a大于1但仍小于除数b（即商为真分数）时，a÷b的商也可以用分数a/b表示。这突破了被除数是1的限制。▲关键辨析点：分数3/4在此处的双重含义：既可以表示3个1/4，也可以表示3张饼作为整体的1/4。引导学生理解这是相通的。★思维方法：解决问题策略的多样性。通过不同分法的对比，理解数学结果的唯一性与方法的灵活性，感受“条条大路通罗马”。任务三：从特殊到一般，提出猜想教师活动：同学们，我们经历了1÷4=1/4，3÷4=3/4。根据这两个例子，结合之前1÷3=1/3等，大胆猜一猜，分数与除法之间可能存在一个怎样的普遍关系？鼓励学生用字母或自己的话来表达猜想。学生可能会说“被除数当分子，除数当分母”、“a÷b=a/b”。教师予以肯定：“这真是一个了不起的猜想！但，它是否总是成立呢？我们需要更多的证据来验证。”学生活动：观察黑板或任务单上的算式组，进行独立思考与同桌交流，尝试归纳并提出一般性猜想。可能用文字或符号表达初步发现。即时评价标准：1.提出的猜想是否基于前面的具体实例？2.猜想表述的清晰度与准确性如何？形成知识、思维、方法清单：★核心思维步骤：归纳推理。从有限的特例中发现共同模式，提出一般性猜想，这是数学发现的重要过程。★初步模型：分数与除法的关系猜想：a÷b=a/b(b≠0)。（此时作为猜想呈现，非最终结论）★科学态度渗透：提出猜想后需要验证，培养学生严谨的数学态度。任务四：验证与拓展猜想（丰富例证）教师活动：现在，让我们当一回“猜想验证官”。请各小组从以下两个验证任务中任选一个（或挑战两个）进行探究，把你们的验证过程和方法记录在任务单上。任务A（巩固型）：2张饼平均分给3个人，每人分到多少？用除法算式和分数表示。任务B（拓展型）：把3米长的彩带平均分成5段，每段长多少米？先用除法算式表示，再猜想分数结果，并画图或推理说明理由。巡视指导，对选择任务B的小组，引导他们将“3米”看作一个整体，平均分5份，每份是整体的1/5，也就是3米的1/5，即3/5米。请小组代表汇报验证结果。根据汇报板书：2÷3=2/3；3÷5=3/5。“看，这些例子都支持我们的猜想！还有同学能举出不一样的例子吗？”可以进一步引导：如果是7÷8呢？10÷11呢？结果分别是？看来，当被除数小于除数时，我们的猜想都得到了验证。学生活动：小组选择验证任务，通过操作学具（圆形纸片、彩带纸条）或画线段图进行探究，完成算式和结果的填写，并准备汇报。倾听其他小组汇报，积累更多支持猜想的例证。即时评价标准：1.验证过程是否逻辑清晰、有理有据？2.能否运用画图或推理来解释结果，而不仅仅是记忆猜想？3.小组汇报时，表达是否条理清晰？形成知识、思维、方法清单：★核心发现3：通过多个实例的验证，进一步支持了a÷b=a/b(b≠0)的猜想。验证范围从“分饼”扩展到“度量”（分长度），体现了模型的应用广度。★重要方法：画线段图是解决度量情境下等分问题的有效策略。将连续的“量”平均分，与离散的“物”平均分，本质相同。▲易错点预判：在“3÷5=3/5”中，单位是“米”，强调分数结果必须带单位，与除法的“包含除”意义一致。任务五：关系式正式概括与理解深化教师活动：经过了这么多例子的验证，我们现在可以正式宣布这个伟大的发现了！请大家齐读：两个数相除，如果除数不为0，那么它们的商可以用分数表示。具体来说，被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母。用字母表示就是：a÷b=a/b(b≠0)。（板书核心关系式，并用色框突出）。现在，老师有一个灵魂拷问：这里的a和b，可以是哪些数？只能是整数吗？比如，如果a就是分数呢？引导思考：根据这个关系，分数本身就可以理解为除法。那么3/5等于？对，3÷5。5/8等于？5÷8。所以，分数和除法是完全可以互相转化的。这就是它们之间最本质的联系！另外，为什么b不能为0？谁能用除法的意义解释一下？（因为除数不能为0）学生活动：齐读关系式，理解其完整表述。思考并回答教师的深化提问，理解a和b可以是整数，将来也可以是其他数；理解分数本身就是一种除法运算的表示；结合除法意义解释b≠0的原因。即时评价标准：1.能否准确复述或解释关系式？2.能否理解关系式的双向性（除法可写成分数，分数可看成除法）？3.是否理解b≠0的数学规定及其道理？形成知识、思维、方法清单：★核心结论：分数与除法的关系式：a÷b=a/b(b≠0)。这是本课最核心的数学建模成果。★深度理解1（双向性）：关系式揭示了分数与除法的等价互化。除法算式可以写成分数形式；反之，任何一个分数都可以看作是两个数相除的结果。这丰富了分数的含义——它既表示“关系”（部分与整体的关系），也表示“运算”（除法运算的结果）。★深度理解2（除数不为0）：关系式中b≠0的条件与除法中除数不能为0的规定一脉相承，体现了数学规定的一致性。★符号意识：用字母公式概括无数具体情形，展现了数学符号的威力和简洁美。第三、当堂巩固训练

设计核心：构建分层、变式的训练体系，并提供即时反馈。

基础层（全员通关）：

1.快速口答：7÷8=？5÷9=？1÷12=？（直接应用关系式）

2.用分数表示下列各式的商：3÷11=9÷10=15÷17=。

【教师活动】：快速出示题目，学生口答或书写。通过实物投影展示学生答案，进行即时核对。“这些题目都是在直接考验大家有没有记住我们发现的‘通关密码’。”

综合层（情境应用）：

3.解决问题：把2千克糖果平均装在3个袋子里，每袋重多少千克？（请列式计算并用分数表示结果）

4.把一根4米长的钢管平均截成7段，每段长多少米？

【教师活动】：学生独立完成，请两位同学板演。重点讲评：算式是否正确（2÷3，4÷7），结果是否带单位，以及结果是否用最简分数表示（若已学约分）。“注意啦，分糖果、截钢管，和分饼是同一个数学故事，只是‘演员’换了。我们的关系式依然适用！”

挑战层（思维拓展）：

5.想一想，填一填：在括号里填上适当的分数。9cm=()dm（提示：1dm=10cm，这是将低级单位换算成高级单位，本质上是求9cm是10cm的几分之几，即9÷10）

6.（选做）根据分数与除法的关系，5/3=()÷()。你还能举出一个商大于1的例子吗？这说明a÷b=a/b这个关系式中，a可以（）b。（大于/小于）

&�;nbsp;【教师活动】：鼓励学有余力的学生尝试。对第5题，引导学生联系单位换算的实质。对第6题，通过提问“5/3等于几除以几？”引导学生发现当分子大于分母时，被除数大于除数，商大于1，从而完善对关系式适用范围（a可以大于b）的认识。“瞧，这个公式不仅管‘分不完’的情况，‘分得完’甚至‘分得超过1倍’的情况，它也能管！”

反馈机制：基础层采用集体反馈；综合层通过板演与教师讲评结合，剖析典型；挑战层进行个别或小组点拨，并将优秀思路展示给全班。第四、课堂小结

设计核心：引导学生进行结构化总结与元认知反思。

知识整合：同学们，经过一节课的探索，我们收获了数学中一个非常重要的联系。现在，请大家闭上眼睛回顾一下，我们是怎样一步步发现这个秘密的？先是从分1块饼开始，然后到分多块饼、分绳子，从具体例子中提出猜想，再验证，最后得出通用的字母公式。（教师配合手势或板书线索图）。哪位同学愿意用自己的话，把这个联系和发现过程说一说？

方法提炼：在这个过程中，我们用到了哪些好方法？（动手操作、画图、举例、从特殊到一般归纳、用字母概括）这些方法在我们以后学习其他数学知识时也同样管用。

作业布置：

必做（基础+综合）：1.完成教材对应练习题。2.在作业本上写出3个不同的除法算式，并用分数表示它们的商；再写出3个不同的分数，把它们改写成除法算式。

选做（探究）：研究一下，分数与除法之间的关系，和我们之前学过的“分数与倍数的关系”有什么联系和区别？可以画一张图或写一段话来说明你的想法。

“带着今天的发现离开教室，你会发现分数和除法这对好朋友，将在数学世界里帮你解决更多的问题。”六、作业设计基础性作业（必做，巩固核心）

1.直接应用：将下列除法算式写成分数形式：6÷7、11÷13、9÷10、1÷6。

2.逆向转换：将下列分数改写成除法算式：3/8、7/9、5/12、15/4。

3.情境解决：把一块8平方米的长方形布平均分成5份做桌布，每块桌布的面积是多少平方米？（列式计算）拓展性作业（建议多数学生完成，侧重应用）

4.生活应用：一盒巧克力有15颗，平均分给4个小朋友，每人分到多少盒？（提示：这里的单位是“盒”）

5.辨析理解：小华说：“因为7÷8=7/8，所以分数就是除法。”小明的说法对吗？为什么？请用一句话说明分数与除法的关系。探究性/创造性作业（选做，挑战思维）

6.数学探究：已知a÷b=a/b(b≠0)。如果a和b都是整数，请你探究：

(1)当a是b的倍数时，a/b的结果是什么数？这与我们以前学的除法知识一致吗？

(2)画一个维恩图或思维导图，表示出“整数”、“分数”、“除法算式的结果”这三者之间的关系。七、本节知识清单及拓展

★1.核心关系式：两个数相除（除数不为0），可以用分数表示它们的商。即：a÷b=a/b(b≠0)。这是连接除法运算与分数概念的核心桥梁。

★2.关系式的双向理解：

正向：任何除法算式（除数不为0）都可以写成分数形式，分子是被除数，分母是除数。

逆向：任何一个分数都可以看作是两个数相除的结果，分子相当于被除数，分母相当于除数。这赋予了分数“除法运算结果”的新含义。

★3.关系式的由来（探究路径）：我们通过从特殊（如1÷4）到一般（如3÷4、2÷3）的多个具体分物或度量情境，经过操作、猜想、验证，最终归纳出这一普遍规律。这个过程体现了数学的归纳推理思想。

★4.b≠0的条件：关系式中强调除数b不能为0，这与除法运算的规则完全一致。因为“平均分成0份”在现实中是没有意义的。

▲5.a与b的范围：目前我们主要在整数范围内理解a和b。但关系式本身具有一般性，未来会知道a和b也可以是小数、分数等。重要的是理解其模型意义。

★6.与分数基本意义的联系：分数a/b既可以表示“把单位1平均分成b份，取其中的a份”，也可以表示“a除以b的商”。前者侧重“关系”，后者侧重“运算结果”，两者是统一的。

★7.应用类型一（除法化分数）：直接应用关系式，将除法算式写成分数形式。例如：7÷13=7/13。注意，结果是一个分数，它既是一个数，也代表一个运算关系。

★8.应用类型二（分数化除法）：根据分数写出相应的除法算式。例如：5/9=5÷9。这有助于我们借助除法的意义来理解某些分数情境。

★9.应用类型三（解决实际问题）：在等分除的问题中，当无法得到整数商时，用分数表示结果。解题关键是正确列出除法算式a÷b，然后直接写出结果a/b，并带上单位。例如：3kg÷5=3/5kg。

▲10.单位换算中的隐含应用：低级单位换算成高级单位时，本质上就是求一个数是另一个数的几分之几（即两数相除）。例如：23分=()时，因为1时=60分，就是求23÷60，所以等于23/60时。

★11.易错点提醒：在解决实际问题写结果时，切勿忘记单位。分数结果是一个具体的量，必须带单位。

▲12.思维拓展点：当a大于b时，a/b是假分数，其商大于1。这说明关系式同样适用于商大于1的情况，完善了我们对除法运算结果的认识范围。例如：5÷3=5/3。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析

从假设的课堂实况看，知识目标的达成应较为扎实。通过五个环环相扣的任务，学生经历了从具体到抽象的全过程，绝大多数应能准确复述a÷b=a/b的关系式，并在基础练习中正确进行互化。能力目标方面，学生在任务二（分3张饼）中展现了多样的策略，其操作、探究与表达能力得到了锻炼；但在从多个例子中自主归纳一般规律（任务三）时，部分学生可能需要更多引导或更结构化的问题链（如“观察这些等式的左边和右边，分子、分母分别对应什么？”）来搭建归纳的“脚手架”。情感与思维目标在小组合作与发现统一规律的过程中得到了较好的渗透，学生能感受到数学联系的魅力。

（二）核心环节有效性评估

1.导入环节：以“1块饼分4人”切入，迅速链接旧知（除法、分数），并直接呈现认知成果“1÷4=1/4”，开门见山地引出核心问题“这是巧合吗？”，激发了学生的探究欲。效率高，指向性强。

2.新授环节的任务链：“任务一（1÷b）”作为温故知新的起点，降低了起点。“任务二（3÷4）”是承上启下的关键，不同分法的展示与比较是亮点，有效突破了从“分1个”到“分多个”的思维进阶。“任务三（提出猜想）”是思维飞跃点，需预留足够思考与表达时间。“任务四（验证猜想）”通过分层任务照顾了差异性，并拓展了情境（长度），巩固了模型。“任务五（概括深化）”中对关系式双向性及b≠0的探讨，将学习引向深入。整体逻辑清晰，但任务间的过渡语言需要精心设计，使之更自然连贯。

3.巩固与小结环节：分层练习设计覆盖了不同层次学生，挑战题第5题（单位换算）和第6题（假分数情形）的设计，有效地拓展了关系式的应用场景，避免了学生形成“只有商小于1时才成立”的片面认识。小结引导学生回顾探究过程，有助于形成方法论层面的收获。

（三）学生表现深度剖析

假设课堂中，前测发现，大部分学生能顺利解决“1÷4”并用分数表示，但对“3÷4”则出现分化：一部分能迁移，一部分感到困惑。这正是教学需要发力的地方。过程中，动手操作环节（分圆片）极大地调动了学生的参与度，视觉和触觉的参与帮助抽象思维较弱的学生理解了算理。在小组讨论时，可观察到思维