大单元整合复习：全等三角形与相似三角形的关联与应用（初三数学）

大单元整合复习：全等三角形与相似三角形的关联与应用（初三数学）一、教学内容分析从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本单元复习课立足于“图形与几何”领域，其核心在于引导学生从图形关系的角度认识现实世界。知识技能图谱上，全等三角形（性质与判定，尤其是SAS、ASA、SSS、AAS、HL）是研究图形“保形变换”的起点，而相似三角形（性质与判定，AA、SAS、SSS）则是对“保形变换”的深化与一般化，两者共同构成了几何证明与度量的两大基石。本课要求学生不仅能在复杂图形中识别、构造这两种基本关系，更要能辨析其联系（全等是相似比为1的特殊情形）与区别（判定条件的严格与宽泛），实现从孤立记忆到网络化理解的跃迁。过程方法路径上，课标强调的“几何直观”、“推理能力”与“模型思想”将贯穿始终。教学中将通过“基本图形”的提炼与分离（如“A字型”、“8字型”、“旋转型”）、几何画板的动态演示、以及从合情推理到演绎证明的逻辑链条，将抽象的思维过程可视化、操作化。素养价值渗透方面，全等与相似作为最基本的几何变换关系，蕴含着数学的简洁、对称与统一之美。通过解决实际测量问题、图形设计问题，引导学生感悟数学建模的力量，培养用严谨、理性的思维去分析和解决问题的科学精神。面向初三复习阶段的学生，已有基础与障碍呈现分化态势。大多数学生已掌握两类三角形的基础知识与简单应用，但普遍存在以下问题：一是判定定理混淆，在复杂图形叠加时选择困难；二是习惯于正向、标准图形的应用，对逆向构造、非标准图形（如公共边角、旋转重叠）的识别能力薄弱；三是综合应用时逻辑链条断裂，难以将全等或相似作为中间桥梁服务于最终结论。此外，部分优秀学生可能满足于解题套路，缺乏对知识本质关联的深度思考。因此，教学调适策略必须分层推进。课堂中将通过过程评估设计，如关键设问、典型图例的快速反应、小组讨论中的观点捕捉，实时诊断学情。对于基础薄弱者，提供“判定定理选择决策树”和“基本图形识别卡”作为脚手架；对于学优生，则设计开放性的“一题多解”与“变式推广”任务，引导其探究定理间的逻辑关系及变换本质，实现从“解题”到“研究”的转变。二、教学目标1.知识目标：学生能够系统梳理并精确表述全等三角形与相似三角形的性质与判定定理，清晰阐明两者的内在联系与核心区别。学生能准确识别复杂图形中蕴含或可构造的全等、相似基本模型，并能在几何证明与计算中，根据目标需求灵活、准确地选择和串联相关定理，构建完整的逻辑链条。2.能力目标：学生能够运用几何直观，从复杂图形中有效分离和构造出关键的基本图形（如旋转全等、共边共角相似）。在面对实际情境或陌生几何问题时，能通过分析、综合等推理方法，自主设计将问题转化为证明全等或相似的路径，并完成严谨的演绎证明或定量计算。3.情感态度与价值观目标：在小组协作探究中，学生能主动分享自己的构图思路与证明想法，认真倾听并理性评价同伴的解法，体验合作攻坚的乐趣。通过欣赏几何图形在解决实际测量、建筑设计等问题中的应用，感悟数学的实用价值与内在和谐之美，增强学习数学的信心与兴趣。4.科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想与演绎推理能力。引导学生经历“从具体图形中抽象出结构模型—利用模型性质进行推理—将结论回归解释原问题”的完整思维过程。通过对比全等与相似的判定条件，强化对数学命题“充分必要性”的理性认识，培养思维的严密性与批判性。5.评价与元认知目标：引导学生建立证明过程的自我监控意识。能够依据“条件标注清晰、定理引用准确、逻辑步骤完整”等量规，对本人或同伴的证明过程进行评价与优化。在课堂小结时，能反思自己在本课中突破的思维难点，归纳识别与构造基本图形的策略，并规划后续的个性化练习重点。三、教学重点与难点教学重点为在综合性问题中，根据求证目标（如线段等量、比例式、角度相等）灵活选用并综合运用全等三角形与相似三角形的知识与方法。其确立依据在于，课程标准将“探索并掌握……”的落脚点置于“解决简单的几何问题”与“发展推理能力”上。从中考命题趋势分析，全等与相似极少单独、直接考查，而是作为核心工具嵌入到四边形、圆、动态几何等综合题中，成为破解复杂图形的关键“钥匙”。能否在非标准图形中迅速识别或构造出这两种关系，直接决定了学生解决中高端几何问题的能力上限。教学难点主要在于两类：一是逆向思维与图形构造，即根据已知的边角关系或欲证的结论，主动添加辅助线构造出合适的全等或相似三角形。例如，“遇中点，想倍长中线构造全等”或“遇平行或特定角，想构造相似基本图形”。二是复杂多环节推理，即需要连续多次使用全等与相似，或两者交替使用，逻辑链条长、思维转折点多。难点成因在于学生空间想象能力与逻辑规划能力的不足，以及面对复杂信息时的策略性欠缺。预设通过搭建“问题拆解”思维支架和“执果索因”分析法向导来突破。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（内含动态几何软件制作的图形变换动画、典型例题的分步解析图）；几何画板软件；不同颜色的磁贴图形卡片（用于黑板拼贴展示基本图形分离过程）。1.2学习材料：分层学习任务单（含探究任务、分层巩固题组）；“基本图形”识别与性质速查卡（分全等、相似两类）；课堂小结思维导图模板。2.学生准备2.1知识回顾：课前自主复习全等三角形与相似三角形的所有判定定理及性质，并各准备一个自己最容易出错的例题。2.2学具：直尺、圆规、量角器、不同颜色的笔。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题提出：同学们，假设我们现在需要测量学校旗杆的高度，但手里只有一根米尺，怎么办呢？有经验的同学可能会想到利用影长和相似三角形。但古人更聪明，他们用一面镜子就能解决。大家看这个示意图：地面放一面镜子，人后退直到能从镜子里看到旗杆顶端，这时测量人眼离镜子的距离、镜子离旗杆底部的距离以及人的身高，就能算出旗杆高。这个古人的方法，背后藏着什么数学原理呢？没错，是光的反射定律带来的角相等，进而构造出了相似三角形。今天，我们就来一场大探险，把解决几何问题的两把“倚天剑”和“屠龙刀”——全等三角形与相似三角形，拿出来好好打磨、组合使用，看看它们联手能爆发出多大的威力。1.1建立联系与路径明晰：先别急着回答，我知道大家定理都背得很熟。但我们复习的目标，不是回忆，而是“打通”。这节课，我们将沿着一条主线前进：“识别关系>选择工具>构建桥梁>解决问题”。我们会从最简单的图形开始，逐步增加复杂度，看看在什么情况下该用全等这把“精确的尺子”，什么情况下该用相似这把“放缩的模型”，什么时候又需要它们联手合作。准备好了吗？让我们从第一个挑战任务开始。第二、新授环节任务一：双剑合璧——从单一识别到综合辨析教师活动：首先，我在白板上呈现一组对比鲜明的复合图形。图1：一个平行四边形中隐含的对角线分出的两对全等三角形。图2：一个含有平行线的“A字型”相似基本图形。我会指着图1问：“图中有没有老朋友？哪些三角形肯定全等？你的证据是什么？来，请这位同学上台用不同颜色的笔描出来，并大声说出判定依据。”待学生完成后，转向图2：“这个图形里，全等还有戏吗？为什么？那我们可以建立什么新的关系？比值是多少？”接着，我会动态操作几何画板，将图2中的平行线擦除，但保持两个角相等，图形变为一般的“反A字型”。“看，平行这个‘超级条件’没了，但这两个角依然相等，刚才的结论还成立吗？为什么判定定理升级了？”通过这一系列追问，引导学生比较判定条件的强弱。学生活动：学生观察图形，快速识别并指出其中的全等三角形与相似三角形。上台标注并陈述理由，如“在平行四边形ABCD中，△ABD≌△CDB，依据是SSS，因为AB=CD，AD=CB，BD=DB是公共边”。面对变式图形，学生思考并回答：“虽然不平行了，但∠A公共，∠ADE=∠ABC，所以△ADE∽△ABC，用的是两角对应相等（AA）。”他们会经历从直观识别到依据条件严格判定的思维过程。即时评价标准：1.图形识别是否准确、完整，有无遗漏可能的多组关系。2.定理引用是否精准，能否清晰说出“因为…（条件），所以…（结论），依据是…（定理）”。3.面对图形变式时，能否抓住不变的核心要素（对应角相等），灵活调整判定策略。形成知识、思维、方法清单：★全等是相似的特例：当相似比k=1时，相似即为全等。这意味着全等的条件更为苛刻（边角需同时严格相等），而相似的条件更灵活（只需角等，或角等加对应边成比例）。这解释了为何相似的应用范围更广。★判定条件的选择策略：有“边等”优先考虑全等；追求“比例”或仅有“角等”时转向相似。平行线是产生相似比的“天然发生器”。▲基本图形的“分离眼”：面对复杂图形，要像戴上一副“透视眼镜”，能将其分解为熟悉的“平行线+相交线”（A/X型）、“共角型”、“旋转型”等基本构件。这是化繁为简的关键一步。任务二：架桥引路——构造辅助线的逻辑起点教师活动：呈现经典问题：“在△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，延长BE交AC于F。猜想并证明线段EF与BF的数量关系。”“同学们，直接看，有没有现成的全等或相似？好像没有。那我们‘缺什么，就想补什么’。要研究EF和BF，它们在哪两个三角形里？这两个三角形可能全等或相似吗？”我引导学生将目光聚焦于△BEF，发现它“势单力薄”。这时，我会提示：“D是中点，这个条件你通常怎么用？”鼓励学生回忆“倍长中线”法。请一个学生上台讲解他的辅助线做法（延长AD至G使DG=AD，连接BG）和证明思路。然后，我会抛出变式：“如果不倍长中线，过点C作AD的平行线交BF的延长线，能否同样解决？”引导学生比较两种辅助线的本质都是“构造全等，转移边角”。学生活动：学生陷入思考，尝试连接CF或其他线段。在教师提示下，有学生想到“倍长中线”的模型。上台演示如何通过构造全等△ADC≌△GDB，将AC转移到BG，进而证明△AEF∽△GBF，最终得到比例关系。其他学生聆听、质疑或提出不同做法。在变式提出后，小组内快速讨论第二种辅助线的可行性，并口头简述证明流程。即时评价标准：1.面对无直接关系的图形，能否有主动“构造”辅助线的意识。2.辅助线的添加是否具有明确的几何目的（如创造全等形、平行线）。3.在讲解思路时，逻辑是否清晰，能否说明每一步构造的意图。形成知识、思维、方法清单：★辅助线的本质：是搭建“已知”与“未知”之间的桥梁，其目的是为了“创造”出全等或相似三角形，从而将分散的条件集中或转移。★常见构造动机：①遇中点，想倍长中线构造全等。②遇平行或比例，想构造相似基本形（作平行线是常用手段）。③遇角平分线，想构造对称全等或利用角平分线定理（涉及比例）。▲“执果索因”分析法：从要证的结论（如线段相等、成比例）出发，反向推导需要哪两个三角形有什么关系，再看现有图形是否具备条件，若不具备，则需通过辅助线“无中生有”。任务三：动态演绎——从静态关系到变换视角教师活动：使用几何画板，展示一个公共顶点的两个三角形，固定一组对应角相等，动态改变它们的边长。“同学们看，这两个三角形一直保持着∠A=∠A'。当我拖动点，让它们的对应边也成比例时，它们就相似了。如果我继续调整，让这个比例恰好等于1，哇，它们怎么样了？——重合了！这就是全等。”接着，展示一个更复杂的图形：将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度后，与另一个三角形部分重叠。“大家找找看，旋转前后，有哪些‘不变’的要素？你能找到那对隐藏的全等三角形吗？”引导学生发现旋转前后的两个三角形全等，这是解决许多旋转类综合题的核心。学生活动：学生观看动态演示，直观感受从一般到相似再到全等的连续变化过程，深化对两者关系的理解。在旋转图形中，他们积极寻找形状大小相同的三角形，通过寻找相等的边和角来确认全等，并总结旋转性质（对应点到旋转中心距离相等，对应边夹角等于旋转角）。即时评价标准：1.能否从动态变化中抽象出“不变性”（角相等、边成比例或相等）。2.能否在图形重叠部分中，准确识别出由旋转、对称等变换产生的全等形。形成知识、思维、方法清单：★图形变换观：全等对应着刚性变换（平移、旋转、翻折），变换前后图形完全重合；相似对应着位似变换（缩放），形状不变大小变。用变换的眼光看图形，能更深刻地理解其生成关系。★旋转型全等模型：图形绕某点旋转后产生全等，常伴随“等线段、共端点”的特征。识别这个模型，能迅速找到解题突破口。口诀：“等线段，共端点，用旋转”。▲从特殊到一般的思想：全等（k=1）是相似（k为任意正数）的特殊情况。这种关系体现了数学知识体系的层次性与统一性。任务四：实战推演——在多步推理中规划路径教师活动：出示一道中考改编题：在矩形ABCD中，E是BC上动点，连接AE，过D作DF⊥AE于F，连接CF。探究线段CF与AE的数量关系与位置关系。“这道题有点挑战性了。关系可能不直接，我们需要‘分步走’。先看第一问，猜测CF和AE的数量关系？怎么猜？”（允许学生用刻度尺测量或根据特殊点如中点猜测）。“好，我们猜测CF=AE？或者一半？如何证明？它们看起来离得很远。”我会引导学生分析：“要证线段相等，常见思路有全等、等量代换。CF在△CDF中，AE在△ABE或△ADF中…这些三角形有可能全等吗？”当学生发现直接全等困难时，提示：“DF⊥AE这个条件用上了吗？它给了我们什么？（直角）直角在矩形里，是不是很容易产生相似或直角三角形？”引导小组讨论，寻找“中介”桥梁，比如先证明△ABE∽△DFA，得到边比例关系，再结合其他条件转化到CF。学生活动：学生以小组为单位展开探究。他们可能先尝试连接DE、AC等辅助线。在教师提示下，聚焦于Rt△ABE和Rt△DFA，发现一组直角和一组内错角相等，从而证得相似。然后利用相似得到的比例式，结合矩形对边相等，尝试推导CF与某条已知线段的关系。过程中需要不断调整思路，可能经历试错。小组代表分享本组的证明思路图。即时评价标准：1.小组是否有合理的探究分工和有序的讨论。2.能否从复杂条件中提取关键信息（垂直、矩形）并转化为几何关系（角等、平行）。3.证明规划是否体现出策略性，是否尝试利用中间结论（如相似得到的比例式）向目标靠拢。形成知识、思维、方法清单：★综合题解题策略：“猜想验证证明”。先通过测量或特殊位置形成直觉猜想，再寻找一般性证明。证明时，采用“分析法”从结论倒推，结合“综合法”从已知顺推，在中间“会师”。★“桥梁”意识：当目标线段或角直接关系不明时，需寻找“第三方”作为桥梁。这个桥梁常常是一对中间全等或相似三角形提供的等量式或比例式。▲复杂图形中的条件梳理：养成标记习惯，将已知的垂直、相等、平行等条件在图形上清晰标出，这有助于发现隐藏的角关系或基本图形。任务五：模型提炼——从解题到“建模”教师活动：承接任务四的题目，进行深度拓展。“我们刚才解决了这个动点背景下的关系探究。现在，让我们跳出这道题。如果把矩形这个条件弱化，变成一般平行四边形，刚才的结论还成立吗？为什么？”通过几何画板演示变化，引导学生看到矩形提供的直角是关键。“那么，在什么条件下，我们才能得到类似的结论呢？你们能尝试总结一下，这个图形结构中，导致CF=AE（或其它关系）的核心条件是什么吗？”鼓励学生用简洁的语言描述模型特征，例如：“直角+平行线+垂线”可能产生连环相似。学生活动：学生观察图形结构的动态变化，发现当矩形变为一般平行四边形时，结论不再成立。他们小组讨论，试图抽象出使原结论成立的最小条件集合。他们可能会说：“需要两个直角三角形相似，且其中一个的斜边与另一个的直角边有某种转换关系……”这个过程促使他们从具体问题中剥离出抽象的几何结构。即时评价标准：1.能否超越具体题目，思考结论成立的一般前提。2.抽象概括的模型是否抓住了几何结构的本质特征。3.语言表述是否清晰、严谨。形成知识、思维、方法清单：★几何模型的本质：是一类具有共同结构特征的图形及其所蕴含的固定结论或解题思路。掌握模型，能提升识别效率和解题方向感。★“条件结论”的反思：做完一道好题，要多问一句：这个结论依赖于哪些核心条件？改变哪个条件结论会变？这能培养思维的深刻性和批判性。▲从具体到抽象的建模思想：这是数学核心素养的重要体现。将具体问题抽象为一般模型，有助于我们举一反三，触类旁通。第三、当堂巩固训练训练采用分层、变式设计，学生可根据自身情况选择完成。1.基础层（巩固双基）：(1)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，OA=2，OD=3，OB=2.5，求OC的长。（直接应用“8字型”相似）(2)在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E。求证：△BDE∽△BCA。（巩固“共角型”相似与等腰三角形性质）2.综合层（应用迁移）：(3)在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF。（经典“半角模型”，需通过旋转构造全等，实现线段转移）(4)如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB。求证：AE/EB=AD²/DB²。（综合运用相似、角平分线定理及射影定理推论）3.挑战层（开放探究）：(5)请设计一个方案，仅用一把有刻度的直尺（无测量角度功能），来测量校园内一个池塘的大致宽度AB（不可直接到达对岸）。画出测量示意图，写出计算原理（需构造相似三角形），并分析可能产生误差的原因。反馈机制：基础层题由学生独立完成后，同桌互换，依据教师投影的标准步骤互评。综合层题由教师邀请不同解法的学生上台板演或讲解，重点剖析辅助线的思路来源和逻辑衔接。挑战层题作为小组课后探究项目，下节课进行方案展示与答辩。教师巡视过程中，重点关注基础层有困难的学生，提供一对一辅导；对完成综合层的学生，追问是否有其他解法。第四、课堂小结1.知识整合：现在，请大家拿出思维导图模板，用5分钟时间，以“全等与相似”为中心，构建今天的知识网络。可以包括：定义、性质、判定、联系区别、常见模型、辅助线思路等。我会请几位同学展示他们的“思维地图”。（学生绘制后，教师选取有代表性的投影，并点评：“这张图用颜色区分了全等和相似，清晰！”、“这张图把判定定理和适用场景用箭头连接起来了，体现了条件选择的逻辑！”）2.方法提炼：回顾今天的学习，我们经历了“识别选择构造推理建模”的完整过程。最重要的思维方法是什么？对，是“转化”——把未知转化为已知，把复杂图形转化为基本模型。还有“分析与综合”相结合的推理规划。大家在遇到新题时，要有意识地运用这些策略。3.作业布置与延伸：必做（基础+综合）：①完成学习任务单上未在课堂完成的巩固题。②整理本节课的典型例题和你的错题，在错题旁用红笔写下“思维断点”和“正确思路”。选做（探究）：①深入研究“挑战层”的池塘测量问题，优化你的方案，使其更精确、易操作。②探究：在任意三角形中，如果存在一个点，使得它与三个顶点相连形成的三个三角形面积相等，这个点有什么性质？它与我们学过的什么特殊点可能有关？（提示：从面积比联想到高和底边的关系）六、作业设计1.基础性作业：(1)系统梳理全等三角形的五种判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）和相似三角形的三种主要判定方法（AA,SAS,SSS），并以表格形式对比它们的条件异同。(2)完成配套练习册中关于全等三角形与相似三角形的基本证明和计算题各5道，要求步骤完整，理由标注清晰。2.拓展性作业：(3)（情境应用）阅读材料：泰勒斯利用相似原理测量金字塔高度的故事。请你根据描述，画出测量原理的几何示意图，并写出计算公式。尝试用此原理，设计一个测量教学楼外墙上某块标志牌高度的方案。(4)（一题多解）已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，且∠ABE=∠C。求证：BF⊥AC。请尝试用两种不同的方法（例如：一次相似；或先证一次相似再结合其他条件）证明该结论。3.探究性/创造性作业：(5)（微型项目）利用几何画板或网络画板，创作一个动态课件，展示当两个三角形满足“两角对应相等”时，它们必然相似。你可以通过拖动三角形的顶点，动态展示形状保持不变而大小变化的过程，并实时显示对应边的比例。附上简短的说明文字，解释你的设计原理和演示目标。(6)（跨学科联系）摄影中的构图与相似：研究摄影中的“分割”、“三分法”等构图原则，从几何学（相似、比例）的角度分析这些构图为何被认为具有美感。结合具体摄影作品，写一篇不少于300字的小短文，阐述你的发现。七、本节知识清单及拓展★1.全等与相似的本质联系：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。这决定了相似的条件弱于全等，应用更广。理解这一点，就能从更高视角统摄两个知识板块。★2.全等三角形的判定“SSS,SAS,ASA,AAS,HL”：核心是“三个条件确定一个三角形”。HL是直角三角形独有的“SSA”特例。注意：SSA（边边角）和AAA（角角角）不能作为一般三角形全等的判定依据。教学提示：记忆口诀可辅助，但更重要的是理解每个条件组合如何唯一确定三角形的形状和大小。★3.相似三角形的判定“AA,SAS,SSS”：核心是“形状确定，大小可缩放”。AA是核心判定，因为两角相等足以保证三角对应相等，形状相同。SAS和SSS判定要求“对应边成比例”这个前提。易错点：相似必须强调“对应”，顺序混乱是常见错误。★4.基本图形（K型图）：①平行线型（A字型、8字型）：有平行必出相似（或同位角、内错角相等，为全等提供角条件）。②共角型（反A型）：有一个公共角，再有一组等角，则相似。③旋转型（手拉手型）：等线段共端点，旋转得全等；若缩放旋转，则得相似。思维价值：掌握基本图形，如同拥有“几何词汇”，是阅读和构造复杂几何语言的基础。▲5.辅助线的常见动机与方法：①构造全等：倍长中线，截长补短，遇角平分线作垂线或对称。②构造相似：作平行线是最常用手段，以产生比例线段或等角。③构造特殊图形：连接对角线、作高线等，将一般图形转化为特殊图形（直角三角形、平行四边形等）以便应用性质。方法提炼：辅助线服务于结论，添加前先明确“我需要什么关系”。▲6.比例的性质与分割：熟练运用合比、分比、等比性质进行比例式变形，是解决复杂比例问题的代数基础。分割比(√51)/2≈0.618是一个重要的相似比，在美学和自然界中广泛存在，体现了数学与世界的和谐联系。▲7.射影定理（直角三角形中的相似模型）：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则有CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB。这个模型本质上是三个直角三角形两两相似的结果，是比例线段计算的利器。▲8.位似变换：相似的一种特殊情形，不仅形状相同，且对应点连线交于一点（位似中心），对应边平行（或在同一直线上）。位似常用于放大或缩小图形，是连接几何与缩放绘图的核心概念。八、教学反思一、教学目标达成度分析本课预设的核心目标——引导学生构建全等与相似的知识网络，并在综合情境中灵活选择与应用——基本达成。从课堂反馈和巩固练习完成情况看，大部分学生能清晰辨析两者的判定条件差异，并在面对如“任务四”的中等综合题时，能形成“先找角等，再考虑边的关系”的基本思路。在“任务五”的模型提炼中，部分优秀学生的概括已触及“结构决定性质”的层面，这是高阶思维发展的可喜迹象。然而，通过后测（巩固训练）也发现，约20%的学生在需要主动添加辅助线构造关系的题目上仍显吃力，表明“模型识别”到“模型构造”之间存在能力断层，这是下一阶段需要重点干预的。二、教学环节有效性评估（一）导入环节以测量问题切入，成功激发了学生的好奇心和求知欲。“这个古人的方法…”的设问，迅速将生活问题数学化，课堂切入点精准。（二）新授的五个任务链整体呈现螺旋上升态势。任务一、二的对比与构造，夯实了基础；任务三的动态演示是亮点，将抽象关系可视化，我听到有学生小声说“原来全等就是相似‘缩’到一样啊”，这正是概念打通的表现。任务四的实战推演是难点突破的关键，小组讨论时我深入各组，发现学生的主要卡点在于“如何利用垂直条件”，适时点拨“垂直给了你什么角？这个角在哪些三角形里？”往往能激活他们的思路。任务五的升华略有仓促，因时间关系，只有两个小组展示了他们的模型概括，略显遗憾。（三）巩固训练的分层设计满足了