函数求值域常见题型及变式训练课件

引言函数作为高中数学的核心概念，贯穿于整个数学学习的始终。而函数的值域，作为函数三要素之一，不仅是对函数概念理解程度的直接体现，也是解决各类数学问题（如不等式证明、方程解的讨论、最值问题等）的重要工具。掌握求函数值域的方法，需要我们深刻理解函数的本质，灵活运用代数变形、几何直观以及各种数学思想方法。本课件旨在系统梳理求函数值域的常见题型，并通过变式训练帮助同学们巩固所学，提升解题能力。我们将从基础方法入手，逐步深入，力求使大家对值域的求解形成一套清晰的思路和完整的方法体系。一、基础知识回顾在探讨值域之前，我们有必要简要回顾函数的定义。函数是从一个非空数集A到另一个非空数集B的映射，其中A为定义域，而值域则是函数值的集合，即{f(x)|x∈A}。定义域是求值域的前提，任何求值域的问题，都必须首先考虑函数的定义域。忽略定义域，往往会导致值域求解的错误。二、常见题型及解法（一）观察法（直接法）适用类型：结构简单，性质明显的函数。通过对函数解析式的观察，结合函数的定义域，直接判断出函数值的取值范围。解题步骤：1.确定函数的定义域。2.分析函数解析式的结构特点（如一次函数的单调性、常数函数的值等）。3.结合定义域，直接写出函数的值域。例题1：求函数f(x)=2x+1，x∈[0,3]的值域。解析：函数f(x)=2x+1是一次函数，且在R上单调递增。当x∈[0,3]时，f(0)=1，f(3)=7。因此，函数的值域为[1,7]。例题2：求函数f(x)=√x+2的值域。解析：函数的定义域为x≥0。因为√x≥0，所以√x+2≥2。因此，函数的值域为[2,+∞)。变式训练1：求函数f(x)=3-√(x+1)的值域。参考答案：(-∞,3]变式训练2：求函数f(x)=1/x，x∈(1,2]的值域。参考答案：[1/2,1)（二）配方法适用类型：主要适用于二次函数或可化为二次函数形式的函数，尤其在定义域为R或某一闭区间时，通过配方求出其最值，进而确定值域。解题步骤：1.将函数解析式通过配方化成顶点式：f(x)=a(x-h)²+k(a≠0)。2.根据二次项系数a的符号，判断抛物线的开口方向，确定函数的最值点。3.结合函数的定义域，求出函数的最大值和最小值（若存在），从而得到值域。例题3：求函数f(x)=x²-4x+3的值域。解析：f(x)=x²-4x+3=(x-2)²-1。因为(x-2)²≥0，所以f(x)≥-1。因此，函数的值域为[-1,+∞)。例题4：求函数f(x)=x²-4x+3，x∈[1,4]的值域。解析：由例题3知f(x)=(x-2)²-1，对称轴为x=2，开口向上。当x=2时，f(x)取得最小值f(2)=-1。当x=4时，f(4)=(4-2)²-1=3；当x=1时，f(1)=(1-2)²-1=0。比较f(1)和f(4)，最大值为3。因此，函数在[1,4]上的值域为[-1,3]。变式训练3：求函数f(x)=-x²+2x+3，x∈[-1,2]的值域。参考答案：[0,4]变式训练4：求函数f(x)=2x²-4x+1，x∈[a,a+1]的值域（提示：需讨论对称轴与区间的位置关系）。参考答案：（此为含参问题，需分情况讨论，此处略，实际教学中应详细展开）（三）换元法适用类型：适用于解析式中含有根式、分式或三角函数等较为复杂的结构，通过引入一个新的变量（元），将原函数转化为我们熟悉的函数（如一次函数、二次函数）来求值域。换元的关键在于简化函数结构。常见的换元有代数换元（如√(ax+b)=t）和三角换元（如对于1-x²，可以设x=sinθ或cosθ）。解题步骤：1.观察函数解析式，设出合适的新变量t。2.确定新变量t的取值范围（即新函数的定义域）。3.将原函数用t表示，得到关于t的新函数。4.求出新函数的值域，即为原函数的值域。例题5：求函数f(x)=x+√(x-1)的值域。解析：设t=√(x-1)，则t≥0，且x=t²+1。原函数可化为f(t)=t²+1+t=t²+t+1，t≥0。对于二次函数f(t)=t²+t+1，其对称轴为t=-1/2，开口向上。在t≥0时，函数单调递增。因此，f(t)的最小值为f(0)=1。所以，原函数的值域为[1,+∞)。例题6：求函数f(x)=x√(1-x²)的值域（x∈[0,1]）。解析：因为x∈[0,1]，设x=sinθ，θ∈[0,π/2]。则√(1-x²)=cosθ。原函数化为f(θ)=sinθcosθ=(1/2)sin2θ。因为θ∈[0,π/2]，所以2θ∈[0,π]，sin2θ∈[0,1]。因此，f(θ)∈[0,1/2]。所以，原函数的值域为[0,1/2]。（本题也可利用基本不等式求解）变式训练5：求函数f(x)=√(2x+1)-x的值域。参考答案：(-∞,1]变式训练6：求函数f(x)=x+√(1-x²)的值域。参考答案：[-1,√2](提示：可设x=cosθ，θ∈[0,π])（四）反函数法（反解法）适用类型：适用于形如y=(ax+b)/(cx+d)(c≠0,ad≠bc)的分式函数，或其他可以用y表示出x的函数。通过求其反函数的定义域，来确定原函数的值域。解题步骤：1.由原函数y=f(x)，解出x=f⁻¹(y)。2.求反函数x=f⁻¹(y)的定义域。3.此定义域即为原函数的值域。例题7：求函数f(x)=(2x+1)/(x-3)的值域。解析：设y=(2x+1)/(x-3)，定义域为x≠3。解方程y(x-3)=2x+1，得yx-3y=2x+1，即(y-2)x=3y+1。若y-2≠0，即y≠2，则x=(3y+1)/(y-2)。反函数的定义域为y≠2，因此原函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞)。变式训练7：求函数f(x)=(x+1)/(2x-1)的值域。参考答案：(-∞,1/2)∪(1/2,+∞)（五）判别式法适用类型：主要适用于形如y=(ax²+bx+c)/(dx²+ex+f)(a,d不同时为0)的分式函数，且分子分母至少有一个是二次多项式。通过将函数解析式整理成关于x的一元二次方程，利用判别式Δ≥0来求y的取值范围。注意：1.要保证变形过程是等价的，即分母不为零。2.当二次项系数为零时，需单独讨论，看是否为原方程的解。解题步骤：1.将函数y=f(x)整理为关于x的一元二次方程：Ay²+By+C=0（视y为常数）。2.当A≠0时，由Δ=B²-4AC≥0，解不等式得y的取值范围。3.当A=0时，若方程有解且符合原函数定义域，则对应的y值也是值域的一部分。4.综合上述结果，得到函数的值域。例题8：求函数f(x)=(x²-x+1)/(x²+x+1)的值域。解析：函数定义域为R。设y=(x²-x+1)/(x²+x+1)。则y(x²+x+1)=x²-x+1，整理得(y-1)x²+(y+1)x+(y-1)=0。当y-1=0，即y=1时，方程化为2x=0，解得x=0，定义域内有解，故y=1是值域中的一个值。当y-1≠0，即y≠1时，此为关于x的一元二次方程，因为x∈R，所以Δ≥0。Δ=(y+1)²-4(y-1)²=[(y+1)-2(y-1)][(y+1)+2(y-1)]=(-y+3)(3y-1)≥0。即(y-3)(3y-1)≤0，解得1/3≤y≤3。结合y≠1，得1/3≤y≤3且y≠1。综上，函数的值域为[1/3,3]。变式训练8：求函数f(x)=x/(x²+1)的值域。参考答案：[-1/2,1/2]（六）单调性法适用类型：适用于能判断单调性的函数，特别是在定义域内具有明确单调区间的函数。通过判断函数的单调性，求出其在定义域端点处的函数值（或极限值），从而确定值域。对于一些复杂函数，可以利用导数判断其单调性。解题步骤：1.确定函数的定义域。2.判断函数在定义域内的单调性（可利用基本初等函数的单调性、复合函数单调性法则或导数）。3.根据单调性求出函数的最值（若存在），进而确定值域。例题9：求函数f(x)=x-√(x-1)的值域。解析：定义域为x≥1。设t=√(x-1)，t≥0，则x=t²+1。原函数化为f(t)=t²+1-t=t²-t+1，t≥0。对于二次函数f(t)=t²-t+1，对称轴为t=1/2，开口向上。在t≥0时，函数在t=1/2处取得最小值f(1/2)=(1/2)²-1/2+1=3/4。因此，函数的值域为[3/4,+∞)。（本题也可用换元法结合配方法，本质上也是利用二次函数的单调性）例题10：求函数f(x)=e^x/(e^x+1)的值域。解析：函数定义域为R。f(x)=e^x/(e^x+1)=1-1/(e^x+1)。因为e^x>0，所以e^x+1>1，0<1/(e^x+1)<1，从而0<1-1/(e^x+1)<1。因此，函数的值域为(0,1)。（也可看作复合函数，分析其单调性）变式训练9：求函数f(x)=log₂(x²+2x+3)的值域。参考答案：[1,+∞)(提示：先求真数的范围)变式训练10：求函数f(x)=x+4/x在区间(0,+∞)上的值域。参考答案：[4,+∞)(提示：利用基本不等式或导数判断单调性)（七）不等式法适用类型：利用基本不等式（均值定理）a+b≥2√(ab)(a,b>0，当且仅当a=b时取等号)或其他重要不等式（如柯西不等式）来求函数的最值，进而确定值域。注意：“一正、二定、三相等”的条件。例题11：求函数f(x)=x+1/x(x>0)的值域。解析：因为x>0，由基本不等式得x+1/x≥2√(x*1/x)=2，当且仅当x=1/x，即x=1时取等号。因此，函数的值域为[2,+∞)。变式训练11：求函数f(x)=2x+3/x，x∈(0,+∞)的值域。参考答案：[2√6,+∞)（八）三角函数的值域适用类型：含有三角函数的函数，利用三角函数的有界性（如|sinx|≤1，|cosx|≤1）及三角函数的图像和性质来求值域。例题12：求函数f(x)=sin²x-sinx+1的值域。解析：设t=sinx，则t∈[-1,1]。原函数化为f(t)=t²-t+1，t∈[-1,1]。二次函数f(t)的对称轴为t=1/2，开口向上。f(1/2)=(1/2)²-1/2+1=3/4，f(-1)=(-1)²-(-1)+1=3，f(1)=1²-1+1=1。因此，函数的值域为[3/4,3]。变式训练12：求函数f(x)=3sinx+4cosx的值域。参考答案：[-5,5](提示：利用辅助角公式化为Asin(x+φ)的形式)（九）图像法（数形结合法）适用类型：一些具有明显几何意义的函数，或其图像容易画出的函数。通过画出函数的图像，观察图像的最高点和最低点（或趋势）来确定值域。例题13：求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的值