专题相似三角形的几种基本模型及练习

相似三角形是平面几何中的核心内容之一，它不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是解决复杂几何问题、培养逻辑推理能力的重要工具。在各类考试与实际应用中，许多相似三角形的问题都可以归结为几种基本模型。熟练掌握这些基本模型的特征、构成条件及应用方法，能够帮助我们快速识别图形本质，找到解题的突破口，从而化繁为简，提高解题效率。本文将系统梳理相似三角形的几种基本模型，并配以针对性练习，旨在帮助读者深化理解，灵活运用。一、相似三角形的基本模型梳理（一）“A”型相似与“X”型相似（平行线型）这两类模型是相似三角形中最为基础，也最为常见的类型，其核心在于平行线的存在。1.“A”型相似（或“正A”型、“金字塔”型）*基本图形特征：有一条直线平行于三角形的一边，且与三角形的另两边（或其延长线）相交，形成一个小三角形与原三角形相似。因其图形结构类似字母“A”而得名。*构成条件：一条直线平行于三角形的一边。*结论：所构成的小三角形与原三角形相似。即若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。*核心比例关系：对应边成比例，即AD/AB=AE/AC=DE/BC。*简要证明思路：由平行线性质可得同位角相等（∠ADE=∠B，∠AED=∠C），再根据“AA”（两角对应相等）判定定理可证相似。2.“X”型相似（或“8”字型相似）*基本图形特征：两条直线相交，所形成的对顶角的两边分别平行，或者一条直线截两条相交直线所形成的两个三角形，其图形结构类似字母“X”或“8”。*构成条件：两条直线被一组平行线所截，或者两组对边分别平行（或一组对边平行且另一组对边相交）。*结论：两个三角形相似。即若AB∥CD，则△AOB∽△DOC。*核心比例关系：对应边成比例，即AO/DO=BO/CO=AB/CD。*简要证明思路：同样可利用平行线性质得到内错角相等（∠A=∠D，∠B=∠C），再由“AA”判定定理证得相似。“A”型与“X”型的共性与区别：两者均由平行线构造，核心都是利用平行线产生等角，从而满足相似的“AA”条件。区别在于“A”型是“嵌套”关系，小三角形在大三角形内部或一侧；“X”型是“交错”关系，两个三角形呈交叉状。（二）“K”型相似（一线三垂直/三等角模型）“K”型相似模型是近年来中考的热点，其图形变化较多，但核心特征是有一条直线上存在三个相等的角（通常为直角，即一线三垂直），从而构造出两个相似三角形。*基本图形特征：一条直线上有三个点，分别向该直线的同侧（或两侧）引出射线，形成三个相等的角（∠B=∠ACE=∠D），且角的两边分别相交于另外两点，构成两个三角形（△ABC和△CDE）。因其图形轮廓有时像字母“K”而得名。*构成条件：一条直线上有三个相等的角（∠B=∠ACE=∠D），且角的两边分别相交。*结论：△ABC∽△CDE。*核心比例关系：AB/CD=BC/DE=AC/CE。*简要证明思路：利用三角形内角和定理及平角定义，通过角的和差关系可证得另一组对应角相等（如∠A=∠ECD），再结合已知的一组等角，由“AA”判定定理证相似。当三个角为直角时，证明更为直接。“K”型图的变式：三个等角不一定局限于直角，也可以是锐角或钝角；点的位置和线段的长短也可以变化，但“一线”和“三等角”的核心结构不变。（三）“母子”型相似（共边共角型相似）“母子”型相似模型揭示了一个三角形与其内部一个小三角形的相似关系，它们共用一个角，且有一条公共边。*基本图形特征：在△ABC中，点D在AB边上（或AB延长线上），使得∠ACD=∠B（或∠BCD=∠A），则△ABC与△ACD（或△BCD）相似。此时，大三角形包含小三角形，如同“母子”一般。*构成条件：两个三角形有一个公共角（∠A=∠A），且有另一组对应角相等（∠ACD=∠B）。*结论：△ABC∽△ACD。*核心比例关系：AB/AC=AC/AD=BC/CD。由此还可推导出重要的等积式：AC²=AB·AD。*简要证明思路：直接利用“AA”判定定理，公共角∠A，加上已知∠ACD=∠B，即可证得相似。“母子”型的引申：此模型常与圆的知识结合，例如，圆的切割线定理的证明就可以利用母子型相似。二、练习题（一）基础巩固1.（“A”型相似）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=2，DB=3，AE=1，求EC的长。*提示：直接应用“A”型相似的比例关系AD/AB=AE/AC。2.（“X”型相似）如图，AB∥CD，直线AC与BD相交于点O，若AO=3，OC=6，AB=4，求CD的长。*提示：识别△AOB∽△COD，利用对应边成比例AO/CO=AB/CD。3.（“K”型相似-一线三垂直）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，EF⊥EC，且EF=EC，若AB=4，AD=6，AE=2，求CF的长。*提示：由矩形性质和EF⊥EC，可构造一线三垂直模型，证明△AEF∽△DCE。4.（“母子”型相似）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AD=1，BD=4，求CD的长。*提示：易证△ACD∽△ABC∽△CBD，利用母子型相似的等积式CD²=AD·BD。（二）能力提升5.如图，△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，AD=3，BD=6，求AC的长。*提示：直接应用“母子”型相似的等积式AC²=AD·AB。6.如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F。求证：AB/AC=DF/AF。*提示：先证△ABD∽△CAD，得到比例线段；再结合E为中点及对顶角等条件，寻找包含DF/AF的相似三角形（可能涉及“A”型或“母子”型）。三、小结相似三角形的基本模型是解决复杂几何问题的“金钥匙”。本文介绍的“A”型、“X”型、“K”型及“母子”型是其中最具代表性的几种。在解题时，我们首先要仔细观察图形，尝试从复杂图形中剥离出这些基本模型；其次，要熟练掌握每种模型的构成条件和结论，准确运用比例线段进行计算或证明；最后，要通过适量的练习，不断总结经验，提升模型的识别能力和应用技巧。需要强调的是，