学海拾珠系列之二百六十一：虚假信息可被容忍吗？解析其对波动的影响与边界

引言 4模型 6基础模型 6虚假信息（DISINFORMATION） 7虚假信息的影响 8两种竞争性信息 8一般信息传播 14广义误差因子 14随机失真 15新信息流入 18新信息的一般影响 18通过价格观察进行信息更新 225总结 25风险提示： 25图表1文章框架 4图表2博弈的预期价格路径随时间的变化以及不同误差因子对应的等高线 9图表3误差因子随市场参数、玩家数量、累计交易需求的变化情况 12图表4单一因素对边界B1与B2的影响 13图表5在干净操作情形下对定理3.6与定理3.7的演示 17图表6集合𝐕𝛕与初始条件的动态演化 图表7初始误差因子对最后更新时间及校正概率分布的影响演示 图表8在变化误差容限下三个不同参与者的更新时间T的近似分布 24引言图表1文章框架整理这篇理论论文通过一个掠夺性交易游戏（predatorytrading）的视角，深入研究了股票市场波动的复杂局面，重点关注了错误信息对市场动态的影响。我们采用一种微观结构方法来探索掠夺性交易游戏对价格稳定性的影响。与现有文献不同，我们允许每个参与者接收的信息被污染，从而将我们的研究重点放在此类信息失真的影响上，尤其强调由此导致的价格波动。我们审视的失真或误传范围很广，从微小的错误（如信息传输中的估算或不准），到彻头彻尾的假新闻。这有效地反映了市场参与者所处的真实信息环境。为了将错误信息嵌入游戏，我们提出一种方法，即假设每个玩家都坚信自己信息的准确性。这个假设初看很强，但有一个关键优势：当在错误信息下求解此类系统时，能够应用已有的、基于正确信息的游戏理论框架。此外，我们允许在游戏过程中进行信息更新，从而软化了该假设的约束。本研究的一个关键发现是，量化了一个系统在不加剧波动的情况下所能承受的错误信息阈值。对于流动性更强的股票和信息不对称程度较低的市场，这个容忍度水平显著更高。本文呈现的研究结果有助于增进我们对股票市场波动的理解。首先，研究揭示了错误信息对波动性的影响会随着时间推移而减弱，说明了通过错误信息进行长期市场操纵是无效的。其次，它识别出了一个由潜在事实市场数据决定的预期波动的基线水平，这与错误信息无关。第三，研究证明错误信息可能放大预期波动的规模，但绝不会减小它。此外，研究探讨了错误信息对交易者利润预期的影响，揭示了其既有有利的一面，也有不利的一面。论文还讨论了相互矛盾的错误信息如何相互抵消，这凸显了使用市场数据来推断错误信息存在的挑战。最后，研究考察了游戏过程中信息更新的影响，揭示了系统的容忍阈值如何随时间动态变化，这为设计有效的市场干预措施和选择信息更新的时机提供了关键见解。这一点对于管理市场稳定性和防止波动情景恶化尤为重要。我们的研究与文献中的多个方向相关。首先，我们的方法扩展了现有关于掠夺性交易（predatorytrading）的研究，该领域以往主要关注基于真实信息进行的交易及其后续影响。在奠基性研究中，Brunnermeier和Pedersen（2005）引入了一个确定性模型来分析此类交易场景中的溢出效应。在此基础上，Carlin等人（2007）Carmona和进行一般化，通过采用Hamilton–Jacobi-Bellman方法的博弈论扩展，来刻画一个闭环均衡。我们的研究通过在博弈中引入基于虚假信息的元素，对该领域做出了其次，我们的研究与金融市场中的羊群行为（herding）这一广泛领域相关。Welch（2022）聚焦于Robinhood交易者的案例，探讨了大量小额投资者大规模积极参与资本市场所引发的现象。更一般地，Blasco等人（2012）在他们的研究于分析在掠夺性交易背景下这种关系的表现，并表明：随着追逐受害者的羊群规模增大，系统在不引发额外波动的前提下所能容忍的虚假信息阈值会降低们的理论发现与实证研究相一致。第三，我们为信息驱动的资产价格动态这一研究领域做出了贡献，特别强调了虚假信息如何塑造市场波动的形成与持续。面冲击，还受到信息解读与处理方式的影响。Veldkamp（2006）指出，信息摩擦与不对称会放大价格波动；而Andrei与Hasler（2015）则提供了实证证据，表明异质性信念和对新闻的选择性关注是导致过度波动的关键因素。我们通过展示价格波动同时受虚假信息（体现为信息不对称）与真实信息的共同影响，为该领域文献作出贡献。例如，正确的信息设定了波动性的某种最低水平，而这种波动只能因虚假信息而加剧。此外，我们还推导出了关于游戏过程中信息更新影响的一系列一般性结果。这种抽象层次也使我们能够对接反馈交易（feedbacktrading）的相关研究，特别是当参与者根据观测到的市场价格来调整其信息更新时。反馈交易的影响已在Barber等人（2009）、Bhattacharya等人（2009）以及Shiller（2002）中得到探讨。我们从另一个角度对此进行了补充，指出我们的模型并不是本质上通过反馈交易来解释波动，而是展示了反馈如何影响由虚假信息造成的信息不对称，进而作用于市场波动性。234新信息，尤其包括参与者可能意识到自身错误并加以纠正的情形；第5节总结全文。模型Carlin等（2007）以及Carmona和。关于基础模型我们考察一个同时交易无风险资产和风险资产的市场，无风险利率设为0（失一般性）。市场中有一个参与者称为受害者（victim），他必须在时间区[0,T]内调整自己在风险资产上的头寸；至少还有一名其他参与者察觉到受害者捕食者（predators）与者编号为1,…,N，N∈N，并假设第一个参与者是受害者（不失一般性）。记𝑡第n个参与者在时刻t持有的风险资产总量为X𝑛，则有𝑡其中α𝑛表示第n个参与者的交易速率。过程α𝑛并非玩家可任意选择，而要满𝑡 𝑡来实现，其中X𝑛=−x𝑛，x𝑛n个参与者的交易约束。策略α𝑛必须选自集合

0 0 0 𝑡𝑡该条件也保证了方程解的存在性。此外，α𝑡的结构捕捉了玩家制定交易策略时可用的信息来源。由于假设每个玩家在任何时刻都知道所有玩家的确切持仓是不现实的，我们将自己限制在开环策略，即α𝑛=𝜙(𝑡,𝑋0)，其中ϕ是某个确定函数。这意味着玩家在游戏开始时设定策略，然后要么坚持到结束（第3节），要么在特𝑡定时点收到新信息时进行调整（第4节）。交易价格𝑃𝑡（即实际成交价）可能与中间价𝑋𝑡不同，差值𝑃𝑡𝑋𝑡称为临时价格冲击，反映在给定的交易量下，市场参与者多快吃掉限价单簿中的买卖价差。因此，临时价格冲击是交易速率的函数：参数λ表示弹性因子，刻画限价单簿的深度。大量实证研究表明，还存在永久价格冲击，代表交易速率对资产中间价的持久影响：注意，由于掠夺性交易涉及的时间跨度较短，(5)中可忽略常规漂移项μ(t)。系γ表示市场的可塑性因子，与市场上关于风险资产的信息不对称密切相关。带波动σ——所有参与者的目标是最大化利润但该利润不仅取决于自身交易策略，还取决于交易价格，从而间接依赖于其他玩家的策略，因此可将此情形表述为一个随机微分博弈。(N+1)维系统的动态由下式刻画：通过将(1)和(4)代入(6)，可得各玩家的收益泛函：虚假信息（Disinformation）0在建立一般系统后，需要明确扭曲信息的影响。设x1为受害者被迫买入或卖出的真实数量，这一数量自然为受害者所知，但其他所有玩家收到的都是该信息的0随机扭曲版本̃1 =x1+ϵ。随机变量ϵ

在游戏开始前就已实现，反映原始信息0,𝑛 0 𝑛 𝑛的个体扭曲。ϵ𝑛可代表信息来自官方披露（如财务报告、交易公告）或其他渠道（如公共新闻、社交媒体）。即使在基础模型中，将虚假信息嵌入博弈论框架也极具挑战性，因此我们提出以下方法：每个玩家m选择交易策略α(m)=(α1,…,α𝑁)，使得(m) (m)在假设下成立该方法预设每个玩家都坚信自己的信息为真。也就是说，信息分布导致市场信息不对称，从而引发均衡偏离。于是问题变成：这些偏离的后果是什么？它们能否被容忍？该方法的另一优势是可把无虚假信息情形的唯一可解性直接迁移到当前情形。第4节将进一步讨论如何通过允许信息更新来削弱无条件相信可能失真信息的假设，并分析其影响。虚假信息vs不确定性的博弈。在不确定性情形中，玩家收到的是（随机）并在整个游戏中建立所执行策略与原始（无偏）信息的关系，这通常需要关于玩家行为的特定假设。因此，不确定性问题常与（部分）更新问题紧密相关，若可解（且唯一解），往往需要数值方法，在玩家较多时会增加分析与求解难度。而在虚假信息情形中，玩家并不知道信息已被扭曲，因而认为它是真实的。真实信息。这种假设可由掠夺性交易游戏的短持续时间以及心理学上（beliefperseverancebias）加以合理化——该偏差指即使接收到与初始信念相矛（Anderson2007；Andersonetal1980）此背景下的更新问题指的是信念修正如在第4虚假信息的影响两种竞争性信息0,𝑛我们首先考察一个仅包含两类信息的简单市场场景：一类是正确信息持有者，共N𝑟人，每人对受害者被迫交易的数量均掌握真实值，即ϵ𝑖=0（∀𝑖∈{1,…,N𝑟}）；另一类是虚假信息持有者，共N𝑤人，他们基于相同的虚假信息进行决策，̃1 =0,𝑛0≠x1（∀𝑖∈{N𝑟+1,𝑁}）。这一简化设定为理解虚假信息的显著影响提供了关键框架，我们的核心目标是分析此类虚假信息如何作用于价格走势，相关结论由以0𝟎定理1.不失一般性，假设̃𝟏为虚假的交易目标（即虚假信息持有者误认为的受害者交易数量）。考虑由𝐍𝒘个虚假信息持有者和𝐍𝒓个正确信息持有者参与的随机微分博弈（玩家通过策略α(2)），𝟎∈R该定理的核心结论需结合误差因子的解读展开：（t的指数项）（t较小）对价格波动起主导作用，而第三项（含Tt的指数项）随时间推移逐渐占据优势。由于两项符号相反，价格走势会出现反转——即初期由真实信息驱动的趋势，后期被虚假信息引发的相反趋势抵消，形成与初始预期不同的价格运动。2)虚假信息的关键作用：第三项的系数直接与误差因子相关，当=0（即无虚假信息，̃1=1）时，该项消失，价格走势退化为无虚假信息下的经典形式0 0（与Carlin等（2007）的结论一致）。这表明，虚假信息的引入打破了完全信息下价格趋势单调的特性，是导致价格波动加剧的根源。误差因子：定理3.1凸显了价格轨迹与相应误差因子之间的紧密联系。这种关2(图表2博弈的预期价格路径随时间的变化以及不同误差因子对应的等高线Canmisinformationbetolerated?》有两个主要因素会显著影响误差因子。第一个因素是N𝑤/N∈[0,1)，它反映了受误导参与者占总参与者人数的比例。因此，它可作为衡量相对于整体信息传播范围而言，虚假信息的严重程度的指标。虚假信息程度的增加会导致误差因子相应上升。第二个因素记作(̃1−1)∈R，用于度量错误信息与正确信息之间的差异。它0 0本质上反映了流通中的虚假数据偏离真实值的程度，或者说原始信息所受的扭曲水平。原始信息受到的显著扭曲会对误差因子产生重大影响。虚假信息的扭曲程度（̃1−1）其传播范围（N𝑁1）0 0 𝑤K∈R̃𝑘由此可见，高误差因子与严重的虚假信息相关——尤其是当虚假信息的传播范围有限时。反之，在虚假信息广泛传播的情况下，即使是原始信息的小幅偏离，也可能导致重大的不准确。这种相互作用在图表2(b)中得到了生动展示。初步结论：我们现在开始详细分析误差因子如何影响预测的价格轨迹，以及可能引发额外波动的潜力。为辅助这一分析，我们引入以下记号：3.1.ν[𝐭∗𝐭∗]内的最大预期价格波动定义为：指标MPF（中间）最大预期波动幅度用MPF额外波动强度（假定）交易约束；（2）MPF小的预期波动幅度。假设公式(11)的确定性部分记为f(t)。利用布朗运动的鞅性质，我们可以推导出价格演化的条件期望：这表明，基于时刻s可获得的信息（由滤子F𝑠表示），时刻t的预期价格主要由函数f(t)决定。进一步阐释：由于在博弈结束时（T），确定性部分f(t)与误差项ν̃无关，我们可直接得到以下引理：定理3.1大价格偏离̃∗，有该式表明，无论虚假信息传播有多广泛，波动幅度都应大于或等于(18)给出的值。这意味着预期波动存在一个下限。兼容集𝑉与为了更清晰地理解虚假信息对价格波动的影响，我们提出以下定义：定义3.2.假设情形如定理3.1，除误差因子外其余参数固定。我们定义两个集合：在集合𝑉中，收集的是那些导致最小预期波动的误差因子；而则包含所有会引发更大波动的误差因子。由于在无虚假信息情形下|f(t)|始终递增，由(16)0包含在集合𝑉。因此，在没有虚假信息的情形下，预期波动最小。以下引理阐明引理3.2.假设情形如定理3.1，除𝛎̃外其余参数固定，则引理3.2强调错误信息只会通过增加额外波动性来恶化预期价格波动，而不会改善波动。然而，这并不意味着每一种虚假信息都必然导致更大的预期波动。因此，一个关键问题是：系统在引发有害价格波动之前，能够承受的虚假信息阈值是多少？以下定理给出了答案：定理3.2.假设情形如定理3.1。则否则𝑣̃∈𝑉̃。其中常数𝑏1,𝑏2∈ℝ为该定理给出了明确的边界𝑏1与𝑏2。若误差因子落在此区间内，则属于集合𝑉，意味着即使存在虚假信息，也未必会对预期波动产生负面影响。然而，一旦超出任一方向的界限，就意味着虚假信息达到足以引发更严重价格扭曲的水平。因此，𝑏1与𝑏2成为理解虚假信息与价格波动关系的关键因素。边界参数𝒃𝟏与𝒃𝟐边界值𝑏1、𝑏2依赖于多个系统参数，以下简要说明这些参数的影响：市场参数λγ−1（弹性与可塑性因子的组合）：若x0>0，边界𝑑1随市场参数单调递增；若∑x0<0，则单调递减。对𝑑2的影响则相反：∑x0>0时递增，∑x0<0时递减。根据定理3.2，市场参数增大时，集合V变小——换言之，市场参数放大时，相同误差因子更易引发更显著的波动。博弈时长T越可能落在V，波动增大的可能性更高。当T→∞时：这表明无论博弈时长如何，系统中都存在可容忍的误差阈值；但在长时间博弈中，误差仅在一个方向上可被容忍。例如，若参与者需平仓，高估平仓量会引发更大波动，而低估在一定范围内是可接受的。当T→0（极短博弈）时，任何误差因子均属于V，意味着在足够短的时间内，虚假信息没有足够时间造成损害。但随着时长增加，这种时间窗口打开，虚假信息的潜在负面影响随之增长。T与市场参数的关系见图表3(a)。图表3误差因子随市场参数、玩家数量、累计交易需求的变化情况Canmisinformationbetolerated?》累计交易需求∑x0：汇总所有交易目标。𝒅𝟏随累计交易需求线性递增，𝒅𝟐线性递减。值得注意的是，当累计交易需求被中和（接近零）时，任何形式的虚假信息都会导致更高的预期波动，这在无根据的谣言情形下尤为明显。该影响见图表3(c)。玩家数量N：反映信息的整体传播广度。通常𝑑1随N严格递增，𝑑2严格递00减。考虑捕食者遵循干净操作假设：若x1>0，则𝑏1随N严格递减、严格递增；若x1<0则相反。因此，即便虚假信息持有者与知情者的比例不变，总玩家数N𝑉1000人中有5000053(b)。图表4总结了各参数及其对边界𝒃𝟏、𝒃𝟐的具体影响。4单一因素对边界b1与b2的影响Canmisinformationbetolerated?》中的额外波动当属于𝑉时，最大价格波动保持不变。但若误差因子进入并不断增大，会发生什么？为此我们引入以下定义：定义3.3.对于固定的博弈参数与误差项𝒗，其与边界𝒃𝟏、𝒃𝟐的距离为定义3.3衡量误差因子与集合𝑉的距离。需要注意的是，随着虚假信息程度̃,1、̃,2引理3. 假设所有游戏参数固定，且̃₁̃𝟐∈̃。进一步假设分别满足̃₁₁<𝐷̃𝜈₂,𝑑₁且𝐷̃𝜈₁,𝑑₂,𝐷̃𝜈₂,𝑑₂=0，或者𝐷̃𝜈₁,𝑑₂<𝐷̃𝜈₂,𝑑₂且𝐷̃𝜈₁,𝑑₁,𝐷̃𝜈₂,𝑑₁=0成立。则有：引理3.3的核心含义是：在边界𝑏1与𝑏2的两侧，最大价格波动随∣严格单调递增。这意味着在𝑉之外，虚假信息的放大必然导致预期波动的增强。这一现象在图表3(d)中以图形方式呈现。当越过𝑏2向右、或越过𝑏1向左时，价格波动的加盈亏分析：接下来的讨论将阐明虚假信息在多大程度上塑造了参与者的利润预期。误差因子的关键作用由以下定理凸显：定理3.3.考虑如定理3.1的情形，且参与者遵循干净操作方案，则：其中函数K1 与K2 来自定理的证明，且与虚假信息传播范right/false围N𝑤𝑁−1无关。

right/false正确信息的捕食者在博弈期间获得预期收益的条件如下损失

否则将面临预期虚假信息的捕食者该定理的第一部分对理解信息传播范围如何影响预期利润至关重要。在保持有博弈参数不变、仅改变N𝑤的情况下，式(25)成为的线性函数，其斜率K2 直接映息围响，为也为：right/falseK2>0，则随着更多参与者持有错误信息，正确信息者可能获得更多right/false利润；若K2 <0，则相反——大量虚假信息持有者会对正确信息者产生负面影响。利用该线性特性及定理中的利润约束可推断：当虚假信息持有者低估真实值0x1时，会产生有利效果；而高估则导致前述负面后果。两种情况均在图表4中示意。0定理的后半部分限定了参与者的预期利润，并传达了三个关键观察：最后需注意，预期盈亏的可能性与博弈参数T、γ、λ无关。这与影响额外预、𝑏24当市场参数较大时，即使̃∈̃（已进入较大波动区），正确信息者仍可预期盈利——𝑉。对虚假信息参与者亦然。这表明，个别参与者的盈亏是否伴随额外波动，确实取决于所考察的市场特性与博弈时长，二者可能同向，也可能反向。一般信息传播我们考虑一种普遍情况：每位参与者都依据其个人的、可能被篡改的信息采取行动。因此，对于每位参与者n，有1=x1+ϵₙ=，其中𝜖ₙ表示第n位参与0,n 0者的个人信息扭曲。广义误差因子与第3.1𝜖ₙ定理3.4.令𝛘𝒘∶={𝐱𝟏,𝟏 ,…,𝟏 }，𝐤≤𝐍−𝟏表示各种假设的目标持𝟎 𝟎,𝐰𝟏 𝟎,𝐰𝒌仓，并令𝐍𝒘∶={𝐍𝐫,𝐍𝐰𝟏,…,𝐍𝐰𝒌

} } 足𝒍=𝟏

𝐍𝐰𝒍

+𝐍ᵣ=𝐍，表示遵循𝛘𝒘的参与者数量。即，有𝐍𝐰位参与者相信𝟏 是正确的目标持仓，依此类推。考虑随机𝟏 𝟎,𝐰𝟏微分博弈，其中所有参与者都在约束（2）下试图最大化其个人利润（8）。则价格过程如定理3.1所述给出，但误差因子推广为：上述定理表明，信息传播的推广仅反映在误差因子的构成上。这里的广义误因子𝜈本质上与特殊的误差因子行为类似。对于每个错误信息1 (l∈[1,0,w1其篡改程度（̃1 −x1）一方面是决定性的，另一方面其传播范围NwN也相0,w10,w1 0 𝑙两项乘积给出该错误信息对误差项𝜈的影响。对所有错误信息的这种影响求和，即得到𝜈本身。作为定理3.4的推论，前述关于误差项的结论在将推广为𝜈后仍然成立。特̃，有：定理3.5.在定理3.4的设定下，𝛎∈𝐕当且仅当否则ν∈𝑏1、𝑏23.2定理3.5将定理3.2的结论推广到任意信息散布的情形。由于边界值𝑏1、𝑏2保持不变，前文所有结果可逐项沿用。然而，由于误差项现在具有更丰富的构成，有必要进一步考察𝜈本身的影响。由式(28)的加性结构可见，不同的信息失真可能相互抵消：高估实际数量x1的信息与低估x1的信息可彼此中和。就定理3.50 0而言，这意味着即便存在大规模传播的强错误信息，也不一定预期出现更强的价格波动。极端情况下，甚至可能完全抵消既有错误信息，即𝜈=0。此时，即便已知白噪声，也无法仅凭观测到的价格走势推断市场中是否存在错误信息。该见解由下述引理表述：引理3.4.无法从观测到的价格走势推断参与者的个体信息。特别地，价格走势表现得如同在完全信息下，并不意味着市场中不存在错误信息。即便根据定理3.4与3.5，误差因子𝜈是决定预期价格走势与最大价格波动的关键变量，引理3.4表明：仅凭该变量对信息分布所能得出的结论非常有限。因此，直接使用随机变量ϵ𝑛的分布作为解释变量似乎更为恰当。随机失真我们不再假设已知每位参与者接收到的信息。于是，无法预先判定是否ν∈V。不过，在一定的分布假设下，可以估计该事件发生的概率：定理3.6.不失一般性，设𝒃𝟐<𝒃𝟏。令𝛜𝐢∈𝐋²(𝐏)，𝐢∈{𝟏,𝐍}且互不相关，并记∶=𝐍−𝟏∑𝑵𝛜𝐢。则对任意𝜖0与任意𝑁∈ℕ有其中 ， 。定理3.6给出了由随机信息失真引发更严重价格波动可能性的估计。这些估计对参与者数量（即信息扩散本身的范围）高度敏感，从而得到如下结果：当错误信息并非严重偏离时，较广的信息扩散事实上可能更有利；反之，当错误信息高度失真时，限制其传播更为可取。此处的关键决定因素是错误信息偏差的方向与幅度，其期望（总体）偏差由Ẽ)有益的信息扩散E(̃位于边界2与1之间时，定理6表明：随着信息扩散范围的增加，系统的稳定性预期将得以保持甚至增强(即ν∈𝑉)对于有限的信息扩散，这一点未必成立。从金融稳定的视角看，在此类情形下，广Ẽ)=05)以均匀中心化分布对失真建模，清楚展示了P(ν∈V)如何随信息扩散范围的增加5)P(ν∈̃)55(d)𝑀𝑃𝐹𝜈𝑀𝑃𝐹0（）不利的信息扩散：另一方面，若错误信息高度集中且偏斜，以至于Ẽ)∉[𝑏2,𝑏1]，则最小限度的信息扩散明显更为可取。此时，广泛传播带来的风险过大而不容忽视。图表5(e)–4(h)说明了这一点。进一步估计3.6中εiN(0,1)对所有i∈{2,N}成立。定理3.7.不失一般性，设𝐛𝟐<𝐛𝟏。令𝛜𝐢（𝐢∈{𝟐,…,𝐍}）独立同分布，且𝛄∶=𝐄(|𝛜−𝛍|)<∞ 𝐄(𝛜𝟐)=𝛍、𝐕𝐚𝐫(𝛜𝟐)=𝛔²、 𝟐 𝟑 。进一步记𝚽 为𝐍(𝛍,𝛔𝟐)的正态分布，因此对𝐍≥2和𝛇𝛄∶=𝐄(|𝛜−𝛍|)<∞ 其中𝜎:=√𝑁−1𝜎，且k:=

。若进一步有(P(v=b)=0)（当ε

为连续∗ 𝑁

σ3√𝑁−1 2 2分布时尤其满足该条件），则上述估计在ζ=0时仍成立。该定理能够利用高斯分布从两侧对ν∈𝑉与ν∈的概率进行估计。值得注意的是，即便误差项𝜖𝑖本身并非正态分布，该近似依然成立。这改进并扩展了前一定理图表5在干净操作情形下对定理3.6与定理3.7的演示Canmisinformationbetolerated?》信息失真是否可能有益？3.7𝑁存在似系，由直得到(b1+b2)/25(i)–(l)5(i)3.7（即E(ϵ₂)=0）P(ν∈𝑉)；图表5k)（式(34)）5(m)–(p)ν∈然而需要强调，如定理3.3所示，个体参与者的预期利润问题与追求最小波动并非同一目标。在特定情形下，能够影响信息扩散总体方向的外部者，必须在波动降低的收益与将参与者从盈利区推入亏损区的风险之间加以权衡。新信息流入0对错误信息的处理（见式(9)与(10)）伴随着每位参与者对其信息准确性的信念。虽然持续信息更新的做法未必与初始假设完全一致，但可以设想：在博弈进行过程中，个别参与者可能意外获得关于真实交易量x1的新信息。为与前述假设保持一致，需指出：参与者并非从一开始即预期到此类信息更新的发生。此处，信息脉冲的具体性质并不重要。0我们不局限于接收到更新的参与者必然学到真相的假设，但假定该新信息被参与者视为真实，且不会因信念固着而被忽视。此外，参与者可假定所有其他参与者也获得了该新信息。于是，基于信息更新所调整的交易策略可在初始模型假设内被一致地确定。新信息的一般影响假设在时刻𝛕∈[0,T]，部分参与者接收到新信息。下述定理刻画了信息更新对价格动态的影响：定理1.设̃𝟏表示参与者的原始信息，̃𝟏表示时刻𝛕的更新信息。这里𝟎,𝐧 𝛕,𝐧𝟏=𝟏+∫𝛕𝟏(𝒕)，其中𝟏是参与者𝐧根据式(10)对参与者1采取的最𝛕,𝐧

𝟎,𝐧

𝟎 𝐧 𝐧优控制策略（若参与者𝑖未收到任何新信息）。此时，价格动态由下式描述：其中初始与更新后的误差因子及修正的初始条件为该定理表明：信息更新的影响可通过更新误差项来描述。于是，在时刻𝜏用更新后的误差项νu替代初始误差项𝜈，价格过程继续遵循已知结构。这在直觉上是可理解的：新获得的信息恰恰作用于原先被扭曲的信息，且在最佳情形下，甚至可能完全消除错误信息。此外，定理4.1可直接推广到连续多次信息到达的情形：只需按上述方式反复调整初始条件与误差项。最后注意到：这表明：不仅错误信息本身，信息的更新也不会对最终价格产生影响。这进一步强化了先前的结论——在较长时期内，错误信息既不能进一步放大，也不能人为压制价格波动。新信息的兼容性：然而在短期内（[0,𝑇]内），信息更新确实可能影响预期波动。为更好理解其发生时机与方式，需要将集合𝑉与的定义扩展到可能出现新信息流的情形：定义4.1.对于发生一次信息更新的博弈，定义集合如下，其中向量𝛎∶=(𝛎𝟎,𝛎𝟏)收集初始误差项𝛎𝟎与所有与信息更新集合Vupv₀和更新后的误差项v₁息Vp和̃p和V=(00)∈p一Vup定理4.2.考虑一个在时刻𝛕∈(𝟎,𝐓)有一次信息更新的博弈。其中𝛎𝟎,𝛎𝟏分别表示初始误差项和由更新引起的相应误差项。对于任意的v=(v0v1)∈𝑅2且Vτ3.2（[τT]而非[0,T].令(V=Vno:=1N𝑁(̃1−x1x𝑛≔x𝑛+∫τ𝛼𝑛𝑑𝑡,̃1=1 1

τ,n

τ τ 0

τ,ñ1+∫τ̃1𝑡)𝑑𝑡1n∈[12…,N𝑣𝑛𝑜≔(v,𝑣𝑛𝑜等价0,n 0𝑛 01于具有初始误差v0且无信息更新的博弈，因此Vτv1[τT]v0T]v0到v1𝑛≔𝑥𝑛+∫τ𝛼𝑛𝑑𝑡T−τ的博0 0 0𝑡弈，Vτ与V相同。因此，我们可以直接参考定理3.5中已知的极限来进行验证。同样，在随机更新的情况下，可以使用定理3.6和3.7来估计P(ν∈Vup)。4.2v0∈V1𝑣𝑛𝑜都在Vττ时11∈Vτv0∈V𝑣𝑛𝑜。1图表6集合𝐕𝛕与初始条件的动态演化Canmisinformationbetolerated?》如图表6所示，一个直接的反例可以否定这个问题，从而证明了以下引理：引理4.1.在博弈过程中，通过信息更新，所描述的系统可能比最初情况容忍更多的错误信息。换一种说法，引理4.1表明，系统能够容忍的误差量会随着时间动态变化，特别是可能会增加，而对于v1∈Vτ,v0∈V，经过时间调整后，任何时候都会容忍原始错误信息。在这种情况下，随着时间的推移，可容忍的误差量减少的情况就被排除了。事实上，这一陈述与已经获得的见解是一致的。如前所述，错误信息需要一定的时间来发挥其潜在的有害影响。玩家越晚获得新信息，他们将其纳入博弈的剩余时间就越短。因此，即使新获取的信息是极其错误的，剩余的时间可能也不足以让其产生影响。6Vτb1b2τb1b26(b)4.2Vτ更新必须在什么时候进行呢？问题在于，必须在最晚什么时候消除可能导致更严重价格波动的错误信息。因此，我们强调了集合Vup的另一个特征：定理4.3.按照之前的定义以及停止时间以下陈述成立：𝑛=11.假设∑𝑁𝑛=1

𝑥

0v0v0b2

=0。对于v0,10𝑛=10,v0,2∈B~且b1>v0,1>v0,2，我们有TE,v0,2<TE,v0,1∈(0,T)。最后，对于每个v0∈0𝑛=10VTE,v0

=T是成立的。如果∑𝑁

𝑥

>0，则必须将关于边界b1和b2的大于关系替换为小于号。τ∈(0,T)≤∈Vτ,时，ν∈τ>1∈R,ν∈𝑢𝑝。v0，直到时间虽然定理4.2回答了如果初始误差是可以接受的，系统通过更新可以容忍多少4.3v0∈V4.2如果误差非常大，以至于平均而言，让玩家认为受害者被迫出售股票，而实际上它需要收购这些股票，或者反之亦然，那么在任何时候都预期会出现进一步的波动扩大。因此，在博弈过程中，没有一个时间点可以进行错误信息的纠正以及时防止额外的波动性。如果普遍存在的错误信息很严重，但基本上方向是正确的，例如，要出售的数量被大大高估了，那么在新信息的情况下，有可能避免直到时间TE,v0预期的额外波动扩大。请注意，这个时间是严格大于零的，这意味着在这种情况下，如果新信息足够快地接收到，总是可以避免额外的预期价格波动。此外，该定理表明，最初的误差因素越大，就越需要尽早进行纠正。这种关系在图表7(a)中有所描述。图表7初始误差因子对最后更新时间及校正概率分布的影响演示Canmisinformationbetolerated?》此外，本文还指出了何种信息适用于修正误差。显然，这一点对于属于集合𝒱τ的那些信息同样成立。这表明，要防止波动性的额外膨胀，不仅完全修正（即消除所有错误信息）是可行的方法，仅通过降低初始误差因子也可能实现这一目标。换句话说，并非所有参与者都必须意识到自己的信息存在偏差；即使只有少数参与者接收到其初始假设存在失真的信息，有时也已足够。最后，定理4.3引入了最晚可能修正时间Tν₀。与预期时间TE,ν₀不同，该时间表示在路径层面的考量下，能够进行修正且确保此后不会引发额外失真的最晚时刻。值得注意的是，对于任何初始误差因子，这样的时间Tν₀总是存在的。因为即使误差因子严重到预期会立即引发额外波动（以TE,ν₀衡量），在实际实现中却未必如此——价格变动是一个随机过程，众所周知可能偏离其预期值。因此，与确定性的TE,ν₀不同，Tν₀是一个真实的停时，即随机变量，其具体实现只能在博弈过程中被观测到。然而，其分布特征可以在初始阶段进行估计。图表7(b)针对不同误差因子展示了这一关系。显然，初始误差因子越大，需要尽快修正的概率也越高。通过价格观察进行信息更新引理3.4已经表明，对于外部观察者而言，观察股价走势仅在一定程度上适用于推断系统中现有错误信息的数量。对于交易参与者本身来说，股价是一个可用的信息来源，他们可以借此评估自身信息的合理性。事实上，存在这样一种可能性：当股价开始呈现出与参与者基于自身信息所预期完全不同的轨迹时，参与者可能会怀疑自己信息的正确性。假设在这种情况下，参与者突然意识到自己的原始信息有误。也就是说，存在一些价格阈值，一旦股价突破这些阈值，就会强烈冲击参与者的固有认知，从而克服其认知坚持。此时，参与者可能会通过进一步的研究来调整自身信息，且不一定能得到确切的信息。需要注意的是，此处描述的特殊情况可纳入上述带有随机更新时间τ和随机信息更新ν𝜏我们希望借助这一关于信息更新的示例假设，来凸显系统随机性成分所带来的一些特性。𝑡设[−ι𝑛,κn]（其中ι𝑛,κn∈R+）为第n个参与者的容忍阈值。这意味着当实际股价相较于预期股价至少低ι𝑛或至少高κn时，该参与者会怀疑自己的信息。即𝑡其中En(X0)表示第n个参与者预期的股价趋势。以下引理阐述了一个重要的特殊情况：引理4.2.𝛎=𝟎，那么在时间t这里我们在不失一般性的情况下，假设对于所有信息正确的参与者，ι𝑛=ι,κn=κ。上述引理提供了两个重要见解：首先，它表明由于随机因素的存在，即使信息正确的参与者也可能怀疑自己的信息，这种情况甚至会在相互抵消错误信息的最佳这表明，随机影响可能会在游戏中增大误差因子，甚至可能将原本有利的情况转变为不利情况。值得注意的是，即使最初所有参与者都进行了正确的交易，即不存在错误信息，这种情况也可能发生。总之，当利用实际股价走势来评估现有信息的合其次，引理4.2τ𝑛8