2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷.理）高考数学试卷（含答案）

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷.理）高考数学试卷【含答案】2/22002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆的圆心到直线的距离是（A）（B）（C）1（D）（2）复数的值是（A）（B）（C）（D）1（3）不等式的解集是（A）（B）且（C）（D）且（4）在内，使成立的的取值范围是（A）（B）（C）（D）（5）设集合，，则（A）（B）（C）（D）（6）点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为（A）0（B）1（C）（D）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A）（B）（C）（D）（8）正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是（A）（B）（C）（D）（9）函数（）是单调函数的充要条件是（A）（B）（C）（D）（10）函数的图像是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A）8种（B）12种（C）16种（D）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A）115000亿元（B）120000亿元（C）127000亿元（D）135000亿元第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数在上的最大值与最小值这和为3，则＝（14）椭圆的一个焦点是，那么（15）展开式中的系数是（16）已知，那么＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知，，求、的值。（18）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若（）（I）求的长；（II）为何值时，的长最小；（III）当的长最小时，求面与面所成二面角的大小。（19）设点到点、距离之差为，到、轴的距离之比为2，求的取值范围。（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设为实数，函数，（I）讨论的奇偶性；（II）求的最小值。（22）设数列满足：，（I）当时，求并由此猜测的一个通项公式；（II）当时，证明对所的，有（i）（ii）参考解答及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）A（2）C（3）D（4）C（5）B（6）B（7）C（8）B（9）A（10）B（11）B（12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.（13）2 （14）1（15）1008（16）三、解答题（17）本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.满分12分. 解：由倍角公式， ……………2分 由原式得 ………………8分， ……………12分（18）本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分. 解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，∴MN=PQ. ……………3分由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=，即. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当 即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为……9分 （Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，又AG=BG=，所以，由余弦定理有 故所求二面角. ……………12分（19）本小题主要考查直线、双曲线等基础知识，考查基本运算、逻辑推理能力.满分12分. 解法一：设点P的坐标为（x,y），依题设得=2， 即 ①………2分 因此，点P（x,y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得 因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故 ②…………6分 将①式代入②，并解得 ， ……………8分 解得.即m的取值范围为 ……………12分 解法二：设点P的坐标为（x,y），依题设得，即. ①…………2分 由|PM|－|PN|=2m，得 ②…………4分 由②式可得所以，. ……………6分 由②式移项，两边平方整理得将①式代入，整理得. ③…………8分③式右端大于0，.综上，得m满足即m的取值范围为 ……………12分（20）本小题主要考查为数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，…，每年新增汽车x万辆，则 ………………2分 对于n>1，有 ………………6分 当 ………………8分 当 并且数列{bn}逐项增加，可以任意靠近. ……………10分 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即. 则（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.………12分（21）本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查分类讨论的思想和逻辑思维能力.满分12分. 解：（Ⅰ）当为偶函数. ………………2分 当 . 此时函数既不是奇函数，也不是偶函数. ………………4分 （Ⅱ）（i）当若上单调递减，从而，函数上的最小值为 若，则函数上的最小值为………7分 （ii）当时，函数 若 若 ……………10分 综上，当 当 当 ……………12分（22）本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜