2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷.理）高考数学试卷（含答案）

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷.理）高考数学试卷【含答案】2/22003年普通高等学校招生全国统一考试数学（必修本理工农医类）第Ⅰ卷参考公式：三角函数的和差化积与积化和差公式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知，则tg2x＝（A）（B）（C）（D）（2）圆锥曲线的准线方程是（A）（B）（C）（D）（3）设函数若f(x0)>1，则x0的取值范围是（A）（－1，1）（B）（－1，＋∞）（C）（－∞，－2）∪（0，＋∞）（D）（－∞，－1）∪（1，＋∞）（4）函数的最大值为（A）（B）（C）（D）2（5）已知圆及直线．当直线l被C截得的弦长为时，则a＝（A）（B）（C）（D）（6）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（A）（B）（C）（D）（7）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（A）1（B）（C）（D）（8）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（A）（B）（C）（D）（9）函数f(x)＝sinx，的反函数f－1(x)＝（A）－arcsinx，x∈[－1，1]（B）―π―arcsinx，x∈[－1，1]（C）π＋arcsinx，x∈[－1，1]（D）π－arcsinx，x∈[－1，1]（10）已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）．设P4的坐标为(x4，0)．若1<x4<2，则tgθ的取值范围是（A）（B）（C）（D）（11）（A）3（B）（C）（D）6（12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A）3π（B）4π（C）（D）6π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）展开式中x9的系数是．（14）使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是．（15）如图,一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）（16）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是．（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|．（18）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．侧棱AA1＝2，D、E分别CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）;（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．（19）（本小题满分12分）已知c>0，设P：函数y＝cx在R上单调递减．Q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．（20）（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（21）（本小题满分14分）已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图）．问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值;若不存在，请说明理由．（22）（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设｛an｝是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，……将数列｛an｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表（i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;（ii）求a100．（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设｛bn｝是集合中所有的数从小到大排列成的数列，已知bk=1160，求k．参考解答及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。（1）D（2）C（3）D（4）A（5）C（6）B（7）C（8）D（9）D（10）C（11）B（12）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。（13）（14）（－1，0）（15）72（16）①④⑤三、解答题：（17）本小题主要考查复数模、辐角和等比中项的概念，考查运算能力，满分12分。解：设，则复数z的实部为．∴由题设即∴整理得r2＋2r－1＝0．解得即（18）本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力，满分12分．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连结EF、FC，∵D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形．连结DF，G是△ADB的重心，∴G∈DF．在直角三角形EFD中，，∵EF＝1，∴于是∵∴∴∴A1B与平面ABD所成的角是（Ⅱ）解法一：∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F．∴ED⊥面A1AB，又ED∈面AED，∴平面AED⊥平面A1AB，且面AED∩平面A1AB＝AE．作A1k⊥AE，垂足为k，∴A1k⊥平面AED．即A1k是A1到平面AED的距离．在△A1AB1中，∴A1到平面AED的距离为解法二：连结A1D，有∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F，∴ED⊥平面A1AB．设A1到平面AED的距离为h．则又∴即A1到平面AED的距离为（19）本小题主要考查集合、函数、不等式、绝对值等基础知识，考查分析和判断能力，满分12分．解：函数y＝cx在R上单调递减不等式x＋|x－2c|>1的解集为函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1，∵∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c．∴不等式x＋|x－2c|>1的解集为如果P正确，且Q不正确，则如果P不正确，且Q正确，则c≥1．所以c的取值范围为（20）本小题主要考查利用余弦定理解斜三角形的方法，根据所给条件选择适当坐标系和圆的方程等基础知识，考查运用所学知识解决实际问题能力，满分12分．解法一：设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60(km)．若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t＋60．由余弦定理知由于PO＝300，PQ＝20t，cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°故因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2，即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．解法二：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向，在时刻t(h)台风中心的坐标为此时台风侵袭的区城是其中r(t)＝10t+60．若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有即≤(10t＋60)2，即r2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．（21）本小题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．按题意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)．设由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2，4a－4ak)．直线OF的方程为：2ax＋(2k－1)y＝0，①直线GE的方程为：－a(2k－1)x＋y－2a＝0．②从①、②消去参数k，得点P(x，y)坐标满足方程2a2x2＋y2－2ay＝0．整理得当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点．当时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长．当时，点P的椭圆两个焦点的距离之和为定值当时，点P的椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．（22）本小题主要考查数列，排列组合概念等知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分12分．（Ⅰ）解：（i）第四行17182024第五行3334364048（ii）解法一：设，只须确定正整数t0，s0数列｛an｝中小于的项构成的子集为，其元素个数为依题意满足上式的最大整数t0为14，所以取t0＝14．因为，由此解得s0＝8．∴a100＝214＋28＝16640．解法二：n为an的下标．三角形数表第一行第一个元下标为1．第二行第一个元下标为……第t行第一个元下标为第t行第s个元下标为该元等于2t＋2t-1．据此判断a100所在的行．因为，所以a100是三角形表第14行的第9个元a100＝214＋29-1＝16640．（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）解：bk＝1160＝210＋27＋23．令M＝｛c∈B|c<1160｝（其中，