2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ.理）高考数学（含答案）

2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ.理）高考数学【含答案】2/2PAGE2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第II卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率 其中表示球的半径一、选择题1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合（AB）中的元素共有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．已知,则复数z=A．-1+3i B．1-3i C．3+i D．3-i3．不等式的解集为A． B．C． D．4．设双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于A． B．2 C． D．5．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有A．150种 B．180种 C．300种 D．345种6．设、、是单位向量，且，则的最小值为A． B． C． D．7．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为A． B． C． D．8．如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为A． B． C． D．9．已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为A．1B．2 C．-1 D．-210．已知二面角为，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为A． B．2 C． D．411．函数的定义域为R，若与都是奇函数，则A．是偶函数 B．是奇函数C． D．是奇函数12．已知椭圆的右焦点为，右准线为，点，线段交于点，若,则=a． b．2 C． D．3第II卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选题其他答案标号，在试卷上作答无效。3．第II卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。13．的展开式中，的系数与的系数之和等于。14．设等差数列的前项和为，若，则=。15．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于。16．若，则函数的最大值为。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b。18．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点M在侧棱上，=60°（I）证明：M是侧棱的中点。（II）求二面角的大小。19．（本小题满分12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0．6，乙获胜的概率为0．4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。20．（本小题满分12分）在数列中，（I）设，求数列的通项公式；（II）求数列的前项和21．（本小题满分12分）如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。（I）求的取值范围；（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点的坐标。22．（本小题满分12分）设函数在两个极值点，且.（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；（II）证明：2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案第Ⅰ卷一、选择题1．（A）解：，故选A。也可用摩根律：2．（B）解：故选B。3．（D）解：验x=-1即可。4．（C）解：设切点，则切线的斜率为．由题意有又解得：5．（D）解：分两类（1）甲组中选出一名女生有种选法;（2）乙组中选出一名女生有种选法。共有345种选法．选D6．（D）解：是单位向量 。故选D7．（D）解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知．故选D8．（C）解：函数的图像关于点中心对称由此易得．故选C9．（B）解：设切点，则,又．故答案选B10．（C）解：如图分别作，连，又当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。11．（D）解：与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数．，，即是奇函数。故选D12．（A）解：过点B作于M，并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意,故．又由椭圆的第二定义,得．故选A第II卷二、填空题：13．解：14．24解：是等差数列,由,得．15．解：在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为．16．解：令，三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）分析：此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手．对已知条件（1）左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件（2）过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分．解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有：化简并整理得：．又由已知．解得．解法二：由余弦定理得：．又,。所以…………………①又，，即由正弦定理得，故………②由①，②解得。评析：从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查．在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力．另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。18．（本小题满分12分）（I）作MECD交SD于点E，则ME//AB，ME.连接AE，则四边形ABME为直角梯形。作MFAB，垂足为F，则AFME为矩形。设 由 解得 即从而, 所以M为侧棱SC的中点。（II） 又由（I）知M为SC的中点， 取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则 由此知为二面角的平面角。 连接BH，在 所以二面角19．（本小题满分12分）分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。解：记A1表示事件：第i局甲获胜，i=3，4，5， B1表示事件：第j局乙获胜，j=3，4。（I）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利。 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 由于各局比赛结果相互独立，故 （II）的可能取值为2，3由于各局比赛结果相互独立，所以 的分布列为23P0.520.48 20．（本小题满分12分）解：（I）由已知得 于是 又b1=1，故所求的数列的通项公式：（）（II）由（I）知,令于是 又，=评析：09年高考理科数学全国（一）试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。21．（本小题满分12分）解：（I）将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．①抛物线与圆有四个点的充要条件是方程①有两个不相等的正根．由此得解得又所以r的取值范围是（II）设四个交点的坐标分别为、、、。则直线AC、BD的方程为 解得点P的坐标为设及（