8.2立方根第2课时 立方根的性质和计算器求值（教学设计）初中数学人教版（2024）七年级下册

8.2立方根（第2课时)（教学设计）1.教学内容人教新版七年级下册第八章实数8.2节“立方根”第2课时，核心内容包括：立方根的性质拓展，用计算器求立方根的值，立方根在实际问题中的应用、立方根与平方根的综合辨析、利用立方根解决简单的方程问题（如型方程）。2.内容解析（1）本节课是第1课时的延伸与拓展，在掌握立方根基本概念和求法的基础上，进一步深化立方根的性质应用，强化运算能力，同时衔接实际问题与方程求解，为后续实数的综合运算、二次根式的学习奠定基础。（2）以“性质拓展-运算强化-应用落地-综合辨析”为线索，先通过推导得出的性质，通过用计算器求立方根结合实际问题（如立方体体积相关的实际应用）和方程求解，最后通过对比辨析巩固立方根与平方根的区别与联系，形成完整的知识应用体系。（3）教材注重知识的实用性和递进性，通过实际应用题和方程问题，让学生感受立方根的应用价值；同时通过对比练习，强化对平方根和立方根的区分，避免概念混淆，符合七年级学生的认知规律。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：立方根的性质)的应用；利用计算器求立方根的值；用立方根知识解决实际问题和求解型方程。教学目标（1）理解立方根的定义，能准确表述立方根的概念；掌握立方根的性质，知道正数、0、负数的立方根的特点；会用符号表示一个数的立方根，能利用立方运算求一个数的立方根（包括整数、分数、小数的立方根）。（2）通过类比平方根的学习过程，经历“观察-猜想-验证-归纳”的探究过程，培养类比推理能力和抽象概括能力；在解决实际问题和例题练习中，提升运算能力和逻辑思维能力。（3）感受数学与生活的联系，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣；在类比学习和探究过程中，培养合作意识和探究精神，增强学习自信心。2.目标解析（1）掌握立方根的性质，并能熟练运用该性质进行运算；会计算器求一个数的立方根；能运用立方根的知识解决实际问题（如立方体体积、容积相关问题）；会解简单的型方程，能综合运用立方根与平方根的知识解决基础综合题。（2）通过推导立方根的性质，培养逻辑推理能力；在实际问题和方程求解中，体会“数学建模”思想，提升知识应用能力；通过综合辨析练习，强化对比思维，提高对易混淆概念的区分能力。（3）感受立方根在实际生活中的广泛应用，增强数学应用意识；在解决综合问题和实际问题的过程中，体验成功的喜悦，提升学习数学的积极性；培养严谨的思维习惯和规范的运算能力，树立数学学习的严谨性意识。学生在第1课时已掌握立方根的概念、性质（正数、负数、0的立方根特点）和基础求法，能熟练求单个数字的立方根；同时掌握平方根的相关知识，具备一定的类比推理能力和运算能力，能解决简单的实际问题和基础方程。七年级学生已具备初步的逻辑推理能力，但抽象思维仍需具体实例支撑；对实际问题和综合问题的处理能力较弱，容易在概念混淆、运算规范、模型建立等方面出现问题；喜欢通过实例探究和练习巩固知识，对梯度化的学习内容接受度较高。潜在困难：混淆立方根与平方根的运算法则（如将平方根的乘除法则错误迁移到立方根）；运用性质时，符号处理错误（如与的关系理解不清）；实际问题中，难以快速提炼等量关系，建立正确的数学模型；综合题中，无法准确区分题目考查的是立方根还是平方根，导致解题思路偏差。基于以上分析，确定本节课的教学难点是：实际问题中数学模型的建立（如复杂立方体组合问题）；立方根性质的灵活运用。创设情景，引入新课问题：上节课我们学习了立方根的概念，大家能快速求出的值吗？有什么简便方法可以直接得出结果？追问：你发现与值的关系？引出课题：今天我们继续学习立方根的相关知识，重点探究立方根的性质拓展、计算器求一个数的立方根及实际应用。（设计意图：通过回顾旧知和实际问题引入，既巩固了第1课时的知识，又自然引出本节课的核心内容（性质拓展、实际应用），激发学生的探究兴趣，实现知识的递进衔接。）探究点1一个负数立方根的性质探究计算和，它们有什么关系？和呢？追问1：你能从中发现什么规律？一般地，.追问2：你能推导出上面的结论吗？设，则，那么，所以，即。追问3：你能用语言表述上面的结论吗？一个负数的立方根，等于这个数的相反数的立方根的相反数（或负数的立方根可以将负号提到根号外）。追问4：怎样化简下列各式：答案：探究点2.用计算器求一个数的立方根问题：类似于开平方根，我们是利用立方与立方根的关系求立方根的。实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数。我们可以用有理数近似地表示它们。同求平方根一样，我们可以借助计算器来求一个的立方根。一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）。方法：用计算器求算术平方根的操作步骤：按键“”→输入被开方数→按等号键.例如：用计算器求.只需依次按键、2、1、9、7，显示:13，所以用计算器求，只需依次按键、3显示近似值；1.442249570，所以.有些计算器需要调用备用功能键求一个数的立方根，具体操作参见叶算器的使用说明。探究点3.立方根的值与被开方数的小数点位置的关系探究用计算器计算。追问1：你发现了什么规律?被开方数的小点向左（或向右）移动3位．它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位.追问2：用计算器计算（结果保留小数点后三位），你能利用你发现的规律求出，，的近似值。答案：4.642，0.4642、0.04642、46.42.探究点4型方程的解法探究解法：追问1：方程的解是什么？为什么？根据立方根的定义，若，则，即方程的解为。追问2：你能解下列方程吗？答案：（设计意图：通过推导说明、探究法则，让学生逐步掌握立方根的性质拓展、用计算器求一个数立方根的过程，同时通过与平方根的对比，强化对法则适用范围的理解，避免概念混淆。）典型例题例1：求下列各式的值.(1);(2);（3）.【分析】根据一个负数立方根的性质和立方根的定义，可求出它的值。【详解】解：(1);(2);(3).例2：一个长方体木箱的体积是，长是宽的2倍，高是宽的3倍，求这个木箱的长、宽、高（结果保留根号）。【分析】设未知数，建立方程求解，运用立方根知识得出结果。【详解】解：设木箱的宽为，则长为，高为；根据长方体体积公式，得；化简方程：，解得；所以长为，宽为，高为。例3.已知的平方根是，的立方根是4，与是同类项，求的立方根.【分析】根据平方根的定义列式求出，再根据立方根的定义求出，根据同类项的定义求出，把求得的值代入代数式进行计算，即可得答案；【详解】解：根据题意得：，解得，，所以，所以的立方根是，答：的立方根是．(设计意图：通过基础例题和变式例题，让学生熟练掌握立方根的求法，提升运算准确性。)课本课堂练习1、2、3.；参考答案：1.(1)0.3:(2)-7:(3).2.(1)19;(2)41:(3)0.304.3.(1)1,2;(2)4,5;(3)8,9;(4)-4,-3.（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）1.设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：整数部分为1：，，；，，…，．整数部分为2：，，…；，，…．整数部分为3：，，…；，，…．(1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？(2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？【详解】（1）解：由题意可得：的最小值64，的最大值124；（2）的最小值25，的最大值35，可能的值有11种．（设计意图：强化平方根、立方根的理解）1．求下列各式中的值：(1)；(2)．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴或，∴或．2.已知a的平方根是它本身，b是的立方根，求的值【详解】因为a的平方根是它本身，所以，因为b是的立方根，即b是8的立方根，所以，则．3.如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．【详解】解：设正方体的棱长为xcm，由题意得，，解得，答：正方体的棱长约为6cm．（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）知识总结：（1）性质拓展：（负数的立方根可将负号提到根号外）；(2)用计算器求算术平方根的操作步骤：按键“”→输入被开方数→按等号键；（3）被开方数的小点向左（或向右）移动3位．它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位；（4）方程的解为；（5）实际应用：将立方体（或长方体）体积问题转化为立方根求解问题。方法总结：（1）符号处理法：利用简化负数立方根的计算，避免符号错误；（2）实际问题中，通过设未知数、建立方程（或等量关系），将实际问题转化为数学问题求解；（3）综合运用平方根与立方根知识时，先根据已知条件求出相关字母的值，再代入求解目标式子。易错提醒：（1）混淆立方根与平方根的运算法则：平方根的被开方数需非负，立方根的被开方数可任意实数；（2）审题不清：未区分题目考查的是平方根还是立方根，导致求解错