第01讲 勾股定理（知识解读+例题精讲+随堂检测）（解析版） 初中数学人教版（2024）八年级下册

第01讲勾股定理考点1：勾股定理的概念与验证

考点2:勾股定理的基础计算考点3：用勾股定理构造图形解决问题重点：（1）勾股定理的理解与应用：掌握定理内容，能熟练运用定理进行直角三角形的边长计算。（2）勾股定理的实际应用建模：能将实际问题转化为直角三角形模型。难点：（1）勾股定理的验证过程：理解用面积法（割补法）推导定理的逻辑，体会“数形结合”思想。（2）勾股定理与其他几何知识的综合应用：学会作辅助线构造直角三角形，整合等腰三角形、四边形等知识解题知识点1：勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.理解勾股定理的一些变式：，，.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【题型1用勾股定理解三角形】【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，则AC的长为（

A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键．直接根据勾股定理求解即可．【详解】∵∠B=90°，AB=5，BC=12，∴AC=A故选：B．【变式1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（

）A．3 B．3 C．5 D．1【答案】C【分析】本题考查勾股定理的基本应用，熟练掌握勾股定理是解题关键，根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，直接计算即可．【详解】解：∵两直角边长分别为1和2，∴第三边（斜边）长=1故选：C．【变式2】如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB=90°，已知BC=1.5m，AC=2m，则ABA．1.5m B．2m C．2.5m【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边平方．根据勾股定理即可进行解答．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1.5m，根据勾股定理可得：AB则AB=2.5m故选：C．【变式3】为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离BC为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（

）A．12米 B．14米 C．16米 D．18米【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是认清直角边与斜边．先根据勾股定理求出AC米，再起重臂顶端A离地面的高度即可．【详解】解：∵AB=20米，BC=16米，AC⊥BC∴AC=A∵点B到地面的竖直距离为2米，∴12+2=14米，∴起重臂顶端A离地面的高度为14米．故选：B．

【题型2勾股数问题】【典例2】下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1,1,2 B．2,3,4 C．5,12,13 D．6,6,6【答案】C【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2【详解】解：A选项：12+12=2B选项：22+32=13C选项：52+122=169D选项：62+62=72故选：C.【变式1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（

）A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5【答案】A【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可．【详解】A．62B．52C．72D．22故选：A．【变式2】右面是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（

）A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明【答案】C【分析】本题考查勾股定理及勾股数，根据勾股定理依次判断即可．【详解】解：A、0.3,0.4,0.5不是正整数，不属于勾股数，不符合题意；B、42C、82D、5不是正整数，不属于勾股数，不符合题意；故选：C．【变式3】清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为．【答案】13，84，85【分析】本题考查了数的规律问题，勾股数．观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为b+1，根据勾股定理列方程求解．【详解】解：由题意可知，第⑥组勾股数的第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为b+1，由勾股定理，得132即169+b整理得169=2b+1，解得b=84，故b+1=85．因此第⑥组勾股数为13,84,85．故答案为：13,84,85．【题型3以直角三角形三边为边长的图形面积】【典例3】如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（

）A．28cm2 B．42cm2 C．【答案】C【分析】本题主要考查正方形的面积与勾股定理的性质，将勾股定理与正方形的面积结合是解题的关键．首先将直角三角形的直角边与正方形的边长联系起来，再根据勾股定理将正方形的面积表示，再结合已知斜边的长度，即可得到A，B两个正方形的面积之和．【详解】解：如图，令直角三角形的三边分别为a，b，c，∴在直角三角形中，a2+∴a2∵以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，∴S正方形A=∴A，B两个正方形的面积之和为49，故选：C．【变式1】如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（

）A．514 B．8 C．16 D．64【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理．根据正方形的面积并结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图，设直角三角形的三边长分别为a，b，c，由题意得a2∴a2∴字母A所代表的正方形的面积为a2故选：D．【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为225、400，则AB的长为（

）A．625 B．175 C．600 D．25【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键．根据勾股定理的计算得到AB【详解】解：根据图示得到，AB∴AB=25（负值舍去），故选：D．【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=17，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为（

A．225 B．289 C．324 D．170【答案】B【分析】本题考查了勾股定理在图形面积中的应用，熟记定理内容是解题关键．【详解】解：正方形AEDC的面积=AC正方形BCGF的面积=BC∵∠ACB=90°，∴AC2故选：B知识点2：勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.图（3）中，所以.【题型4勾股定理的证明方法】【典例4】勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为a，b，且b>a，斜边为c)拼成一个边长为c的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”．(1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理．(2)若b=15，c=17【答案】(1)见解析(2)49【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键．（1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可；（2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积．【详解】（1）证明：∵最外面的大正方形的边长为c，∴最外面的大正方形的面积为c2∵中间小正方形的边长为b−a，∴中间小正方形的面积为b−a2又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，∴b−a2∴a2∴a2（2）解：∵b=15，c=17，a∴a2∴a=8或a=−8（舍去），∴中间小正方形的面积为b−a2【变式1】历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中Rt△ADE≌Rt△BEC,E【答案】见解析【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积的公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．根据梯形与三角形的面积公式即可得到结论；【详解】解：因为梯形ABCD的面积=1梯形ABCD的面积=△DAE的面积+△DEC的面积+△ECB的面积=1所以12所以a2【变式2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2【答案】见解析【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．【详解】证明：如图（1），连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b−a．∵SS四边形∴1∴a【变式3】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．(1)由图2正方形面积的等量关系可列式：______，化简得直角三角形中的勾股定理，该定理的结论用字母表示：______；(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，∠AED=∠ACB=90°，记AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，求证（1）中的定理结论．【答案】(1)c2=4×(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；（2）由四边形ABCD的面积两种计算方式列出等式，即可求解．【详解】（1）解：∵大正方形的面积=c2，大正方形的面积也可以表示为∴c2∴c2故答案为：c2=4×1（2）证明：如图：连接BD，∵∠AED=∠ACB=90°，AE=BC，DE=AC，∴△ABC≌∴∠ADE=∠BAC，∴∠DAE+∠ADE=90°=∠DAE+∠BAC，∴∠DAB=90°，∴△DAB是等腰直角三角形，∵S四边形S四边形∴12∴c2

【题型5以弦图为背景的计算题】【典例5】公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的边长是（

）A．34−3 B．1 C．2 【答案】B【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算即可解题．【详解】解：根据勾股定理可得b=c∴小正方形ABCD的边长为4−3=1，故选：B．【变式1】如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（

）A．36 B．72 C．18 D．144【答案】C【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案．【详解】解：一个直角三角形的面积为81−94故选：C．【变式2】将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若ab=8，c=5，则图2中阴影部分的面积为（

）

A．11 B．12 C．9 D．10【答案】C【分析】本题考查了求阴影部分的面积，如图可知，正方形的面积减去四个直角三角形的面积等于阴影部分的面积．【详解】解：S阴影故选：C．【变式3】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB=10，AE=8，则正方形A．2 B．4 C．8 D．12【答案】B【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．【详解】解：直角三角形直角边的较短边为102正方形EFGH的面积=10×10−8×6÷2×4=100−96=4．故选：B．

【题型6用勾股定理构造图形解决问题】【典例6】某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．【答案】这辆货车不能通过这个大门，理由见解析【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意求出BE的长，进而求出BB′的长，即可得出答案，根据题意求出【详解】解：这辆货车不能通过这个大门，理由如下：如图，设BB′与矩形的宽的交点为

∵AB=1m,AE=∴BE=A∴BB∴这辆货车不能通过这个大门．【变式1】如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多少米？【答案】17米【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，读懂题意，得到图形中的相关线段长，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，数形结合，由BD=BC+CD【详解】解：如图所示，结合题意，AC=8米，AB=17米，AE=CD=2米，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，则由勾股定理可得BC=∴BD=BC+CD=15+2=17（米）．【变式2】有一秋千的示意图如图所示．静止时秋千的踏板离地面的垂直高度DE=1m，将秋千往前水平推送4m（水平距离BC=EF=4m）时，踏板离地面的垂直高度为3m（【答案】绳索AD的长度是5【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设AB=AD=x，在Rt△ABC【详解】解：由题意可得CD=CE−DE=2．设AB=AD=x，则AC=x−2．在Rt△ABC中，可得4解得x=5．∴绳索AD的长度是5m【变式3】如图，由太原到北京的“和谐号”动车在距离铁轨300米的点C处（即CD=300米，CD⊥AB），当动车车头在点A处时，14秒后，动车车头由A处到达点B处，【答案】50米/秒【分析】解直角三角形求出BD，AD，再根据速度=路程【详解】解：在Rt△BCD中，BC∴BD=在Rt△ADC中，∠ACD=45°∴CD=DA=300米，∴AB=BD+AD=400+300=700米，∴运动速度=70014∴这列动车的平均速度50米/秒．【点睛】本题考查勾股定理的应用，路程,速度，时间的关系等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【题型7勾股定理与无理数】【典例7】如图所示，已知BC=2，∠OCB=90°，以点O为圆心，OB为半径画弧交左侧数轴于点A．(1)写出数轴上点A所表示的数为______；(2)比较大小：点A所表示的数____________−3.5（填写“>”或“<”）；(3)在数轴上找出10对应的点，（保留作图痕迹）【答案】(1)−(2)<(3)见解析【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理．（1）根据勾股定理求出OB=BC2（2）先求出−132=13，−3.52=12.25（3）过点D作DF⊥OD，在DF上截取DE=1，连接OE，以点O为圆心，OE为半径画弧，交数轴于点G，则点G即为所求作的点．【详解】（1）解：在Rt△OBCOB=B∴OA=OB=13∴点A所表示的数为−13故答案为：−13（2）解：∵−132=13又∵13>12.25，∴−13故答案为：<；（3）解：如图，点G表示的数为10．∵OD=3，DE=1，∠ODE=90°，∴OE=1∴OG=OE=10【变式1】如图，若点A在数轴上表示的数是−1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是．【答案】−1+10/【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格，解题的关键在于能够根据题意求出AD的长．先利用勾股定理求出AD的长，即可得到AE的长，再根据实数与数轴的关系求解即可．【详解】解：由题意得：AE=AD=1∵点A表示的数为−1，∴点E表示的数为10−1故答案为：10−1【变式2】如图，在数轴上点P表示的实数是．【答案】2−13/【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．根据勾股定理与无理数的关系，进行计算即可．【详解】解：根据勾股定理得，22∴点P表示的实数是2−13故答案为：2−13【变式3】如图，在数轴上点A表示的实数是．【答案】2−5/【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长=2∴点A表示的实数是2−5故答案为：2−51．直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（

）A．7 B．5 C．7 D．8【答案】B【分析】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，利用勾股定理直接计算斜边长．【详解】解：∵直角三角形两直角边分别为3和4，∴斜边长c满足c2∴c=25故选：B．2．下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25【答案】D【分析】本题主要考查勾股数的定义，熟练掌握“满足a2+b2=c2，且a，b，c根据勾股数是满足a2【详解】解：A．∵2和3不是正整数，∴不符合勾股数定义．B．∵0.3，0.4，0.5不是正整数，∴不符合勾股数定义．C．∵22+32=4+9=13，4D．∵72+242=49+576=625故选：D．3．在Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，若AC=6，则BC的长为（

A．8 B．12 C．63 D．【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理、含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质求出AB，再根据勾股定理求出BC．【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6则AB=2AC=2×6=12，由勾股定理得：BC=A故选：C．4．如图，字母A所代表的正方形的面积是（

）A．150 B．100 C．50 D．10【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，由题意得BC2=125，C【详解】解：如图，∠BDC=90°，由题意得，BC2=125∴BD∴A所代表的正方形的面积是100，故选：B．5．如图，这是爱心超市局部位置的平面示意图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为10米，点B到终点C的距离是10米，且∠ABC=90°，则A，C两点之间的距离是（

）A．10米 B．102米 C．103米 D．【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用勾股定理求解即可．【详解】解：由题可知AB=10米，BC=10米，∠ABC=90°∴AC=A故选：B．6．如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，OA长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（）A．5−2 B．2−5 C．5 D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出OA，推出OB=OA=5【详解】解：由勾股定理得，OA=2∵以O为圆心，OA长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，∴OB=OA=5∴点B表示的实数是−5故选：D．7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，连接AE，则AE的长为．【答案】2【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质得出AB=BC=4，∠B=90°，求得BE=2，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB=BC=4，∠B=90°，∵点E是BC的中点，∴BE=1在Rt△ABE中，AE=故答案为：258．如图，若正方形A，C的面积分别为16和9，则正方形B的面积是．【答案】7【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出正方形B的面积即可．【详解】解：如图：∴∠EDF=90°∴D∵这些四边形都是正方形∴S正方形A=E∴EF2∴D因此，正方形B的面积是7，故答案为：7．9．如图，在边长均为1个单