第02讲 勾股定理的应用（知识解读+例题精讲+随堂检测）（解析版） 初中数学人教版（2024）八年级下册

第02讲勾股定理的应用考点1：实际测量问题

考点2:几何折叠问题考点3：立体图形最短路径问题重点：（1）建模能力培养：能将实际问题、几何图形问题转化为直角三角形模型，明确勾股定理的适用条件。（2）定理综合运用：熟练运用勾股定理进行边长计算，掌握勾股定理逆定理的判定方法。（3）数学思想渗透：理解并运用转化思想（立体→平面、非直角→直角）和方程思想（折叠问题设未知数）难点：（1）折叠问题的等量关系分析：帮助学生准确识别折叠前后的对应线段，建立未知与已知的联系。（2）立体图形的展开与路径讨论：让学生理解“化立体为平面”的本质，掌握长方体多种展开方式的分类讨论方法。（3）综合题的辅助线构造：引导学生总结“作高”这一转化技巧，突破非直角三角形的解题障碍。（4）数学思想的落地应用：避免思想流于形式，让学生在实际解题中主动使用转化、方程思想解决问知识点：勾股定理的应用应用类型思路解题步骤典型案例实际测量

（高度/距离）构直角三角形，用勾股定理算边长建模标直角2.统一单位代入公式测旗杆高、河宽几何折叠

（矩形/正方形）折叠前后线段相等，设未知数列方程1.找等量线段2.构直角三角形3.勾股定理列方程矩形折叠求线段长立体最短路径

（圆柱/长方体）化立体为平面，两点之间线段最短展开立体表面

2.确定两点构直角三角形3.计算路径长蚂蚁爬圆柱/长方体【题型1求梯子滑落高度】【典例1】某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE【答案】BE=2.7【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．【详解】解：由题意得AD=AC，∠AEB=∠ABC=90°，∵AE=0.7m，DE=2.4∴AC=AD=A∵BC=1.5m∴AB=A∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7m即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE=2.7m【变式1】某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表：课题定滑轮的物理实验实验器材定滑轮、滑块B、木块C，绳子（没有弹性）测量工具尺子测量示意图

说明：滑块B、木块C均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮A．图1为初始测量状态，图2为将木块C竖直升高后的状态，此时滑块B向左滑至点B′处．其中AC⊥BC测量数据BC=6dm，AC=8dm(1)如图1，求绳子的总长度；(2)如图2，求滑块B向左滑动的距离BB【答案】(1)绳子的总长度为18dm(2)滑块B向左滑动的距离为9dm【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）结合AC=8dm，BC=6dm，∠ACB=90°，运用勾股定理列式计算，得AB=10，此时（2）先运算AB′=10+7=17【详解】（1）解：根据题意得AC=8dm，BC=6dm，在Rt△ABC中，A即AB解得AB=10．∴AB+AC=10+8=18dm答：绳子的总长度为18dm（2）解：根据题意，得∠ACB′=90°，AC=∴AB在Rt△AB′即172∴B′∴B答：滑块B向左滑动的距离为9dm【变式2】一架梯子长2.5米，靠在墙上，梯子底端离墙0.7米．(1)求梯子顶端到地面的高度；(2)若梯子顶端下滑0.4米，底端将水平滑动多少米？【答案】(1)2.4米(2)0.8米【分析】（1）设梯子顶端到地面的高度为x米，根据勾股定理列出方程解答即可求解；（2）设底端将水平滑动y米，根据勾股定理列出方程解答即可求解；本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键．【详解】（1）解：设梯子顶端到地面的高度为x米，由勾股定理得，x2解得x=2.4，答：梯子顶端到地面的高度为2.4米；（2）解：设底端将水平滑动y米，由题意得，2.4−0.42解得y=0.8，答：底端将水平滑动0.8米．【变式3】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯AB长25m斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离OB=20m,∠AOB=90°，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到B′【答案】4【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．在Rt△AOB中，根据勾股定理可得OA的长，从而得到OA′的长，然后在Rt【详解】解：根据题意得：AB=A在Rt△AOB中，OB=20∴OA=A∵AA∴OA在Rt△A′∴BB【题型2求旗杆高度】【典例2】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题风筝离地面垂直高度探究问题背景秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝．测量数据抽象模型某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．

问题产生经过讨论，兴趣小组得出以下问题：（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？问题解决⋯该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为9.5米；（2）他应该再放出8米线【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先理解题意，运用勾股定理得出AC=8米，再把数值代入AD=AC+CD，即可作答．（2）先整理得出A′C=A′A+AC=20（米），再把数值代入A【详解】解：（1）由题意得：∠ACB=90°，BC=15米，AB=17米，CD=1.5米，在Rt△ABC中，由勾股定理得：A∴AC=17∴AD=AC+CD=8+1.5=9.5（米），答：风筝离地面的垂直高度为9.5米；（2）如图，当风筝沿DA方向再上升12米时，∴A′在Rt△A′∴A∴25−17=8（米），答：他应该再放出8米线．【变式1】10月25−26日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同学买了一个风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为24m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为25m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，(1)求风筝离地面的垂直高度CD；(2)在余线仅剩6m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升11【答案】(1)8.5(2)能成功，理由见解析【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，由勾股定理得出CE（2）假设能上升11m，如图，延长DC至点F，使CF=11m，连接AF，根据勾股定理求出【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BD=24m在Rt△AECCE=A∴CD=CE+CD=7+1.5=8.5m（2）解：能成功，理由如下：假设能上升11m如图，延长DC至点F，使CF=11m，连接AF∴EF=CE+CF=7+11=18m，在Rt△AEF中，AF=∵AC=25m，余线剩6∴25+6=31>30，∴能成功上升11m【变式2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推2m至C处时，即水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5【答案】绳索AC的长为5【分析】本题考查了勾股定理的应用．设AC=xm，则AD=AB−DB=x−1m【详解】解：由题意可得AC=AB，DE=CF=1.5m，CD=EF=2m，∴BD=DE−BE=1.5−0.5=1m设AC=xm，则AD=AB−DB=在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=x−1m，AC=x由勾股定理得AD即x−12解得x=5故绳索AC的长为52【变式3】如图①，AB为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多1m(1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳AC笔直，如图②，此时测量得出BC=5m，请按此方法求出旗绳AC(2)第二小组的方法是利用2m高的标杆DE，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳AD笔直，且标杆DE【答案】(1)13(2)69【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键将实际问题转化为几何问题．（1）根据题意可知△ABC构成直角三角形，设AC=x,AB=x−1，根据勾股定理即可求得AC的长度；（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，于是构成矩形DEBF，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求得DF的长，即为标杆和旗杆的水平距离的长度．【详解】（1）设旗绳AC的长度为x m，则旗杆AB的长为x−1∵AB⊥BC,∴∠ABC=∴A∴解得：x=13，即AC=13 m答：旗绳AC的长度为13 m（2）由题意可知：AB=12过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DF=BE,FB=DE=2m，∴AF=AB−FB=12−2=10(m),∴DF=答：标杆与旗杆的水平距离为69 m【题型3求小鸟飞行距离】【典例3】如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高5m，旗杆高21m，树与旗杆之间的水平距离为【答案】20【分析】本题考查了勾股定理的应用，作AE⊥CD于E，连接AC，由题意得：DE=AB=5m，AE=BD=12m，∠AEC=90°，求出【详解】解：如图，作AE⊥CD于E，连接AC，由题意得：DE=AB=5m，AE=BD=12m，∴CE=CD−DE=21−5=16m∴AC=A即：无人机飞行的最短距离为20m【变式1】如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？【答案】树高为9米．【分析】由题意知AD+DB=BC+CA，设BD=x米，则AD=(18−x)米，且在Rt△ACD中CD2【详解】解：由题意知AD+DB=BC+CA，且CA=12米，BC=6米，设BD=x米，则AD=(18−x)米，在Rt△ACD中：C即(18−x)2解得x=3，故树高为CD=6+3=9米．答：树高为9米．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD+DB=BC+CA的等量关系，并根据勾股定理CD【变式2】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．【答案】17米【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度．【详解】解：由勾股定理得；BC∴BC=15（米），∵BD=AB−AD=20−12=8（米），∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键．【变式3】如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？【答案】小鸟至少飞行了10米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米，过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB，∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），∴AE=AC-EC=10-4=6（米），在Rt△AEB中，AB=A答：小鸟至少飞行了10米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．【题型4求大树折断前的高度】【典例4】如图，线段CD表示一棵树，CD上的点B处有两只猴子，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点B处沿线段BC爬到点C处，再从点C处沿线段CA爬到点A处；另一只猴子先从点B处沿线段BD爬到点D处，再从点D处沿线段DA跳跃至点A处，已知AC=2BC=10米，AC⊥DC，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度CD．【答案】CD=7.5【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设CD=xm，则有BD=x−5m【详解】解：∵AC=2BC=10m∴AC=10m∴AC+BC=15m设CD=xm，则有BD=x−5m∵AC⊥DC，∴AC2+D解得：x=7.5；即CD=7.5m【变式1】如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6【答案】8【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理计算边长．先确定折断后形成的直角三角形的直角边（树高残留部分）和斜边（折断部分长度），再用勾股定理求出另一条直角边（树顶端到树底部的距离）．【详解】解：由题意，树高16m，离地面6则折断部分长度为16−6=10m设树顶端到树底部的距离为xm∵树残留部分与地面垂直，∴由勾股定理得：62即x2∴x=8（舍去负根）．答：此处离树底部8m【变式2】如图，一棵32m高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点16m处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点5m的D【答案】这架梯子的长为13【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设AB的长为xm，则AC=(32−x)m，利用勾股定理求出AB，再利用勾股定理即可求出【详解】解：设AB的长为xm，则AC=(32−x)根据题意，得AB即x2解得x=12．∴AB的长为12m在Rt△ABD中，BD=5由勾股定理，得AD=A答：这架梯子的长为13m【变式3】如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘

【答案】树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出BD+DA=BC+CA的等量关系并根据直角△ACD求BD是解题的关键．已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA=BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．【详解】解：设BD为x米，且存在BD+DA=BC+CA，即BD+DA=15，DA=15−x，在直角△ACD中，AD为斜边，则CD即(5+x)解得x=2.5，∴AD=15−x=12.5米，CD=BC+BD=5米+2.5米=7.5米，答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米【题型5解决水杯中筷子问题】【典例5】我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题．（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈=10尺，1米=3尺）【答案】水池深12尺，芦苇长13尺【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；找到题中的直角三角形，设水深为x尺，则芦苇长为x+1尺，根据勾股定理可得x2【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为x+1尺，由题意得：x2解得：x=12，∴芦苇的长度为x+1=1+12=13（尺），答：水池深12尺，芦苇长13尺．【变式1】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即∠ACB=90°，AC=5，DC=1，BD=BA，求BC的长．【答案】BC的长为12【分析】本题考查勾股定理的实际应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．设BC=x，则BD=BA=x+1【详解】解：设BC=x，则BD=BA=x+1由题意，得x+12解得x=12，即BC=12．【变式2】将一根长是22cm的细木棒DE置于内部底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设细木棒露在杯子外的部分CD的长为h【答案】7【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案．【详解】解∵AB=9，BC=12，∴AC=A当点E与A重合时，CD最短为：22−15=7，当点E与B重合时，CD最长为：22−12=10，∴h的取值范围是：7cm【变式3】如图，一个直径为10cm（即BC=10cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm（即FG=1cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁

【答案】13【分析】设杯子的高度是xcm，则筷子的高度为x+1【详解】解：设杯子的高度是xcm，则筷子的高度为x+1

∵杯子的直径为10cm∴DF=5cm在Rt△DEFx2解得x=12，∴筷子EG=12+1=13cm答：筷子GE的长度为13cm【题型6解决航海问题】【典例6】如图所示，一艘轮船以18km/h的速度离开港口O【答案】它们航行两小时后，相距60km【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）．根据题意可得∠AOB=90°，OA，OB，根据勾股定理计算即可．【详解】解：根据题意可得：∠AOB=90°×1OA=18×2=36kmOB=24×2=48km∴AB=36∴它们航行两小时后，相距60km【变式1】如图，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口1.5h【答案】30海里【分析】本题考查的是勾股定理的应用，方向角，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答．【详解】解：连接BC，由题意得，AB=16×1.5=24海里，AC=12×1.5=18海里，在△ABC中，∠BAC=90°，由勾股定理得AC∴BC∴BC=30（海里）．答：两船1.5h【变式2】如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置．(1)求CD的长：(2)求船向岸边移动了多少米？【答案】(1)10米(2)船向岸边移动了12−53【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键．（1）用绳子BC的长减去收起的绳长即可求解；（2）先根据勾股定理求出AB,AD，再根据BD=AB−AD求解即可．【详解】（1）解：∵此人以0.5米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，∴CD=13−0.5×6=10（米），（2）解：∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=13米，AC=5∴AB=13∴在Rt△ACD中，AC=5米，CD=10AD=C∴BD=AB−AD=12−5答：船向岸边移动了12−53【变式3】在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西55°方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西35°方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．(1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间；(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于0.6小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？【答案】(1)2.5小时(2)符合航行安全标准，理由见解析【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先得出∠BCA=35°+55°=90°，结合勾股定理列式AB=AC2（2）先在AB上取两点M，N使得CM=CN=25海里，结合S△ABC=12AC⋅BC=12【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西55°方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西35°方向上∴∠BCA=35°+55°=90°，∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里∴AB=A∵货船的航行速度为20海里/小时∴t=50答：货船从A港口到B港口需要2.5小时；（2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下：如图：过C作CD⊥AB交AB于D，在AB上取两点M，N使得CM=CN=25海里∵S△ABC∴CD=AC⋅BC∴DM=C∵CM=CN，∴△CMN是等腰三角形∵CD⊥AB∴MN=2DM=14海里，∴t1∵0.7>0.6，∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．【题型7求河宽】【典例7】学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告．活动课题测量某水潭的宽度AB测量工具测角仪、测距仪等测量过程及示意图如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与AB垂直的直线l上取点C（AC⊥AB于点A），用测距仪测得AC、BC的长测量数据AC=8米，BC=17米…………请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度AB．【答案】水潭的宽度AB为15米．【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可．【详解】解：∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵AC=8米，BC=17米，∴AB=B∴水潭的宽度AB为15米．【变式1】如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．求该河的宽度【答案】75米【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．设BC=x【详解】解：根据题意可知：设BC=x米，则AC=(x+10)米，在Rt△ABC中，∠B=90°，A即(x+10)2解得：x=75，即BC=75米，答．该河的宽度BC为75米．【变式2】为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B=90°），如图所示，通过测量得AC长为10m，BC长为8m，求出图中A、B两点之间的距离．【答案】A、B两点之间的距离是6m【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（∠B=90题目中△ABC是直角三角形且∠B=90°，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即AB2+BC2=AC2．要求A、【详解】解：∵△ABC是直角三角形且∠B=90∴AB和BC为直角边，AC为斜边．根据勾股定理可得：AB∵AC=10m，BC=8AA由于线段长度为正数，得：AB=故A、B两点之间的距离是6m【变式3】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5【答案】2米【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键．根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m所以BC即为河水深度，A′∵A∴△A∴A∴1.5解得：BC=2m答：河水的深度为2米．【题型8求台阶上地毯长度】【典例8】某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C=90°，AC=3m，AB=5(1)求BC的长；(2)若已知楼梯宽2.8m【答案】(1)BC的长为4m(2)490元【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．（1）由勾股定理列式计算即可；（2）由长方形面积公式计算即可．【详解】（1）解：∵∠C=90°，AC=3m，AB=5∴BC=A答：BC的长为4m（2）解：地毯长为：3+4=7m∴地毯的面积为2.8×7=19.6m∵每平方米地毯25元，∴需要花费25×19.6=490（元）；答：需要花费490元地毯才能铺满所有台阶．【变式1】如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（

）A．4米 B．8米 C．9米 D．7米【答案】D【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键.先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和.【详解】解：楼梯的水平宽度=52∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，∴地毯的长度至少为：3+4=7米，故选D.【变式2】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为4m，地毯的价格为100元/m2【答案】6800【分析】本题考查了勾股定理的实际应用.先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案．【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为132∴购买地毯需花费12×4+5×4×100=68×100=6800故答案为：6800．【变式3】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽【答案】1020【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．【详解】解：由勾股定理得AB=A则地毯总长为12+5=17(m则地毯的总面积为17×2=34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34×30=1020（元）．故答案为：1020．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．【题型9判断汽车是否超速】【典例9】如图，已知某高速公路限速100km/h，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线l上的点C处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪C处正前方50 m的B处，经过4 s后，大巴车到达A(1)求AB的距离；(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据1 m【答案】(1)120米(2)大巴车超速了【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键．（1）由勾股定理求出线段AB长度即可得到答案；（2）先计算出大巴车的速度，将速度化为 km/h，与高速公路限速【详解】（1）解：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=50m，AC=130m∴AB的距离为120 （2）解：大巴车的速度为120÷4=30m则30m/s=∵108 km∴大巴车超速了．【变式1】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过19m/s．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m处，过了2s

【答案】超速了，理由见解析【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得BC=AB2−AC【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下：如图，在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m根据勾股定理得：BC=A∴小汽车的速度为v=40÷2=20m/s∵20m/s∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【变式2】行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速40km/h，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点P到该路段l的距离（OP的长）为40米，测得一辆汽车从A处匀速行驶到B处用时3秒，∠APO=【答案】未超速，理由见解析【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．先求出OB=OP=40，∠PAO=90°−∠APO=30°，则AP=2OP=80，可求出AO=AP2【详解】解：在Rt△BPO中，OP=40,∠BPO=45∴Rt△BPO是等腰直角三角形，∴OB=OP=40，在Rt△BPO中，∠APO=60∴∠PAO=90°−∠APO=30∴AP=2OP=80，∴AO=AAB=OA−OB=403∴此车的速度为283∵40km/h∴此车未超速．【变式3】如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方120米的C处，过了8秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米．(1)求BC的长；(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：1m/s=3.6km/h）【答案】(1)160米(2)超速了，理由见解析【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理求出BC的长即可；（2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．【详解】（1）解：在Rt△ABC中，AC=120,AB=200∴BC=A答：BC的长为160米；（2）解：小汽车的速度为：v=160∵72>70，故小汽车超速了．【题型10判断是否受台风影响】【典例10】海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在5∼11月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点?(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时?【答案】(1)15小时(2)12小时【分析】本题考查勾股定理的应用和数形结合，掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据题意，利用勾股定理，求出BD，计算即可求解；（2）根据题意找到受台风影响的临界点E，F，在利用勾股定理求出DE、DF和EF的长，计算即可求解．【详解】（1）解：由题可得，AB=340km，AD=160km，在Rt△ABD中，BD=AB300÷20=15（h），则台风中心经过15小时从B点移到D点；（2）如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响，由题意得，AE=AF=200km，在Rt△ADE中，DE=AE在Rt△ADF中，DF=AF∴EF=240（km），240÷20=12（h）则A市受到台风影响的时间持续12小时．【变式1】台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为130km，即距离台风中心为130km的区域都会受到台风的影响．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的路线，A是大型农场，且AB⊥AC．若A，B之间相距150km，A，C之间相距200【答案】农场A会受到台风的影响，理由见解析【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键．先利用勾股定理求出BC的长度，再通过三角形面积公式求出A到BC的距离AD，最后比较AD与台风影响半径130km的大小，判断农场A是否受影响．【详解】解：农场A是否会受到台风的影响，理由如下：过点A作AD⊥BC于D．∵AB⊥AC，AB=150km，AC=200km∴在Rt△ABCBC====250km∵S∴1解得AD=120km∵120<130，∴农场A会受到台风的影响．【变式2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点之间的距离CA，CB分别为300km，400km，AB=500km，以台风中心为圆心周围250(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若海港C受台风影响，且台风影响海港C持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港C不受台风影响，则忽略此问）【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析(2)台风中心移动的速度为20【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）过点C作CD⊥AB于点D，通过勾股定理逆定理判断△ACB是直角三角形，利用面积法求出CD的长，比较CD与250km（2）设台风中心移动到点E、F处时刚好影响海港，连接CE、CF，利用勾股定理求出ED的长度，进而得到EF的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可．【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下：过点C作CD⊥AB于点D，如图：∵AC=300km、BC=400km、∴A∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°∴即300×400=500CD∴CD=240∵240∴海港C受台风影响；（2）解：设台风中心移动到点E、F处时刚好影响海港，连接CE、CF，如图，∴EC=FC=250km时，正好影响海港C，在Rt△CDEED=∴EF=140∵台风影响海港C持续的时间为7小时∴140÷7=20∴台风中心移动的速度为20答：台风中心移动的速度20千米/小时．【变式3】2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段BC表示台风中心在深圳附近从C地向西北方向移动到B地的路径，A是深圳市某观测点，且AB⊥AC．已知A、C之间相距300km(1)判断观测点A是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由．(2)若台风中心的移动速度为20km/h【答案】(1)观测点A会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析(2)观测点A受台风影响的时间有7小时【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理．（1）过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出AD长度，最后进行比较即可；（2）作AE=AF=250km【详解】（1）解：观测点A会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∴由勾股定理得，BC=A由等面积得AD=AB⋅AC∵240<250，∴观测点A会受到台风“桦加沙”的影响；（2）解：如图所示，作AE=AF=250km由勾股定理得，DE=A根据题意，EF=2DE=140km140÷20=7（小时）∴观测点A受台风影响的时间有7小时．【题型11选址使到两地距离相等】【典例11】如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路AB同侧的点C，D处，已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，AB=2.2km，AD=1.7km，BC=0.5km．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路AB(1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？(2)求∠CED的度数．【答案】(1)0.5(2)90°【分析】（1）设AE=xkm，则BE=2.2−xkm，根据勾股定理将D（2）根据SSS证明△AED≌△BCE，则可得∠AED=∠BCE，由∠BCE+∠BEC=90°可得∠AED+∠BEC=90°，进而可得∠CED=90°．本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键．【详解】（1）解：在Rt△AED中，D在Rt△BEC中，C∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等，∴DE=CE．设AE=xkm∵AB=2.2km∴BE=2.2−x∵AD=1.7km，BC=0.5∴1.72解得x=0.5，∴游客服务中心应建在距点A0.5km（2）解：由（1）可知AE=0.5km，BE=2.2−0.5=1.7km，∵AD=1.7km，BC=0.5∴AE=BC，AD=BE．在△AED和△BCE中，AE=BCAD=BE∴△AED≌△BCESSS∴∠AED=∠BCE．∵∠B=90°，∴∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠CED=180°−∠AED+∠BEC【变式1】某市准备在铁路AB上修建火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出行．如图，C城到铁路AB的距离AC=20km，D城到铁路AB的距离DB=60km，AB=100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D两城距离相等的E处修建火车站，求AE【答案】AE=66km，【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出CE和DE，再根据CE=DE建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键．【详解】解：设AE=xkm，则BE=(100−x)根据题意，得CE=DE．∴202解得x=66．∴100−x=34．∴AE=66km，BE=34【变式2】如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？【答案】煤栈应建在距A点16千米处．【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案．设煤栈的位置为点E，AE=x千米，则BE=AB−AE=40−x（千米），分别在Rt△ADE和Rt△BEC中，利用勾股定理表示出CE和DE，然后通过【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接DE，CE设AE=x千米，则BE=AB−AE=40−x∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴在Rt△ADE中，D在Rt△BEC中，C∵CE=DE，∴x2解得x=16，即AE=16千米，∴煤栈应建在距A点16千米处．【变式3】如图，九龙大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=8km，CB=6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D(1)求E站应建在离A点多少km处？(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E【答案】(1)E站应建在离A点6km处(2)2小时【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得AE的长是解答的关键．（1）设AE=xkm，则BE=14−xkm（2）利用勾股定理求得DE=10km【详解】（1）解：设AE=xkm，则BE=∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴∠A=∠B=90°，在Rt△ADE中，D在Rt△BCE中，C∵C，D两商场到E站的距离相等，∴DE=CE，则DE∴DA2+AE2∴82+x∴E站应建在离A点6km处；（2）解：在Rt△ADE中，DE=10÷5=2h答：某人需要多少小时从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E【题型12求最短路径】【典例12】如图，若圆柱的底面周长是12cm，高是5cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（A．5cm B．10cm C．13cm【答案】C【分析】本题主要考查圆柱的展开图、勾股定理和最短距离，将圆柱的侧面展开为矩形是解题的关键．首先将圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD，根据已知条件即可得到矩形的长和宽，进而利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD，∵圆柱的底面周长是12cm，高是5∴AC=12cm，BC=5在Rt△ACB中，AB=∴这条彩带的最小长度是13cm故选：C．【变式1】如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BBA．8 B．25 C．210 【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可．【详解】解：①沿CC在Rt△MB1N中，B1∴MN=B②沿B1在Rt△MNH中，NH=B1C1∴MN=M∵42∴最短路线长是42故选：D．【变式2】如图，一个圆柱底面周长为16cm，高为6cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（

A．8 B．10π C．73 D．10【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握圆柱的侧面展开图是矩形是解题的关键．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的顶点A到边的中点B的距离，由勾股定理求出AB的长即得到问题的答案．【详解】如图，过B作BC⊥AC于点C，连接AB，∵AC=12×16=8，∴AB=A故选：D．【变式3】如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为4cm，高为6cm．若一只蚂蚁从该棱柱底面的顶点A处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为（

A．14cm B．10cm C．213【答案】B【分析】本题主要考查了立体图形侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体路径转化为平面线段并运用勾股定理比较长度是解题的关键．将四棱柱侧面展开，分两种情况得到平面图形，利用勾股定理分别计算路径长度，再比较得出最短距离．【详解】如图1，展开侧面后，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4×2=8cm，∴此时距离AB=8

如图2，展开侧面后，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，∴AB=4∵10<410∴最短距离为10cm故选：B．【题型13折叠问题】【典例13】如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则BF的长为（A．6cm B．7.5cm C．5cm 【答案】C【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，BC'=DC，C'F=CF，∠【详解】解：如图，记点C的对应点为C'∵长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm∴DC=AB=3cm，BC=AD=9cm，由折叠可得，BC'=DC=3cm，设BF=xcm，则C在Rt△BC'∴32+9−x则BF的长为5cm．故选：C．【变式1】如图，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D在BC边上，连接AD，沿AD翻折，使点C落在AB边点E上，则A．4 B．4.8 C．5 D．5.2【答案】C【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键．先由勾股定理逆定理得到∠C=90°，再由翻折可得∠DEB=90°，设DB=x，则DC=8−x，DE=8−x，在Rt△DEB【详解】解：由AC=6、BC=8、AB=10，满足62故△ABC是直角三角形，∠C=90°，沿AD翻折后，C落在AB上的E点，因此：AE=AC=6，DE=DC，∠AED=∠C=90°，即∠DEB=90°，设DB=x，则DC=8−x，DE=8−x；又BE=AB−AE=10−6=4，在Rt△DEBDE2+B解得x=5，即DB=5．故选：C．【变式2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（

A．254 B．154 C．74【答案】C【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得AD=BD，设CD=xcm，则AD=BD=BC−CD=8−xcm，在Rt【详解】解：由折叠的性质得，AD=BD，设CD=xcm，则AD=BD=BC−CD=在Rt△ACD中，A∴62解得x=7∴CD的长为74故选：C．【变式3】如图，在长方形ABCD中，E，F分别是BC，AB边上的点，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在AD边上．若AB=4，BE=5，则A．1 B．43 C．23 【答案】D【分析】本题主要考查翻折变换，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点E作EH⊥AD，由折叠可知：GE=BE=5，BF=FG，由勾股定理可得GH=GE2−EH2=3【详解】解：如图，过点E作EH⊥AD，由题意可得：EH=AB=4,AH=BE=5，由折叠可知：GE=BE=5，BF=FG，∴GH=G∴AG=AH−GH=5−3=2，设AF=t，则BF=FG=4−t，在Rt△AFG中，A∴t解得：t=3∴AF=3故选：D．1．如图，一旗杆在离地面3m处折断，旗杆顶部距底部4m，求旗杆原有多长（A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据实际情况找出直角三角形是解题关键．利用勾股定理求得AC的长，从而求得旗杆折断前的高度．【详解】解：如图，根据题意，得：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3m，∴在Rt△ABC中，A∴AC=3∴AB+AC=3+5=8m∴旗杆原有8m故选：D．2．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，CE是竖直线，高度为4m，BC的长是8m，则BE的长是（A．43m B．8m C．8【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，理解在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解答关键．根据题意得到两条直角边的长度，用勾股定理求解．【详解】解：由题意得CE=4m，BC=8∴BE=B故选：A．3．如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，构造直角三角形ABC∵两棵树的高度差为AC=8−2=6（米），间距为AB=8米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC=8故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．4．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4mA．4m B．6m C．8m D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可．【详解】解：梯子顶端距离墙角的