（2025新教材）人教版八年级数学上册第18章专题01分式化简求值的五种类型（解析版）

专题01分式化简求值的五种类型方法一：化简后直接求值方法二：化简后整体带入求值方法三：倒数法求值方法四：自选条件求值方法五：分式和条件均需化简带入方法一：化简后直接求值1．先化简，再求值：，其中x＝﹣3．【分析】先把括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，然后约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：＝•＝＝＝＝﹣（x+4）＝﹣x﹣4，当x＝﹣3时，原式＝﹣（﹣3）﹣4＝﹣1．2．先化简，再求值：，其中a＝1．【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当a＝1时，原式＝＝﹣1．3．先化简，再求值：，其中．【分析】先通分，再除法，结果化为最简分式后，代入a＝求值．【解答】解：原式＝（+）•＝•＝2a，∵a＝，∴原式＝2×＝1．4．先化简，再求值，其中x＝﹣1．【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝﹣•＝﹣，当x＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣2．5．先化简，再求值，其中，y＝（﹣2024）0．【分析】先把括号内的式子化简，然后计算括号内的式子，再算括号外的除法，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：＝[﹣]•＝（﹣）•＝•＝，当，y＝（﹣2024）0＝1时，原式＝．方法二：化简后整体带入求值6．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣4＝0．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再将分子、分母分解因式并约分，化简后的形式为，然后再将x2﹣2x＝4代入求值即可．【解答】解：＝[﹣]•＝•＝．∵x2﹣2x﹣4＝0，∴x2﹣2x＝4，∴原式＝＝．7．已知a2+3a﹣1＝0，求代数式的值．【分析】由已知条件得到a2+3a＝1，然后将其代入化简后的分式求值即可．【解答】解：由a2+3a﹣1＝0得到a2+3a＝1，＝•＝•＝a（a+3）．＝a2+3a所以，原式＝1．8．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣1＝0．【分析】先把化简得，再利用整体代入法求值即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴原式＝．9．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x2＝2x+2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：＝•＝•＝，∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2＝2x+2，∴当x2＝2x+2时，原式＝＝＝．方法三：倒数法求值10．（1）阅读下面解题过程：已知＝，求的值．解：∵＝（x≠0），∴＝，即x+＝．∴＝＝＝＝（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知＝2，求的值．【分析】类比（1）的方法把＝2变为＝2，得出x+＝，进一步把原式变形得代入求出答案即可．【解答】解：∵＝2，∴＝2，∴x﹣3+＝，∴x+＝，∴＝＝＝＝．11．在本学期期末复习中，我们已遇到了这样的问题：已知＝，＝，＝，求的值．根据条件中式子的特点，我们可能会想起+＝，于是将每一个分式的分子、分母颠倒位置，问题被转化为“已知+＝2，+＝3，+＝4，求++的值”，这样解答就方便了．（1）通过阅读，上文中原问题＝；（2）类比文中的处理方法与思路，求解下列问题：已知：＝，求的值．【分析】（1）原式分子分母除以abc变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（2）已知等式变形求出m+的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵+＝2，+＝3，+＝4，∴++＝，则原式＝＝；故答案为：；（2）已知等式变形得：＝，得到m+＝5，则原式＝＝＝＝．12．阅读下列解题过程：已知＝，求的值．解：由＝，知x≠0，所以＝3，即x+＝3．∴＝x2+＝﹣2＝32﹣2＝7．∴的值为7的倒数，即．以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：（1）已知＝，求的值．（2）已知＝2，＝，＝，求的值．【分析】（1）已知等式变形求出x+的值，原式变形后，将x+的值代入计算即可；（2）已知三等式变形后相加求出++的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）由＝，得到＝x+﹣1＝7，即x+＝8，则原式＝＝＝＝；（2）根据题意得：＝+＝，＝+＝，＝+＝，可得++＝1，则原式＝＝1．13．先能明白（1）小题的解答过程，再解答第（2）小题，（1）已知a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．解：由a2﹣3a+1＝0知a≠0，∴a﹣3+＝0，即a+＝3∴a2+＝﹣2＝7；（2）已知：y2+3y﹣1＝0，求的值．【分析】（1）由解答过程可以看出，可以先求得a+的值，再用换元法即可求得a2+的值．（2）此题可以仿照（1）先求﹣y，然后求得+y2，再求得+y4，最后通过分式分母同除以y4求得结果．【解答】解：由y2+3y﹣1＝0，知y≠0，∴y+3﹣＝0，即﹣y＝3，∴＝+y2﹣2＝9，即+y2＝11，∴＝121，∴+y4＝119，由＝y4﹣3+＝116，∴＝．方法四：自选条件求值14．先化简，再求值：，请从﹣3、﹣2、0、3中选取合适的x的值代入．【分析】先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再结合原式中各个分式有意义的条件找出x的值，代入化简以后的式子中求值即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，∵x﹣3≠0，x≠0，x2﹣9≠0，∴x≠3且x≠0且x≠﹣3，∴当x＝﹣2时，原式＝．15．先将分式化简：，然后再从0，1，2，中选择一个适当的数代入求值．【分析】根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝﹣，由题意得：x≠1和±2，当x＝0时，原式＝﹣＝﹣．16．先化简，再求值：，请从﹣2，﹣1，0，2中选择一个数字a代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件得出a的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝÷＝﹣•＝﹣，∵a（a﹣2）≠0且a+2≠0，∴a≠0且a≠±2，∴a＝﹣1，则原式＝﹣＝3．17．先化简，再从不等式2x﹣3＜5的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x的值代入求值．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，解不等式求出x的范围，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，解不等式2x﹣3＜5，得x＜4，其中正整数有1、2、3，由题意可知：x≠2、±3，当x＝1时，原式＝＝．18．先化简，再求值：．其中x是已知两边长为1和2的三角形的第三边长，且x为整数．【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后根据三角形的三边关系可得x＝2，再代入，即可求解．【解答】解：＝＝＝；∵x是已知两边长为1和2的三角形的第三边长，∴2﹣1＜x＜2+1，即1＜x＜3，∵x为整数，∴x＝2，当x＝2时，原式＝．方法五：分式和条件均需化简带入19．先化简，再求值：，其中a，b满足a2+4a+4+|4﹣b|＝0．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由非负数的性质求出a，b的值，代入代数式进行计算即可．【解答】解：＝•+＝•+＝+＝＝，a，b满足a2+4a+4+|4﹣b|＝0，即（a+2）2+|4﹣b|＝0，∴a+2＝0，4﹣b＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴原式＝＝2．20．化简求值，x是不等式组的一个整数解．【分析】先通分括号内，再运算除法化简得，然后算出不等式组的整数解为：0，1，2，结合分式有意义，则当x＝1时，，据此即可作答．【解答】解：原式＝＝•＝•＝，解，得﹣1＜x≤2，∴不等式组的整数解为：0，1，2，∵2x≠0，x﹣2≠0，∴x≠0，x≠2，∴当x＝1时，．21．先化简，再求值：，其中m，n满足（m﹣1）2+n2+6n+9＝0．【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，利用完全平方公式、非负数的性质分别求出m、n，代入计算即可．【解答】解：原式＝﹣÷（﹣）＝﹣÷＝﹣•＝﹣＝，∵（m﹣1）2+n2+6n+9＝0，∴（m﹣1）2+（n+3）2＝0，∴m﹣1＝0或，n+3＝0，解得：m＝1，n＝﹣3，则原式＝＝﹣．22．先化简，再求值：，其中．【分析】先利用分式的减法和除法化简分式，再求出a的值代入化简结果计算即可．【解答】解：＝＝＝当时，原式＝．23．先化简，再求值：÷（1+）﹣，其中x是不等式组的整数解．【分析】先对题目中的分式进行约分化简，然后根据x是不等式组的整数解，求出x的值，代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：÷（1+）﹣＝＝＝＝，解不等式组得，1≤x＜3，∵x是不等式组的整数解，∴x＝1或x＝2，∴当x＝1时，原式＝﹣1；当x＝2时，原式无意义．24．先化简，再求值：，其中a，b是方程组的解．【分析】先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a与b的值求出并代入原式即可求出答案．【解答】解：