人教版九年级上册数学：第二十二章 二次函数 讲义

第第页人教版九年级上册数学：第二十二章二次函数讲义第01讲二次函数（2个知识点+3个考点+易错分析）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解二次函数的概念，能将二次函数化为一般形式2.能根据概念判断函数是不是二次函数3.了解实际问题中存在的二次函数关系及对其自变量的要求。知识点1．二次函数1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．2.二次函数的一般式任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的形式,因此,把y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式.判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【例1-1】下列函数中是二次函数的是(

)A． B． C． D．【例1-2】已知是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0 B．1 C．4 D．0或4【变式1-3】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(为常数)．【例1-4】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列每组变量之间的关系为二次函数的是（

）A．正方形周长与边长的关系B．菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系C．速度一定时，路程与时间的关系D．等边三角形的面积与边长的关系【变式1-1】以下函数式二次函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】二次函数的二次项系数是，一次项系数是．【变式1-2】当为何值时，函数是二次函数．【变式1-4】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间tC．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x知识点2．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【例2】某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝x2+a B．y＝a（x﹣1）2 C．y＝a（1﹣x）2 D．y＝a（1+x）2【变式2-1】在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（

）A． B．C． D．【变式2-2】一件商品原价为元，连续两次降价，降价率均为，两次降价后该商品的售价价格为元，则与的函数关系式为（

）A． B． C． D．【变式2-3】半径是2的圆，如果半径增加x时，增加的面积s与x之间的关系表达式为__________．易错点：根据二次函数的定义求字母参数的值式，容易忽略二次函数系数不为0这个条件而导致错误【例3】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1考点1：根据二次函数的概念确定字母取值1.已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（）A．±2 B．1 C．﹣2 D．±12.若函数是关于的二次函数，则____．3．已知函数是二次函数，求m的值．4．若．(1)m取什么值时，此函数是二次函数？(2)m取什么值时，此函数是一次函数？考点2：根据实际问题列二次函数的表达式5．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（）A．y＝（x﹣35）（400﹣5x） B．y＝（x﹣35）（600﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）6.某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为．7．如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．8．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？9．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？考点3：根据动态问题列二次函数的表达式10．如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为．11.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）线段DC的长为（用含t的式子表示）．（2）当点Q与点C重合时，求t的值．（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．一、单选题1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）二次函数的常数项为（

）A．2 B．3 C．4 D．3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（

）A． B． C． D．4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（

）A． B．或 C． D．不存在二、填空题5．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是．6．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为．7．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为．8．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是．三、解答题9.把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项．10．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，求m的值．11．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为．(1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？12．（22-23九年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接．(1)若四边形为菱形，则值为多少？(2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？第02讲二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象和性质（6个知识点+12个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用描点法画出y＝ax2，y＝ax2＋k的图象．2．掌握形如y＝ax2，y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．要点归纳：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点归纳：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.知识点4：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）知识点5：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，知识点6：二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.要点归纳：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．考点1：y＝ax2图象的识别【例1】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是()【变式1-1】（2023九年级·河北保定·期末）二次函数y=ax2的图象如图所示，则a的值可能为（A．2 B．0 C．−1 D．−2【变式1-2】函数与的图像可能是（）xyxyxyxyxyOOOOA．B．C．D．【变式1-3】已知h关于t的函数关系式为h＝eq\f(1,2)gt2(g为正常数，t为时间)，则函数图象为()考点2：利用y＝ax2图象判断二次函数的增减性【例2】作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小；(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？【变式2-1】已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1【变式2-2】（2023九年级·吉林四平·期末）抛物线y=2x2，y=−2xA．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小【变式2-3】（2023九年级·北京海淀·期中）已知点A−1,y1,B2,y2A．y1<y2 B．y1考点3：二次函数y＝ax2的图象与性质的综合题【例3】已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．【变式3-1】（2023九年级·全国·课后作业）关于抛物线y=−2x①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x>1时，y随x的增大而减小；③当−1<x<2时，−4<y<0；④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上的两点，则m+n=0．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-2】（2023九年级·全国·课后作业）观察二次函数y=x(1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________；(2)二次函数y=x(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值________；当x>0时，随着x值的增大，y的值________．【变式3-3】物线与直线交于点（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．考点4：利用图象确定y＝ax2的解析式【例4】一个二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点A(2，－2)关于坐标轴的对称点B，求其关系式．【变式4-1】抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______．【变式4-2】（2023九年级·河北廊坊·阶段练习）已知某抛物线的开口向下，且该抛物线的对称轴为y轴，经过原点O，请写出一个满足条件的抛物线的解析式：．【变式4-3】已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．考点5：二次函数y＝ax2的图象与几何图形的综合应用【例5】已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标．【变式5-1】如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30°，点A在抛物线的图象上，则a的值为（

）A． B． C． D．【变式5-2】如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2．若为直角三角形，求a的值．AABOxy【变式5-3】已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为．（1）求直线和抛物线的函数解析式；（2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标．考点6：二次函数y＝ax2的实际应用【例6】如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM为3m，跨度AB＝6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？【变式6-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=2x2与y=−2x

【变式6-2】如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米．（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？xxyABCDO考点7：y＝ax2＋k的图象与性质的识别【例7】若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是()A．a＝2B．当x＜0，y随x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)D．图象有最低点【变式7-1】（2023九年级·吉林长春·期末）当a<0,c>0时，二次函数y=ax2+cA．B．C．D．【变式7-2】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）若二次函数y=ax2+1的图象过点PA．1,2 B．−1,−2 C．−2,1 D．2,−1【变式7-3】已知二次函数，则（）A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值考点8：二次函数y＝ax2＋k增减性判断【例8】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是()A．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2【变式8-1】（2023·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（

）A．y=3x2+1C．y=x+1 D．y=−5x+1【变式8-2】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【变式8-3】已知点、、，都在函数的图象上，则、、的大小关系为A． B． C． D．【变式8-4】已知抛物线过点和点．（1）求这个函数的关系式；（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．考点九：识别y＝ax2＋k的图象与一次函数图象【例9】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为()【变式9-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（）．【变式9-2】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）A． B． C． D．考点10：确定y＝ax2＋k与y＝ax2的关系【例10】抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？【变式10-1】（2023九年级·全国·课后作业）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（

）A．y=2x2与y=3x2 C．y=2x2+3与y=3x2【变式10-2】（2023九年级·浙江宁波·期末）把函数y=3x2的图象向上平移1个单位后所得图象的函数表达式是【变式10-3】在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．(1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法；(2)如果点在函数的图象上，求点的坐标；(3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标．【变式10-4】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：，，．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．考点11：y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用【例11】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________．【变式11-1】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、．(1)求直线的函数表达式；(2)求的面积；(3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值．考点12：二次函数y＝ax2＋k的实际应用【例12】如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－eq\f(1,5)x2＋eq\f(7,2)运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.(1)球在空中运行的最大高度为多少？(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？【变式12-1】（2023九年级·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯y=49x2+5【变式12-2】有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．一、单选题1．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）下列各点在二次函数图像上的是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或3．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在同一坐标系内，，，的图象，它们的共同特点是（

）A．都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上B．都是关于轴对称，随增大而增大C．都是关于轴对称，随增大而减少D．都是关于轴对称，抛物线顶点都是原点4．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）抛物线的共同性质是（

）A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2024·四川泸州·一模）已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是（填＞，＜或＝）．7．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的开口向下，且，则．8．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是．9．（23-24九年级上·陕西西安·期末）抛物线开口，顶点坐标是，当x0时，．10．（23-24九年级上·重庆石柱·阶段练习）直线经过第一、二、四象限，则抛物线不经过第象限．11．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式：．12．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）点，均在二次函数的图象上，则．（填“>”或“<”）13．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；②抛物线开口向上，顶点是；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而减小；其中正确说法有．（填序号）14．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是三、解答题15．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴．16．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知是关于x的二次函数．(1)若函数有最小值，求k的值；(2)判断点是否在（1）中的函数图象上．17．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.

(1)求点A、B的坐标.(2)求三角形的面积.18．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值．19．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点．(1)求出这个函数关系式；(2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积；(3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．20．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为，(1)求和．(2)求另一个交点的坐标．第03讲二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的图象和性质（3个知识点+9个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用描点法画出y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的图象．2．掌握形如y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2、y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．知识点1：二次函数的图象和性质（重难点）的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．知识点2：二次函数的图象和性质（重难点）的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．要点归纳：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．知识点3：二次函数的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点归纳：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）考点1：y＝a(x－h)2的图象与性质的识别【例1】已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．【变式1-1】（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式1-2】（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3） C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3【变式1-3】（2023九年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线y=4x−22与x轴的交点坐标为考点2：二次函数y＝a(x－h)2增减性的判断【例2】对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是()A．y随x的增大而增大B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．当x＞－1时，y随x的增大而增大D．当x＞1时，y随x的增大而增大【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）二次函数，当时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）【变式2-2】（2023九年级·福建南平·阶段练习）在抛物线y=2(x−m)2上，当x>3时，y随x的增大而增大，则A．m=3 B．m>3 C．m≤3 D．m≥3考点3：确定y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系【例3】能否向左或向右平移函数y＝－eq\f(1,2)x2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．【变式3-1】（2023九年级·全国·课前预习）抛物线y=a(x−h)2与抛物线若h＞0，抛物线y=ax2向平移h个单位就得到抛物线若h＜0，，抛物线y=ax2向平移|h|个单位就得到抛物线【变式3-2】（2023九年级·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标.【变式3-3】已知函数，和．(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；(4)分别说出各个函数的性质．考点4：y＝a(x－h)2的图象与几何图形的综合【例4】把函数y＝eq\f(1,2)x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．【变式4-1】抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．【变式4-2】已知二次函数的图象如图所示，求的面积．

【变式4-3】如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．(1)求直线AC的解析式；(2)求△ABC的面积；(3)当自变量x满足什么条件时，有?考点5：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象【例5】求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．【变式5-1】函数y=−1【变式5-2】二次函数：①y=−13x2+1；②y=12(x+1)2（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．【变式5-3】已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为．考点6：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质【例6】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，(eq\f(3,2)，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是()A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【变式6-1】抛物线上有三点，分别是；；那这三点中纵坐标的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式6-2】.已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8．（1）直接写出它的顶点坐标：，对称轴：；（2）x取何值时，y随x增大而增大？【变式6-3】设二次函数y=x2−（1）二次函数的对称轴为直线_______________．（用含a的式子表示）（2）若二次函数在0≤x≤3有最小值−5，则实数a的值是_______________．考点7：利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式【例7-1】将抛物线y＝eq\f(1,3)x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是()A．y＝eq\f(1,3)(x－2)2－1B．y＝eq\f(1,3)(x－2)2＋1C．y＝eq\f(1,3)(x＋2)2＋1D．y＝eq\f(1,3)(x＋2)2－1【例7-2】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a、h、k的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．【变式7-1】（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4【变式7-2】二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位．（1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式；（2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果）【变式7-3】已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a、h、k的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象；(3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?考点8：y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)【变式8-1】（2023九年级·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=ax−42+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB【变式8-2】（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数．(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标；(2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积．【变式8-3】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”．(1)在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）；(2)如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”．①求的面积的最大值；②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值；(3)若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围．考点9：二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用【例9】心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－eq\f(1,10)(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？【变式9-1】某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．(1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式；(2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？(3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．一、单选题1．（23-24九年级上·重庆石柱·阶段练习）抛物线的图象一定经过的点是（

）A． B． C． D．2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．5．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大6．（2024·广东东莞·二模）二次函数的顶点坐标是（

）A． B． C． D．二、填空题7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）抛物线的顶点的坐标是．8．（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）已知抛物线上有两点、，则（填“＜”或“＞”）．9．（21-22九年级上·广东中山·阶段练习）将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为．10．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为．11．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是．12．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是．（1）当时，函数的最大值是；（2）若函数的最大值为，则h的值是．三、解答题13．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;14．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内，求的值．15．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，．(1)的值为______；(2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：；(3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围．16．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知抛物线．(1)求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；(2)当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？17．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的方程，(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)若方程两根，满足，求的值；(3)在问题（2）成立的前提下，写出函数的增减性．18．（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）已知抛物线．(1)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；(2)判断点是否在此抛物线上；(3)求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标．19．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为，(1)求，的值；(2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由；(3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．第4讲二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（4个知识点+10个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．2．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．并熟记顶点坐标与对称轴公式．3．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．知识点一、二次函数与之间的相互关系1.顶点式化成一般式

从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．2.一般式化成顶点式．对照，可知，．∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．要点归纳：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

知识点二、二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点归纳：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，知识点三、二次函数的图象与性质1.二次函数图象与性质函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bab＞0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac＞0与x轴有两个交点b2-4ac＜0与x轴没有交点知识四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点归纳：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．考点1：二次函数图象的位置与系数符号互判【例1】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．【变式1-1】如图，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意x均有．正确的有（）个．

A．1 B．2C．3 D．4【变式1-2】已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【变式1-3】如图，已知抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个考点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质【例2】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是()A．a＞1B．－1＜a≤1C．a＞0D．－1＜a＜2【变式2-1】二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________； 二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________．【变式2-2】已知抛物线的对称轴为，且过点（0，4），求m、n的值．【变式2-3】对于二次函数：（1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？（2）求出此抛物线与x、y轴的交点坐标；（3）当x取何值时，y随着x的增大而减小．考点3：二次函数与一次函数的图象的综合识别【例3】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是()【变式3-1】在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且） 的图像可能是（）AA．B．C．D．xyxyxyxy【变式3-2】（2024·浙江温州·二模）已知直线与抛物线交于A，B两点，则抛物线的图象可能是（

）B．C． D．【变式3-3】．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（）A．B．C． D．考点4：抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移【例4】在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是()A．(－3，－6)B．(1，－4)C．(1，－6)D．(－3，－4)【变式4-1】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线必定经过（

）A． B． C． D．【变式4-2】将抛物线（）向下平移3个单位，再向左平移4个单位 得到抛物线，则原抛物线的顶点坐标是____________．【变式4-3】抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则b=________，c=________．考点5：二次函数的图象与几何图形的综合应用【例5】22．（9分）如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．【变式5-1】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上第一象限内的点．(1)求点A，B，C的坐标；(2)连接，，，当四边形的面积最大时，求点P的坐标．【变式5-2】（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值．【变式5-3】．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；(2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．考点6:用一般式确定二次函数解析式【例6】已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．【变式6-1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线与轴交于、，且过点，求抛物线的解析式．【变式6-2】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．【变式6-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是关于的二次函数，与的对应值如下表所示：的值的值(1)求关于的二次函数表达式．(2)求出表中的值．考点7：用顶点式确定二次函数解析式【例7】已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．【变式7-1】．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）已知抛物线的顶点坐标是，且过点，求抛物线的解析式．【变式7-2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式．【变式7-3】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式．考点8：根据平移确定二次函数解析式【例8】将抛物线y＝2x2－4x＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．【变式8-1】将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴．【变式8-2】．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数（a为常数）的图像的对称轴为，(1)求a的值(2)若点，点均在该函数的图像上，且满足，求m的取值范围(3)向下平移二次函数的图像，使其经过原点，求平移后图像所对应的二次函数的表达式考点9：根据轴对称确定二次函数解析式【例9】已知二次函数y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式．【变式9-1】．（2024·四川泸州·一模）已知抛物线与x轴交于点，对称轴是直线，且过点，求抛物线的解析式．【变式9-2】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．求抛物线的解析式．【变式9-3】已知一次函数与二次函数的图像都过点A（1，），二次函数的对称轴是直线x=，请求出一次函数和二次函数的解析式．考点10：用待定系数法求二次函数解析式的实际应用【例10】科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度t/℃－4－2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.【变式10-1】（2022秋•庐阳区校级月考）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度024植物高度增长量4149494125由此可以推测这种植物高度增长量最大为．【变式10-2】．（2024•潍坊一模）某公司营销，两种产品，根据市场调研，确定两条信息：信息1：销售种产品所获利润（万元）与所售产品（吨之间存在二次函数关系，如图所示：信息2：销售种产品所获利润（万元）与销售产品（吨之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数的表达式；（2）该公司准备购进、两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售、两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？一、单选题1．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．2．（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）二次函数的最小值是（）A． B． C． D．3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）若是抛物线上的两个点，则抛物线的对称轴是（）A． B． C． D．4．（24-25九年级下·长沙青竹湖二模）二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（）A. B.C. D.当时，5．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（）A． B． C． D．6．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）若函数的图象上有两点，若，则（）A． B．C． D．的大小不确定8．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．10．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（

）A． B． C． D．二、填空题11．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）抛物线的顶点坐标．12．（22-23九年级上·浙江金华·期中）将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为．13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为．14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是．15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知点、、、，若一条抛物线经过其中三个点，则不在该抛物线上的点是点．16．（2023·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，若线段在x轴上，且为个单位长度，以为边作等边，使点C落在该函数的图象上，则点C的坐标为．17．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上，则当的面积为8时，点的坐标为．18．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则的最小值是．三、解答题19．（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式．20．（23-24九年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式．21．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴的公共点是，求这条抛物线的顶点坐标．22．（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线，经过，，三点，求这条抛物线的表达式．23．（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及E点的坐标．24．（2024·海南海口·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E．①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标；②当时，求的长．(3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第5讲二次函数与一元二次方程（4个知识点+6个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．知识点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况

求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：判别式二次函数一元二次方程图象与x轴的交点坐标根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根△＝0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根△＜0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）要点归纳：

二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.

2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；当方程组无解时两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．要点归纳：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．知识点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解

用图象法解一元二次方程的步骤：

1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；

2.确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围；

3.在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．

4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．

要点归纳：

求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：

(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；

(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；

(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.知识点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．∴即（△＞0）要点四、抛物线与不等式的关系二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：判别式抛物线与x轴的交点不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）无解△＜0全体实数无解注：a＜0的情况请同学们自己完成．要点归纳：抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．考点1：二次函数图象与x轴交点情况判断【例1】下列函数的图象与x只有一个交点的是()A．y＝x2＋2x－3B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3D．y＝x2－2x＋1【变式1-1】（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝．【变式1-2】（2023秋·九年级课时练习）已知抛物线，当时，抛物线与轴有两个公共点；当时，抛物线与轴有一个公共点；当时，抛物线与轴没有公共点．【变式1-3】（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知二次函数（m为常数）(1)若该二次函数图像经过，求二次函数解析式；(2)求证：不论m取何值，该二次函数图像与x轴总有两个交点；(3)当时，y的最小值为，求m的值．考点2：利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴【例2】如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．【变式2-1】（2023·广东惠州·二模）已知抛物线经过点和点，则该抛物线的对称轴为（

）A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线【变式2-2】二次函数的图象与轴相交于和两点，则该抛物线的对称轴是．【变式2-3】如图，抛物线与轴交于，、，两点，交轴于点，且．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴方程．（2）在抛物线上是否存在一点使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．考点3:利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围【例3】若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋eq\f(1,2)m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为()A．0B．0或2C．2或－2D．0，2或－2【变式3-1】函数的图象与轴只有一个交点，则的值为A．0 B．0或2 C．0或2或 D．2或【变式3-2】若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为A．0 B．0或2或 C．2或 D．0或或【变式3-3】（2023春·福建福州·九年级校考期中）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，若，则b的取值范围是____________________．考点4：利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解【例4】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是()A．无解B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4【变式4-1】若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为A．， B．， C．， D．，【变式4-2】已知二次函数的部分图象如图，则关于的一元二次方程的解为A．， B．， C．， D．，【变式4-3】（2023·四川绵阳·统考二模）二次函数的部分对应值如列表所示：则一元二次方程的解为______．考点5：利用抛物线解一元二次不等式【例5】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是()A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1【变式5-1】（2023秋·九年级课时练习）二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．或【变式5-2】（2024•任城区校级四模）已知一次函数和二次函数的部分自变量和对应的函数值如表：12345012340038则关于的不等式的解集是A． B． C．或 D．不能确定【变式5-3】（2023•官渡区二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）和直线y＝kx（k＞0）交于点O和点A，则不等式ax2+bx＜kx的解集为．考点6：确定抛物线相应位置的自变量的取值范围【例6】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是()A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3【变式6-1】（2023秋•雷州市期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是A． B． C． D．或【变式6-2】．（2024•织金县一模）二次函数的图象过点，则使函数值成立的的取值范围是A．或 B． C．或 D．【变式6-3】．（2023秋•丰台区期末）已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示：01248303（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；（2）直接写出当时，的取值范围．一．选择题1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2023·四川绵阳·一