华师大版初中数学知识点归纳总结

华师大版初中数学知识点归纳总结初中数学是学生构建数学知识体系、培养逻辑思维能力的关键阶段。这份归纳总结旨在梳理华师大版初中数学的核心知识点，帮助同学们理清脉络，巩固基础，为后续学习打下坚实根基。本总结力求精炼准确，突出重点，并注重知识间的内在联系。一、数与代数数与代数是数学的基础，贯穿于整个初中阶段的学习。它主要研究数的概念、运算以及数量关系的表达。（一）有理数1.有理数的概念：整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数。2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的点不一定都表示有理数。3.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。零的相反数是零。在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且与原点的距离相等。4.绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。5.有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。6.有理数的运算：*加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数。*减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。*乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零。几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。*除法：除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数，都得零。*乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；零的任何正整数次幂都是零。*运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律。*混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。（二）实数1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√a。2.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根）。正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；零的立方根是零。3.实数：有理数和无理数统称为实数。无理数是指无限不循环小数。实数与数轴上的点一一对应。4.实数的运算：实数的运算法则和运算律与有理数的类似。（三）代数式1.代数式：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式。2.整式：单项式和多项式统称为整式。*单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。3.整式的加减：*同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。*合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。*去括号与添括号：去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。添括号法则类似。*整式加减的实质：就是合并同类项。4.整式的乘除：*同底数幂的乘法：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ(m,n都是正整数)*同底数幂的除法：aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ(a≠0,m,n都是正整数，且m>n)*幂的乘方：(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ(m,n都是正整数)*积的乘方：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ(n是正整数)*零指数幂：a⁰=1(a≠0)*负整数指数幂：a⁻ᵖ=1/aᵖ(a≠0,p是正整数)*单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。*单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。*多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。*平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²*完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²*单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。*多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。*提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。*公式法：利用平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。*十字相乘法：对于二次三项式x²+(p+q)x+pq，可以分解为(x+p)(x+q)。*因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（公式）、三查（是否分解彻底）。6.分式：*分式的概念：形如A/B(A、B是整式，B中含有字母且B≠0)的式子叫做分式。*分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变。*分式的约分与通分：约分是把一个分式的分子与分母的公因式约去；通分是根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。*分式的运算：分式的加减法（同分母、异分母）、分式的乘除法、分式的乘方。7.二次根式：*二次根式的概念：形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。*二次根式的性质：(√a)²=a(a≥0)；√(a²)=|a|；√(ab)=√a·√b(a≥0,b≥0)；√(a/b)=√a/√b(a≥0,b>0)。*二次根式的运算：二次根式的加减法（先化简，再合并同类二次根式）、二次根式的乘除法。（四）方程与不等式1.一元一次方程：*概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。*解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。*应用：列一元一次方程解决实际问题（审题、设元、列方程、解方程、检验、作答）。2.二元一次方程组：*概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解。*解法：代入消元法、加减消元法。*应用：列二元一次方程组解决实际问题。3.一元二次方程：*概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。*解法：直接开平方法、配方法、公式法（求根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)）、因式分解法。*根的判别式：Δ=b²-4ac。Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程没有实数根。*根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。*应用：列一元二次方程解决实际问题。4.分式方程：*概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。*解法：去分母（在方程两边都乘最简公分母，将分式方程化为整式方程）、解整式方程、验根（把整式方程的根代入最简公分母，若不为零，则是原方程的根；若为零，则是增根，原方程无解）。5.一元一次不等式与不等式组：*不等式的概念：用不等号表示大小关系的式子叫做不等式。*不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。*一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。*一元一次不等式的解法：类似于解一元一次方程，但要注意当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。*一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。几个不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的不等式组的解集。*一元一次不等式组的解法：分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些解集的公共部分。*应用：列不等式（组）解决实际问题。（五）函数1.函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。2.函数的表示方法：解析法、列表法、图像法。3.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴（或横轴），竖直的数轴称为y轴（或纵轴），两坐标轴的交点为原点。坐标平面内的点与有序实数对一一对应。4.一次函数：*概念：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。当b=0时，即y=kx(k≠0)，叫做正比例函数。*图像：一次函数的图像是一条直线。正比例函数的图像是经过原点的一条直线。*性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点坐标(0,b)。*一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。5.反比例函数：*概念：一般地，形如y=k/x(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数。*图像：反比例函数的图像是双曲线。*性质：当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。6.二次函数：*概念：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。*图像：二次函数的图像是一条抛物线。*性质：*开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。*对称轴：直线x=-b/(2a)。*顶点坐标：(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))。*最值：当a>0时，函数有最小值，y最小值=(4ac-b²)/(4a)；当a<0时，函数有最大值，y最大值=(4ac-b²)/(4a)。*增减性：根据对称轴和开口方向判断。*二次函数的三种表达式：一般式、顶点式（y=a(x-h)²+k）、交点式（y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁、x₂是抛物线与x轴交点的横坐标）。*二次函数与一元二次方程的关系：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根。*应用：利用二次函数解决最大（小）值问题等实际问题。二、图形与几何图形与几何主要研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换。（一）图形的初步认识1.多姿多彩的图形：立体图形（如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球）和平面图形（如线段、角、三角形、四边形、圆）。2.直线、射线、线