中学数学函数专题训练汇编

中学数学函数专题训练汇编前言函数作为中学数学的核心内容，贯穿于代数、几何乃至后续的概率统计学习中。它不仅是描述变量之间依赖关系的基本工具，更是培养逻辑思维、抽象概括能力和解决实际问题能力的重要载体。本汇编旨在系统梳理中学阶段函数知识体系，通过专题化的训练，帮助同学们夯实基础、掌握方法、提升能力，最终实现对函数思想的深刻理解与灵活运用。本汇编的内容编排遵循由浅入深、循序渐进的原则，注重知识的系统性与逻辑性，同时兼顾典型性与实用性。每个专题均包含知识要点回顾、典型例题解析及配套练习题。希望同学们在使用过程中，不仅要关注解题的结果，更要重视思维过程的锤炼，善于总结归纳，力求做到举一反三、触类旁通。一、函数的基本概念与表示1.1函数的定义函数的本质是两个非空数集之间的一种特殊对应关系。设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中，x称为自变量，x的取值范围A称为函数的定义域；与x的值相对应的y值称为函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域。理解要点：*“非空数集”：定义域和值域均不能为空集，且元素为实数。*“任意一个”与“唯一确定”：强调定义域内每个元素都有对应，且对应结果唯一，这是判断是否为函数关系的关键。*对应关系f：是函数的核心，它可以是解析式、图像、表格或文字描述。例题1：判断下列对应关系是否为函数：(1)集合A={1,2,3}，集合B={2,4,6,8}，对应关系f：x→y=2x。(2)集合A={三角形}，集合B={圆}，对应关系f：每个三角形对应它的外接圆。(3)对于实数x，y=±√x。解析：(1)是函数。对于A中的每一个元素1,2,3，在B中都有唯一确定的2,4,6与之对应。(2)不是函数。因为集合A不是数集。(3)不是函数。对于x>0，一个x值对应两个y值（±√x），不满足“唯一确定”。1.2函数的表示方法函数的常用表示方法有解析法、图像法和列表法。*解析法：用数学表达式（解析式）表示两个变量之间的对应关系，如y=2x+1，y=x²-3x+2等。其优点是精确、便于运算和推理。*图像法：用平面直角坐标系中的曲线表示函数关系。图像能直观地反映函数的变化趋势、对称性等性质。*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如平方根表、三角函数表等。其优点是直接明了，适用于自变量取值较少或有特定取值的情况。例题2：已知函数f(x)由下表给出，则f(3)的值为多少？若f(a)=5，求a的值。x1234----------------f(x)3527解析：由表格可知，当x=3时，f(3)=2。当f(a)=5时，对应的x值为2，故a=2。1.3函数的定义域与值域定义域：函数自变量x的取值范围。求函数定义域需考虑以下几种常见情况：1.分式函数：分母不为零。2.偶次根式函数：被开方数非负。3.零次幂或负指数幂：底数不为零。4.对数函数：真数大于零，底数大于零且不等于1。5.实际问题：需符合实际意义。值域：函数值的集合。求值域常用方法有：1.观察法：对于简单函数，通过观察解析式直接得出。2.配方法：适用于二次函数或可化为二次函数形式的函数。3.单调性法：利用函数的单调性确定最值，进而得到值域。4.换元法：通过变量替换，将复杂函数转化为简单函数。5.判别式法：适用于某些分式二次函数（需注意条件）。例题3：求函数f(x)=√(x-1)+1/(x-3)的定义域。解析：要使函数有意义，需满足：1.被开方数非负：x-1≥0⇒x≥1。2.分母不为零：x-3≠0⇒x≠3。综上，函数的定义域为[1,3)∪(3,+∞)。例题4：求函数f(x)=x²-2x+3，x∈[0,3]的值域。解析：f(x)=x²-2x+3=(x-1)²+2，此函数为开口向上的抛物线，对称轴为x=1。当x=1时，f(x)取得最小值f(1)=2。当x=3时，f(3)=3²-2×3+3=6；当x=0时，f(0)=0-0+3=3。故最大值为6。所以，函数在[0,3]上的值域为[2,6]。二、几种重要的函数模型2.1一次函数与正比例函数形如y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的函数称为一次函数。当b=0时，即y=kx（k≠0），称为正比例函数。*图像：一条直线。正比例函数图像过原点(0,0)。*性质：*k>0时，函数在R上单调递增；k<0时，函数在R上单调递减。*b为函数图像与y轴交点的纵坐标。*图像的斜率为k。例题5：已知一次函数的图像过点A(1,3)和B(-2,-3)，求其解析式。解析：设一次函数解析式为y=kx+b。将A(1,3)代入得：k+b=3。将B(-2,-3)代入得：-2k+b=-3。联立方程组解得：k=2，b=1。故解析式为y=2x+1。2.2二次函数形如y=ax²+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的函数称为二次函数。*图像：抛物线。a>0时开口向上，a<0时开口向下。*顶点式：y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。*对称轴：直线x=-b/(2a)或x=h。*性质：*最值：当a>0时，函数在x=-b/(2a)处取得最小值(4ac-b²)/(4a)；当a<0时，函数在x=-b/(2a)处取得最大值(4ac-b²)/(4a)。*单调性：当a>0时，在(-∞,-b/(2a)]上单调递减，在[-b/(2a),+∞)上单调递增；当a<0时，单调性相反。*零点：二次方程ax²+bx+c=0的实根，即函数图像与x轴交点的横坐标。例题6：将二次函数y=2x²-8x+5化为顶点式，并求出其顶点坐标、对称轴及最值。解析：y=2x²-8x+5=2(x²-4x)+5=2(x²-4x+4-4)+5=2[(x-2)²-4]+5=2(x-2)²-8+5=2(x-2)²-3。顶点式为y=2(x-2)²-3。顶点坐标为(2,-3)。对称轴为直线x=2。因为a=2>0，函数开口向上，所以当x=2时，函数取得最小值-3。例题7：已知二次函数f(x)=x²+mx+n的图像过点(1,2)，且其顶点在直线y=x上，求m,n的值。解析：因为图像过点(1,2)，所以1+m+n=2⇒m+n=1...(1)。顶点坐标为(-m/2,(4n-m²)/4)，又顶点在直线y=x上，所以(4n-m²)/4=-m/2⇒4n-m²=-2m⇒m²-2m-4n=0...(2)。联立(1)(2)：由(1)得n=1-m，代入(2)得m²-2m-4(1-m)=0⇒m²-2m-4+4m=0⇒m²+2m-4=0。解得m=-1±√5。当m=-1+√5时，n=1-(-1+√5)=2-√5；当m=-1-√5时，n=1-(-1-√5)=2+√5。2.3反比例函数形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。*图像：双曲线。*定义域：x≠0，即(-∞,0)∪(0,+∞)。*值域：y≠0，即(-∞,0)∪(0,+∞)。*性质：*k>0时，图像位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小。*k<0时，图像位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。*图像关于原点对称，是奇函数。例题8：若反比例函数y=k/x的图像经过点(2,-3)，则当x>0时，y随x的增大如何变化？解析：将点(2,-3)代入y=k/x得：-3=k/2⇒k=-6<0。所以当x>0时，函数图像位于第四象限，y随x的增大而增大。2.4幂函数、指数函数与对数函数（基础）幂函数：形如y=x^α（α为常数）的函数。中学阶段主要掌握α=1,2,3,-1,1/2等简单情形的图像与性质。指数函数：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数。*图像：过点(0,1)。a>1时单调递增；0<a<1时单调递减。对数函数：形如y=log_ax（a>0且a≠1）的函数，是指数函数的反函数。*图像：过点(1,0)。a>1时单调递增；0<a<1时单调递减。*对数的基本性质：log_a1=0，log_aa=1，a^(log_aN)=N，log_a(M·N)=log_aM+log_aN，log_a(M/N)=log_aM-log_aN。例题9：比较大小：(1)2^0.3与2^0.5；(2)log_23与log_25；(3)log_32与log_0.52。解析：(1)指数函数y=2^x，a=2>1，单调递增。因为0.3<0.5，所以2^0.3<2^0.5。(2)对数函数y=log_2x，a=2>1，单调递增。因为3<5，所以log_23<log_25。(3)log_32：因为3^1=3>2，所以log_32<1，又因为2>1，所以log_32>0。log_0.52：因为0.5^(-1)=2，所以log_0.52=-1<0。故log_32>log_0.52。2.5三角函数（正弦、余弦的初步认识）在直角三角形中，锐角α的正弦sinα=对边/斜边，余弦cosα=邻边/斜边。推广到任意角的三角函数，其图像和性质更为丰富，是高中阶段的重点。中学阶段初步认识其周期性和有界性（|sinα|≤1，|cosα|≤1）。三、函数的基本性质3.1单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)（或f(x₁)>f(x₂)），那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。判断方法：*定义法：取值、作差（商）、变形、定号、下结论。*图像法：观察图像的上升或下降趋势。*导数法：（高中内容）若f’(x)>0，则f(x)在该区间单调递增；若f’(x)<0，则单调递减。*复合函数单调性：“同增异减”。例题10：证明函数f(x)=x+1/x在(1,+∞)上是增函数。解析：任取x₁,x₂∈(1,+∞)，且x₁<x₂。f(x₁)-f(x₂)=(x₁+1/x₁)-(x₂+1/x₂)=(x₁-x₂)+(1/x₁-1/x₂)=(x₁-x₂)+(x₂-x₁)/(x₁x₂)=(x₁-x₂)(1-1/(x₁x₂))=(x₁-x₂)(x₁x₂-1)/(x₁x₂)。因为x₁<x₂，所以x₁-x₂<0。又x₁,x₂>1，所以x₁x₂>1，x₁x₂-1>0，x₁x₂>0。故f(x₁)-f(x₂)<0⇒f(x₁)<f(x₂)。所以f(x)在(1,+∞)上是增函数。3.2奇偶性定义：设函数f(x)的定义域为关于原点对称的区间，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数；如果都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数。性质：*偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。*奇函数若在x=0处有定义，则f(0)=0。*由奇偶函数构成的复合函数、四则运算后的函数奇偶性有相应规律。例题11：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x³+x；(2)f(x)=x²+|x|；(3)f(x)=x+1。解析：(1)定义域为R，关于原点对称。f(-x)=(-x)³+(-x)=-x³-x=-(x³+x)=-f(x)，所以f(x)是奇函