有理数的除法：从运算关联到算理建构-七年级数学教学设计

有理数的除法：从运算关联到算理建构——七年级数学教学设计一、教学内容分析  从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本节内容隶属于“数与代数”领域，是建立在有理数乘法、倒数概念之上的自然延伸，构成了有理数四则运算体系的最后一块拼图。其知识技能图谱清晰：核心是理解有理数除法法则（除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数），关键技能是能准确、熟练地进行有理数（特别是分数）的除法运算，并能处理乘除混合运算。它在单元知识链中扮演着“承上启下”的角色：既是对有理数乘法运算律及倒数概念的巩固与应用，又为后续学习有理数的乘方、实数运算及代数式的相关运算奠定坚实的算理基础。过程方法层面，本节蕴含了重要的“转化与化归”思想——将未知的除法运算转化为已知的乘法运算。这不仅是解决数学问题的通用策略，也是培养学生逻辑推理能力的有力载体。课堂探究活动应围绕“如何转化”及“为何可以这样转化”展开，引导学生经历从具体实例归纳一般法则，再到算理严谨论证的完整过程。素养价值渗透上，本课超越了单纯的计算技能训练，指向数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养。通过探究除法法则的生成过程，培养学生从特殊到一般的归纳能力与言之有据的推理习惯；通过处理符号问题与混合运算，强化运算的严谨性与程序性，培育理性精神。教学重难点预判为：法则的归纳与理解（重点），以及除数是分数的除法运算及乘除混合运算的顺序与符号处理（难点）。  学情诊断是教学设计的起点。七年级学生已熟练掌握有理数乘法运算，并初步理解了倒数的概念，这为学习除法法则提供了认知锚点。然而，其潜在障碍亦不容忽视：其一，从“除以一个数”到“乘以这个数的倒数”的思维转换存在跨度，部分学生可能机械记忆法则而忽略算理本质；其二，面对含有分数的除法，尤其是除数是分数时，容易与分数乘法混淆；其三，在乘除混合运算中，受小学“先乘除后加减”定式影响，可能忽视同级运算从左到右的顺序规则，且在确定最终结果的符号时易出错。教学对策上，我将通过创设认知冲突情境（如“如何计算（12）÷3/4？”）激活旧知，暴露困惑。在探究过程中，设计层层递进的问题链，搭建从具体数值计算到抽象字母概括的“脚手架”，并鼓励学生用自己的语言解释转化原理。对于不同层次的学生，提供差异化的支持：为理解较快者设置“为什么可以这样转化？”的证明挑战；为需要巩固者提供更多从整数到分数的阶梯性例题。通过课堂巡视、小组讨论展示、即时板演与点评等形成性评价手段，动态把握各层次学生的理解程度，及时调整教学节奏与讲解深度。二、教学目标  知识目标：学生能够完整叙述有理数的除法法则，准确理解“转化为乘倒数”这一核心操作的算理依据。能熟练运用该法则进行整数、分数（特别是除数为分数）的有理数除法运算，并能正确处理含有多重符号的算式及乘除混合运算的运算顺序，实现从记忆规则到理解原理的知识建构。  能力目标：学生经历从具体算式观察、归纳一般法则的过程，提升归纳概括与数学抽象能力。在探究“法则为何成立”的活动中，发展基于已有知识（乘法法则、倒数定义）进行逻辑推理和说理的能力。通过解决变式练习和实际问题，提升数学运算的准确性与流畅性，以及在新情境中综合运用知识解决问题的能力。  情感态度与价值观目标：在小组合作探究中，学生能积极倾听同伴观点，勇于表达自己的思考，体验通过集体智慧攻克难题的成就感。在算理探究中，感受数学内部和谐统一（乘除互逆）之美，养成严谨、求实的数学学习态度，激发对数学逻辑之美的欣赏。  科学（学科）思维目标：重点发展“转化与化归”的数学思想，引导学生自觉将未知、复杂的除法问题转化为已知、简单的乘法问题。同时，强化“从特殊到一般”的归纳思维模式，以及运用数学符号语言进行精确表达和推理的理性思维习惯。  评价与元认知目标：引导学生学会利用“除法转化为乘法”这一核心策略来检验除法计算结果的合理性。鼓励学生在练习后反思：“我是否真正理解了法则？”“在运算顺序和符号确定上我常犯什么错误？”从而发展自我监控与调整学习策略的元认知能力。三、教学重点与难点  教学重点：有理数除法法则的归纳、理解与初步应用。确立依据在于，该法则是本节知识的核心“大概念”，是整个有理数除法运算的基石，其理解深度直接决定了后续运算的准确性与灵活性。从学科体系看，它完善了有理数的基本运算体系；从学业评价看，它是各类考试考查运算能力的基础考点，且常作为处理更复杂代数运算的工具。  教学难点：除数是分数（特别是带分数）的有理数除法运算，以及含有多重符号的乘除混合运算。预设依据主要基于学情：首先，从“除以整数”到“除以分数”存在认知跳跃，学生容易在“谁变倒数”上混淆；其次，乘除混合运算中，运算顺序（同级从左到右）与结果符号的确定（需分步或整体判断积的符号）对学生的注意力分配和逻辑条理性要求较高，这与七年级学生尚在发展的思维周密性形成矛盾，是作业和测试中的典型失分点。突破方向在于强化算理理解，并通过对比练习、错例剖析进行针对性强化。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（包含问题情境、探究引导、阶梯例题、动画演示转化过程）；实物投影仪；设计合理、留有空间的黑板板书记划（左侧流程，中右例题与生成）。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（内含引导性问题、探究记录区、分层练习题）；小组讨论记录卡片。2.学生准备2.1知识准备：复习有理数乘法法则、倒数的概念及求法。2.2学具准备：课堂练习本、笔。3.环境准备3.1座位安排：四人小组就座，便于合作探究。五、教学过程第一、导入环节  1.情境设疑，激活旧知：“同学们，我们已经是有理数乘法运算的‘高手’了。现在老师遇到一个‘新’问题：（12）÷3/4等于多少呢？——哎，我看到有同学眉头皱起来了，除法，还是分数，感觉有点陌生对吧？”（利用认知冲突激发探究欲）  1.1建立联系，明确路径：“别急，我们想想，在数的世界里，加法和减法、乘法和除法常常是‘好朋友’，它们之间存在着奇妙的关系。回顾一下，减法是加法的什么运算？（逆运算）那么，除法会不会和乘法也有某种特别的‘亲戚关系’呢？今天，我们就化身数学侦探，一起探索有理数除法的奥秘，看看能否借助我们强大的‘乘法武器’，来攻克‘除法堡垒’。”（勾勒学习路线，建立新旧联系）第二、新授环节  本环节通过搭建层层递进的认知支架，引导学生在探究中自主建构法则。任务一：温故知新，感知乘除关联教师活动：首先，板书一组填空题：（1）因为3×4=12，所以12÷4=___；（2）因为（3）×4=12，所以（12）÷4=___；（3）因为3×（4）=12，所以（12）÷（4）=___。引导学生回顾“乘除互逆”关系。随后提问：“观察（2）（3）两题，商的符号规律与我们学过的什么法则很像？”引导学生与乘法法则的符号规律进行类比。接着，抛出关键引导：“如果除数不是整数，比如（12）÷3/4，我们还能直接用这种‘逆运算’想法去猜一个数吗？是不是有点麻烦？有没有更通用的‘法宝’？”学生活动：快速口答填空，回顾乘除互逆关系。观察、比较并说出商的符号规律：“同号得正，异号得负”，与乘法法则一致。思考教师提出的新问题，意识到单纯“猜”一个乘积的因数在面对分数时效率低下，产生寻找通用方法的需求。即时评价标准：1.能否快速、准确地根据乘法算式写出除法结果。2.能否清晰表述出商的符号规律，并建立与乘法符号规律的联系。3.面对新问题（除数为分数）时，是否表现出积极的思考状态。形成知识、思维、方法清单：①乘除互逆关系是探究除法法则的起点。这是连通新旧知识的桥梁。②商的符号规律与乘法法则一致（同号得正，异号得负）。这启示我们，除法运算可以分“符号”和“绝对值”两部分来考虑。▲逆向思维的应用。从结果反推原因，是数学中常用的思考方式。任务二：实例探究，发现转化线索教师活动：出示一组计算题，让学生计算并寻找联系：①8÷2=4,8×(1/2)=?；②（10）÷5=2,（10）×(1/5)=?；③12÷(3)=4,12×(1/3)=?。提问：“请大家算一算右边，看看每一组左右两个算式的结果有什么关系？左边的除数和右边的乘数又有什么关系？”待学生发现规律后，追问：“这个规律暗示我们，除法可以怎样转化为另一种运算？”请学生用语言初步描述。学生活动：独立或与同桌协作完成计算。通过观察和比较，发现每组两个算式的结果相等，且左边的除数与右边乘的数是倒数关系。尝试用语言概括：“除以一个数，好像等于乘以这个数的倒数。”即时评价标准：1.计算是否准确。2.观察是否细致，能否发现结果相等及乘除数之间的倒数关系。3.概括性语言是否清晰、准确。形成知识、思维、方法清单：★核心猜想：除以一个不等于零的数，可能等于乘这个数的倒数。这是本节课最关键的发现。③倒数是实现乘除转化的关键‘桥梁’。▲从特殊到一般的归纳思想。通过几个具体例子，发现共通的模式，是数学发现的重要方法。任务三：算理验证，确立法则教师活动：“我们发现了有趣的猜想，但数学不能只靠例子，还需要讲道理。谁能用我们学过的知识，证明一下‘除以一个数等于乘以这个数的倒数’为什么成立？”提供脚手架：设a÷b=c(b≠0)，根据除法的定义，这意味着c×b=a。那么，如何将c用a和b表示出来？引导学生两边同时乘以b的倒数1/b。完成推理后，教师用字母形式严谨板书推导过程，并强调b≠0的条件。最后，与学生共同用精炼的数学语言完整表述法则。学生活动：跟随教师的引导，尝试用字母进行推理。理解“除法定义→乘法等式→利用倒数求解未知商”的逻辑链条。参与法则的最终表述：“有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。”即时评价标准：1.能否理解教师引导的证明思路。2.能否关注到b≠0这一重要前提。3.能否准确、流利地复述法则。形成知识、思维、方法清单：★有理数除法法则（字母形式）：a÷b=a×1/b(b≠0)。这是必须牢固掌握的终极结论。④法则成立的理论依据是除法定义和倒数的性质。明白“为什么”，才能用得活。★严谨性意识。数学结论需要逻辑证明，条件（b≠0）不可或缺。任务四：法则初用，规范步骤教师活动：板书例题1：计算（1）（36）÷9；（2）(3/5)÷(2/5)。教师示范第（1）题，强调步骤：先确定符号（异号为负），再将除法转化为乘法（36×1/9），最后计算绝对值。请一位学生板演第（2）题，并要求其讲解每一步的思考过程。提问：“在做第（2）题时，哪里是最需要小心的？”（提示：除数是分数，转化后变成乘它的倒数，注意倒数是将分子分母颠倒位置）。学生活动：观看教师示范，记录步骤要点。一位学生板演（2），其余学生在任务单上练习。倾听同伴讲解，检查自己的步骤是否规范。回答教师提问，明确处理分数除法的关键点。即时评价标准：1.板演步骤是否规范、完整（尤其转化环节）。2.计算是否准确，特别是分数的乘法和化简。3.讲解是否清晰，重点是否突出。形成知识、思维、方法清单：⑤有理数除法的运算步骤：一“定号”，二“转化”，三“计算”。规范化操作能减少错误。⑥除数是分数时，其倒数就是将分子、分母颠倒位置。这是操作细节上的易错点，需反复强化。程序化思想。将运算分解为清晰的步骤，是提高运算准确率的有效策略。任务五：综合应用，处理混合运算教师活动：出示例题2：计算（1）(48)÷8×(1/4)；（2）(7/8)÷(7/4)×(1)。首先提问：“这个算式里有几种运算？它的运算顺序是怎样的？”强调同级运算从左到右。然后引导学生有两种处理策略：一是按顺序分步做，每步先做除法转化为乘法；二是先将整个算式中的除法全部转化为乘法，一次性约分计算。对比两种方法，引导学生体会灵活性的重要。设置小挑战：“你能一眼看出（2）题的结果符号吗？”学生活动：思考运算顺序，回顾小学知识。在教师引导下尝试两种解法，比较优劣。对于（2）题，尝试先判断符号：负因数的个数？体会“先定号，后计算”的策略有时能简化过程。即时评价标准：1.是否明确同级运算从左到右的顺序。2.能否正确实施除法到乘法的转化。3.能否尝试运用先判断符号的策略简化计算。形成知识、思维、方法清单：⑦乘除混合运算属同级运算，应按从左到右的顺序进行。这是易与“先乘除后加减”混淆的规则。⑧处理混合运算的策略多样性：可分步转化计算，也可整体转化后一次性计算（推荐）。⑨对于连乘除算式，可以通过数负因数的个数提前确定结果的符号。这是提高运算效率和准确性的高级策略。第三、当堂巩固训练  设计分层、变式练习，并提供即时反馈。  A层（基础巩固）：1.口答：（18）÷6；0÷(5)；(2/3)÷(1)。（目标：直接应用法则，巩固基本运算）2.填空：(12)÷(3/4)=(12)×(___)。（目标：聚焦转化步骤）  B层（综合应用）：计算：（1）(6.5)÷0.13；（2）(3/4)÷(6)×(2)；（3）(5/121/4)÷(1/24)。（目标：处理小数、分数混合运算及含括号的稍复杂情境）  C层（思维挑战）：1.若ab<0，则|a÷b|=___。2.请设计一道有理数除法的应用题，并解答。（目标：深化对符号的理解，进行简单的数学建模）  反馈机制：A层练习采用全班齐答或个别提问，快速诊断基础掌握情况。B层练习请不同层次的学生板演，教师引导全班进行批改与点评，重点剖析典型错误（如顺序错误、倒数求错、符号遗漏）。C层练习鼓励学有余力的学生思考，并请其分享思路或所编题目，激发课堂思维深度。教师巡视全场，针对个体问题进行一对一指导。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与反思。“旅程接近尾声，哪位侦探来为我们梳理一下今天的‘破案’线索与成果？”鼓励学生从知识（法则是什么）、方法（如何得到法则、如何运算）、思想（转化思想）等多维度回顾。教师最后用简洁的结构图（除法→转化→乘法）板书总结，并强调算理的核心地位。  作业布置：必做（基础性）：教材课后练习对应基础题。选做（拓展性）：1.探究：有理数除法有交换律、结合律吗？举例说明。2.生活应用：查找天气预报中气温的变化率（如24小时降温幅度），尝试用有理数除法表示平均每小时降温多少度。六、作业设计  基础性作业（必做）：1.完成课本本节练习中关于直接运用除法法则计算的题目（约810道）。2.判断改错题：给出几道含有典型错误（如忽略符号、错误求倒数、运算顺序错）的计算过程，请学生诊断并改正。  拓展性作业（选做，鼓励大多数学生尝试）：1.情境应用题：“一辆汽车在一条东西走向的公路上行驶，某段时间内的位移可以记为有理数。若它向东行驶了60公里（即向西60公里），用时1.5小时，它的平均速度是多少？请用有理数除法计算并解释结果的实际意义。”2.规律探究题：计算下列各组算式，比较结果，你发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？（12）÷4÷(2)与（12）÷[4×(2)]。  探究性/创造性作业（学有余力者选做）：1.数学小论文（提纲）：以“乘与除的‘孪生’关系——论有理数运算中的转化思想”为题，撰写一份简短提纲，阐述你对两者联系的理解，并至少举两个例子说明这种转化思想在数学其他领域的体现。2.编题挑战：创作一道包含三步以上有理数乘除混合运算的应用题，要求情境自拟，并给出完整解答和评分标准。七、本节知识清单及拓展  1.★有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。这是运算的“总开关”。  2.★符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。这与乘法法则一致，常与法则结合使用。  3.0除以任何非零数：0除以任何一个不等于0的数，都得0。（0不能作除数！）  4.运算步骤：一判（判断符号，或先转化），二化（将除法转化为乘法），三算（进行乘法运算）。  5.除数是整数的除法：直接应用法则，除数变其倒数（整数n的倒数是1/n）。  6.除数是分数的除法：关键操作是求除数的倒数（将分子分母颠倒位置），这是易错点，需特别小心。  7.除数是小数的除法：通常将小数化为分数后再计算，或利用商不变性质（后续联系）。  8.乘除混合运算顺序：属于同级运算，必须按照从左到右的顺序依次计算，不能随意先算后面的乘法。  9.运算策略：对于连乘除算式，可一次性将所有除法转化为乘法，统一约分计算，更为简便。  10.倒数求法：求一个数的倒数，就是1除以这个数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。注意：0没有倒数。  11.法则的推导依据：基于除法是乘法的逆运算以及倒数的定义，体现了数学的严谨逻辑。  12.▲化归（转化）思想：将除法问题转化为已熟知的乘法问题，是数学中“化未知为已知”的典型策略。  13.易错点警示：忽视“除数不为0”的条件；求倒数时混淆分子分母（特别是分数）；乘除混合运算中顺序错误；符号确定与绝对值计算分离不当。  14.▲与乘法的关系：除法法则使得乘、除运算在有理数范围内实现了形式和算理上的统一，完善了运算体系。八、教学反思  （一）目标达成度评估：本节课预设的知识与技能目标基本达成，多数学生能准确叙述法则并完成基础运算。过程方法目标上，“转化”思想的渗透在探究环节效果显著，学生能主动提及“变除为乘”。然而，在算理验证环节，部分学生的逻辑跟进稍显吃力，反映出抽象推理能力存在差异。情感目标方面，情境导入和探究任务激发了普遍兴趣，小组讨论氛围积极。  （二）环节有效性剖析：导入环节的认知冲突设置成功，迅速聚焦问题。任务链设计环环相扣，从感知、发现到验证、应用，符合认知规律。其中，任务二（实例探究）到任务三（算理验证）的过渡是思维攀升的关键点，部分学生在这里需要更多的“停顿”和教师引导才能完成从感性到理性的跨越。当堂巩固的分层设计满足了不同需求，B层练习的板演与互评环节是高效的反馈时机，暴露了运算顺序和分数处理等典型问题，及时得到了纠正。C层挑战题参与度虽不高，但为资优生提供了思维延伸的空间。  （三）学生表现深度剖析：观察发现，学生大致可分为三类：一是“顺畅建构型”，能迅速理解算理并灵活应用，他们享受