安徽省部分学校2025-2026学年高二数学上学期12月联考试题含解析

考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列，，，，…，则该数列的一个通项公式为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可.【详解】数列，，，，…，即数列，，，，…的一个通项公式是．故选：D.2.圆的圆心坐标和半径分别是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径.【详解】由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为．故选：D.3.已知向量，且，则的值为（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值.【详解】由已知得.因为，所以，解得．故选：C.4.在某种药物的临床试验中，每天对患者的某项生理指标进行一次测量．第一天该项指标的值为12，前五天该项指标的值之和为110，且每天的值依次构成等差数列，则该等差数列的公差为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】由等差数列前项和公式和等差中项公式求出即求公差．【详解】设该等差数列为，其公差为，前项和为，，，由等差数列的性质得，解得，所以．故选：B．5.已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，则（）A.4 B. C. D.8【答案】D【解析】【分析】根据抛物线定义可得等边三角形，设准线与轴交于点，在中求解即可.【详解】因为，所以为等边三角形，设准线与轴交于点，在中，，所以．故选：D6.有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（）A.12米 B.13米 C.14米 D.15米【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据题意求圆心和半径，即可得圆的方程，令运算求解即可.【详解】建立平面直角坐标系如图，则，可知圆心在y轴负半轴上，设为，则，即，解得，即圆心为，半径，可得桥拱所在圆的方程为，令，可得，解得，所以水面宽是12米．故选：A.7.已知双曲线的离心率为2，过右焦点作斜率为1的直线与交于两点，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及弦长公式计算即可．【详解】因为双曲线离心率，所以．由，得，所以双曲线方程为，右焦点为．由题意知，直线的方程为，设，联立，得，所以，则，所以．故选：A.8.已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可设直线方程为，与椭圆方程联立，用表示出线段中点的坐标，根据中点在直线上，求出的值，再利用求得的取值范围；或根据中点坐标公式，利用点差法求得直线的斜率，并根据中点在直线上求出线段的中点坐标，根据中点在椭圆内求得的取值范围.详解】由题意知，设直线.，得.则.所以线段中点的横坐标为，纵坐标为.因为线段的中点在直线上，，解得.所以，解得．方法二：由题意知，设．∵线段的垂直平分线为.设线段的中点为，则点在直线上，即.因为是椭圆上的点，所以.两式相减，得，即.由中点坐标公式得，可得，所以.代入，得.因为是椭圆上的点，所以线段的中点在椭圆内部，所以，即，解得．故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.记等差数列的公差为，已知，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列定义及性质逐项分析判断.【详解】等差数列的公差为，，对于A，，A正确；对于B，的符号无法确定，B错误；对于C，，C错误；对于D，，，则，D正确.故选：AD10.在平行六面体中，，则下列说法正确的有（）A.B.C.直线与所成角的余弦值为D.二面角的余弦值为【答案】BCD【解析】【分析】A：由结合数量积运算求解出结果；B：根据结合数量积的运算求解出结果；C：先根据结合数量积的运算求解出，再由代入数据求解出结果；D：取的中点，通过几何关系可证即为所求二面角的平面角，结合线段长度以及余弦定理求解出结果.【详解】对于A，令，则，所以，所以，故A错误；对于B：，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为，所以，因为，所以，取的中点，连接，因为，所以，则即为所求二面角的平面角，又因为，所以，故D正确．故选：BCD.11.已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（）A.经过坐标原点B.关于轴对称C.上的点的纵坐标的取值范围是D.上的点到原点的距离的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据曲线方程逐项分析AB即可，设，代入原方程求出，分析r的取值范围即可求解判断C；由C即可求解判断D.【详解】对于A：显然原点满足方程，故曲线经过坐标原点，故A正确；对于B：设点为曲线上的点，即，但该点关于轴对称的点代入曲线的方程为，与原方程不同，所以点不一定在曲线上，故曲线C不关于轴对称，故B错误；对于C：设，则原方程化为又，当时，当时，则C上的点的纵坐标的取值范围是，故C正确；对于D：由C得曲线上的点到原点的距离，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为______．【答案】【解析】【分析】利用空间向量中点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意得，边上的高即为点A到的距离，所以边上的高为．故答案为：13.在数列中，，若数列是公差为3的等差数列，则_____．【答案】23【解析】【分析】根据题意结合等差数列定义可得，再结合等差数列通项公式运算求解.【详解】因为数列是公差为3的等差数列，则，即，可知，，，是首项为2，公差为3的等差数列，在这个数列中，是第8项，所以．故答案为：23.14.某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意求出两条渐近线的方程分别为和，从而焦点所在直线的方程为，求出实轴顶点坐标可得，再结合求解.【详解】由题意，当趋于无穷大时，，可得两条渐近线的方程分别为和，两条渐近线的夹角为，依据题意重新建立直角坐标系，以两渐近线的角平分线为轴，焦点所在直线为轴，由解得或记双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，可得，又，所以，故此时双曲线的标准方程为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正方体中，分别是的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)通过建立直角坐标系，将线段转化为向量，利用“向量点积为0则垂直”的性质证明.(2)先求平面的法向量，再计算直线的方向向量与平面法向量的夹角余弦值，取绝对值即得线面角的正弦值.【小问1详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则：．因为，所以，所以．【小问2详解】．设平面的法向量为，则可取．设直线与平面所成的角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．16.（1）若为等差数列，且，，求的通项公式；（2）记前项和为，若，，且为等差数列，求和．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组求解可得结果；（2）设的公差为，由等差数列的通项公式得到的通项公式，从而得到的表达式，由可得的值，从而得到和.【详解】（1）设的公差为．由题意知解得所以．（2）设的公差为，则，即．当时，，所以，得，所以，也符合该式．所以．17.已知圆，圆，直线经过点，且与圆交于两点，．（1）求的方程；（2）若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点的距离的最小值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式、圆的弦长公式等求出直线斜率，再利用斜截式方程计算即可.（2）先求出动圆圆心的轨迹方程，根据两点间距离公式求出的表达式，结合二次函数即可求出最小值.【小问1详解】圆的圆心坐标为，半径为.当斜率不存在时，直线为（即轴），此时圆心到直线的距离，直线与圆无交点，舍去.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.此时圆心到直线的距离为，又，所以，即，两边同时平方得，整理得，，即，解得或，所以的方程为或，即或.【小问2详解】圆的圆心坐标为，半径为.设动圆的半径为，由题意，得，.若，则，而，不满足，舍去.因此必有，则.所以，所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，此时，，所以的轨迹方程为．设，则有，所以，所以，由二次函数的图象与性质可知，当时，有最小值，最小值为5，所以，此时．18.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形．（1）如图，若平面平面分别是的中点，①求与所成角的余弦值；②设平面与棱交于点，求．（2）如图，若二面角为，求四棱锥的外接球的半径．【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①根据位置关系建立合适空间直角坐标系，然后根据向量法求解出夹角的余弦值，则结果可知；②根据条件设，由共面可设，根据向量的坐标列出对应方程组，由此可求解出结果；（2）先判断出二面角的平面角为，然后建立合适空间直角坐标系并根据求解出球心的坐标，则外接球的半径可求.【小问1详解】取的中点的中点，连接．因为侧面为正三角形，底面是边长为的正方形，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，故两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，（i），故，故与所成角的余弦值为．（ii）易知，设，则，且，因为四点共面，所以共面，故存在唯一的实数对，使得，即，所以，解得，所以．【小问2详解】如图，取的中点，过点作，交于点，连接，因为侧面为正三角形，底面是边长为的正方形，所以，所以就是二面角的平面角，则．设正方形的中心为，过点作平面的垂线，设的中心为，过点作平面的垂线，则两条垂线的交点即为外接球的球心，取的中点，连接，则两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，依题意设，则，由，得，解得，故外接球的半径．19.“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：若是平面直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为；若是空间直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为．（1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是线段上的动点，求；（2）在空间直角坐标系中，为坐标原点，动点满足，求动点的轨迹围成的几何体的体积；（3）已知不同的三点都在椭圆上，轴，点满足，若直线与的交点在轴上，求的最大值．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据距离新定义计算求解；（2）根据空间向量关系结合锥体体积公式计算求解；（3）根据三点共线的向量关系方法一：结合三角函数值域计算求解方法二：应用二次函数值域求解.【小问1详解】由题意，得．．小问2详解】