新教材北师大版八年级数学下册2.3一元一次不等式与一次函数（教学设计）教案

2.3一元一次不等式与一次函数教学设计1.教学内容本节选自北师大版八年级下册《不等式与不等式组》第二章第3节“2.3一元一次不等式与一次函数”，核心内容包括：一元一次不等式与一次函数图像的对应关系，利用数形结合判断不等式解集，及在实际问题中运用一次函数模型解决不等式问题。2.内容解析本节通过数形结合，将代数中对一元一次不等式的求解与一次函数图像相联系，重点理解当函数值大于或小于某一区域时，横坐标的取值范围如何变化；难点在于综合运用数学建模思想，借助一次函数表达式和图像，找出不等式解集并分析实际背景下的最优决策方案。1.教学目标•理解一元一次不等式与一次函数图像的关系，能够通过函数图像直观判断不等式的解集。

•能在实际问题中建立函数模型并利用图像解不等式，综合运用数形结合与数学建模思想。2.目标解析•通过分析一次函数y=kx+b在坐标平面上的位置，理解“图上方或下方”与不等式kx+3.重点难点•教学重点：利用一次函数的图像判断不等式解集。•教学难点：结合实际情境建立模型，综合运用数形结合及建模思想解决不等式问题。学生已具备一元一次方程和一次函数的基础知识，也能初步理解多项式运算。在学习“数形结合”解不等式时，可能较容易接受图像与不等式解集的对应关系，但在应用题中列函数方程式并转化为不等式求解、尤其在临界值的讨论和决策分析等环节，学生容易出现方法混乱或遗漏情况，需要重点引导与示范。创设情景，引入新课问题情境：情景引入经过上节课的学习，你还记得什么是一元一次不等式吗？只含有一个未知数，且未知数的次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式.本节课我们将结合一元一次不等式，学习它与一次函数的关系，你还记得一次函数的概念和相关性质吗？①一次函数的一般形式是

y=kx+b（k≠0），其图像是

一条直线。②增减性：已知一次函数y=kx+b（k≠0）当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.一元一次不等式与二次函数有什么关系？【设计意图】通过复习“什么是一元一次不等式”、一次函数的基本概念与性质，快速唤起学生对旧知的记忆。抛出一元一次不等式与二次函数间的对比问题，引发思考，为后续学习做好铺垫，激发探究兴趣。探究点1：一元一次不等式与一次函数1.议一议函数y=2x−5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：（1）x取什么值时，2x−5=0？解：由图可知交点为A(2.5，0)，故x=2.5（2）x取哪些值时，2x−5>0？解：即函数值y>0，此时函数图象在x轴上方，对应x的取值范围为x>2.5（3）x取哪些值时，2x−5<0？解：即函数值y<0，此时函数图象在x轴下方，对应x的取值范围为x<2.5（4）x取哪些值时，2x−5>1？解：即函数值y>1，在图象上找到y=1对应的点，图象在y=1上方的部分对应x>3。2.尝试思考如果y=−2x−5，那么：当x取哪些值时，y<0？当x取哪些值时，y<1？你是如何求解的？解：利用解不等式的方法①解不等式−2x−5<0，得−2x<5，即x>−52②解不等式−2x−5<1，得−2x<6，即x>−3；结合并观察函数图像①观察函数y=−2x−5的图象，图象在x轴下方（y<0）时x>−52②观察函数图象y=1对应的x值，因函数递减，y<1时x>−3.3.知识归纳一元一次不等式与一次函数的关系①一元一次方程kx+b=0的解，对应一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标.②一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解集，对应一次函数y=kx+b的图像在x轴上方（或下方）时，所有x的取值范围。这种通过函数图像解决代数问题的方法，体现了数形结合数学思想4.练一练一次函数y=kx+b的图象如图所示，当kx+b>3时，x的取值范围是（

）A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>2【分析】利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当y>3时，函数的图象在x轴的左侧，写出对应x的取值范围即可解：由一次函数y=kx+b的图象可知，当y>3时，x<0故选：B．【设计意图】通过数形结合，学生能直观理解不等式解集与一次函数图像位置的关系，突破“解不等式”与“图像”间的认知隔阂，达成“重点”目标。探究点2：两个一次函数与一元一次不等式的关系1.想一想兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。列出函数关系式，画出函数图象.解:设哥哥跑的时间为x秒（x≥0），则：弟弟跑的路程

y1故

y1哥哥跑的路程

y2故

y2则函数图像如图所示：问题解决（1）何时弟弟跑在哥哥前面？解：方法一：转化为不等式：

y1>

y解不等式得

x<9。因此，哥哥起跑后9

秒内，弟弟跑在哥哥前面.方法二：找图像中

y1比

y观察图像可知x<9时，弟弟跑在哥哥前面（2）何时哥哥跑在弟弟前面？解：转化为不等式：

y2>

y解不等式得

x>9。因此，x>9

时，哥哥跑在弟弟前面.方法二：找图像中

y2

比

y观察图像可知x>9时，哥哥跑在弟弟前面（3）谁先跑过20

m？谁先跑过100

m？解：①跑过20

m的时间：令y=20，则

y=20与两函数图像交点如图两交点的横坐标分别为

x1、由图可知

x1<

x同理，可在图像上找到y=100对应交点的横坐标，最终观察发现哥哥先到100m②也可分别求出两人跑过对应路程的时间，再比较2.知识归纳两个一次函数与一元一次不等式的关系两个一次函数

y1=k1x+b1和

y2=k2x+b2（k1≠k2），不等式

y1>

y2体现了数形结合思想的灵活运用，因此在使用此关系时，需画函数图像观察寓意辅助.3.练一练如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x<ax+4的解集为（

）A．x<32 B．x>3C．x<3 D．x>3【分析】求出点A的坐标，再根据当x<32解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，代入求解得点A(32,3)，由图可知，不等式2x<ax+4的解集为：x<【设计意图】通过实际生活情境“赛跑”激发学生的好奇心与探究欲，理解两个一次函数图像“谁在上谁在下”与不等式解集的对应。培养学生的数学建模与数形结合能力，为后续决策类问题打下基础。探究点3：实际问题中的一次函数与不等式——决策类问题1.思考交流某学校为打造“书香校园”，准备用2000元购买一批图书。甲书店的付款方式为：花20元办一张会员卡，所购图书总价可打八折。乙书店的付款方式为：花200元办一张会员卡，所购图书总价可打七折。你认为学校选哪个书店购书更合算？解：①根据题意列一次函数设购买图书的原价总额为x元，分别表示在甲、乙书店的实付款y甲和y{②确定临界值令y甲=y乙此时两书店实付款均为1460元③分情况讨论画出y甲与yo当图书原价x<1800时，yo当图书原价x=1800o当图书原价x>1800结合预算2000元，学校应根据实际购书原价选择：原价低于1800元选甲，高于1800元选乙，等于1800元均可2.知识归纳决策类问题①明确问题，梳理条件②建立数学模型③求临界值（比较函数值大小，也可以根据函数解析式画出图像，并在图像上标注临界值，便于观察比较）④分类讨论，确定解集⑤总结结论，优化决策3.典例分析例1某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2y由y1=y由y1>y由y1<y因为参加旅游的人数为10~25人，所以，当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少。4.练一练某通讯公司推出两种流量套餐：套餐一：月租50元，含1GB流量，超出部分按10元/GB收费；套餐二：月租80元，含3GB流量，超出部分按8元/GB收费。

设每月使用流量xGB（x>3），分别写出两种套餐的费用y1、y2解：设每月使用流量为x GB（x>3），分别计算两种套餐的费用：套餐一：月租50元含1GB，超出部分10元/GB（x>3，必然超出1GB）费用=月租+超出1GB的费用，则y1套餐二：月租80元含3GB，超出部分8元/GB（x>3，超出3GB）费用=月租+超出3GB的费用，则y2“套餐二更合算”即y2<代入函数式：8x+56<10x+40移项化简：56−40<10x−8x解得x>8结论：当每月使用流量x>8GB时，选择套餐二更合算.【设计意图】让学生通过“决策类”应用问题，加深对不等式与函数图像结合的理解与运用，完成“难点”目标。帮助学生感受数学在生活中的实用价值，增强学习动机。1．如图，一次函数y=kx+b的图象经过坐标轴上A，B两点，则关于x的不等式kx+b<0的解集是（

）A．x<1 B．x>1 C．x<−2 D．x>−2解：C．2.若一次函数y=kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么当x>2时，y的取值范围是（

）A．y<0 B．y>0 C．y<1 D．y>2解：A．3.如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b<0的解集是_________．解：x<−3.4.如图，已知函数y=34x和y=ax+5的图像相交于点P(m,3)，则不等式3解：x<45.一次函数y1=ax+b与y①ad+bc>0；②3(a−c)=d−b；③x的值每增加1，y2−y④a+b<c+d．其中正确的是_________．解：①②6.某校校长暑假将带领该校三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“若校长买全票，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠”．已知全票价格为240元．根据学生人数讨论哪家旅行社更优惠？解：设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲(元)，乙旅行社的收费为yyy令y甲=y乙