安徽皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷B（试卷+解析）

安徽皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷B（试卷满分：150分考试时间：120分钟）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡指定位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，确认无误后将条形码粘贴在答题卡相应位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.函数的零点所在的区间是（）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)3.下列函数中,在其定义域上是增函数的是（）A. B. C. D.4.已知为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（）A. B. C. D.6.连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（）A.有3次或4次出现反面 B.只有3次出现反面C.有3次或4次出现正面 D.只有1次出现正面7.设，，，则（）A. B. C. D.8.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为（单位：天）.现有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为、，开始记录时，这两种物质的质量相等，天后测量发现甲的质量是乙的质量的倍，则、应满足（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试（满分10分），其中男生135人，女生90人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则（）A.样本中有12位男生的测试成绩B.样本中女生测试成绩的70%分位数是8.5C.样本中女生测试成绩方差为2D.样本中所有学生测试成绩的平均数为7.7510已知，，且，则（）A. B.C.的最小值为2 D.的最大值为411.设函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，当时，.若，则（）A.直线是函数图象的对称轴B.点是函数图象的对称中心C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算___________.13.若函数是偶函数，则实数_____.14.如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算：（1）；（2）.16.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照,分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.17.已知函数，.（1）判断函数奇偶性并证明；（2）若实数，满足，求的取值范围.18.甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件.（1）求事件“甲只回答2道题且通过”的概率；（2）求事件和事件同时发生的概率；（3）求甲、乙两人恰有一人通过面试概率.19.我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间上的“阶搭配函数”；当时，称为区间上的“阶自搭配函数”.（1）判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由；（2）若函数是函数在区间上的“4阶搭配函数”，求的最大值；（3）若函数是函数在区间上的“阶搭配函数”，求实数的取值范围.安徽皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷B（试卷满分：150分考试时间：120分钟）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡指定位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，确认无误后将条形码粘贴在答题卡相应位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为，所以，故选：B.2.函数的零点所在的区间是（）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理判断．【详解】，，又函数在区间上的图象是连续不断的曲线，则函数在区间(2,3)存在零点，故选：C.3.下列函数中,在其定义域上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根据基本初等函数的性质判断可得.【详解】一次函数为上的减函数，指数函数为上的减函数，二次函数在区间上是减函数，在区间上单调递增；幂函数为定义域上的增函数，故选：D.4.已知为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由不等式性质根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，则，即充分性成立；若，则，即，即，所以，即必要性成立.故选：C.5.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】设密码被成功破译的事件为，则这份密码没有被破译的概率为，所以密码被成功破译的概率为，故选：C.6.连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（）A.有3次或4次出现反面 B.只有3次出现反面C.有3次或4次出现正面 D.只有1次出现正面【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用对立事件的定义判断即可.【详解】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反，事件“至少2次出现正面”包含了4正0反，3正1反，2正2反，则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面.故选：A7.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数单调性得到，利用对数函数的单调性得到，，再作商得到，即可求解.【详解】，，，又因为则，从而，故选B.8.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为（单位：天）.现有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为、，开始记录时，这两种物质的质量相等，天后测量发现甲的质量是乙的质量的倍，则、应满足（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设这两种物质的初始质量都为，求出天后甲、乙两种物质的质量，结合题意与指数运算可得出、所满足的关系式.【详解】不妨设这两种物质的初始质量都为，则天后甲、乙两种物质的质量分别为、，由题意知，即，即，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试（满分10分），其中男生135人，女生90人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则（）A.样本中有12位男生的测试成绩B.样本中女生测试成绩的70%分位数是8.5C.样本中女生测试成绩的方差为2D.样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75【答案】AC【解析】【分析】根据分层抽样的定义可知样本容量为20，进而求出样本中男生人数即可判断A，再结合百分位数、方差和平均数的定义求解，进而判断BCD.【详解】高一年级男生、女生之比为，由样本中有8位女生的成绩，则样本中有12位男生的测试成绩，故A正确；由，则样本中女生测试成绩的70%分位数是第6项9，故B错误；样本中女生测试成绩的平均数为8，则其方差为，故C正确；样本中所有学生测试成绩的平均数为，故D错误.故选：AC10.已知，，且，则（）A B.C.的最小值为2 D.的最大值为4【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判断A、B、D，利用乘“1”法及基本不等式判断C.【详解】对于A：因为，，且，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：因为，即，当且仅当时取等号，则，当且仅当时取等号，故B正确；对于C：，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于D：由，可得，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为4，故D正确.故选：ABD11.设函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，当时，.若，则（）A.直线是函数图象的对称轴B.点是函数图象的对称中心C.D.【答案】ABC【解析】【分析】依题意由偶函数性质可得关于对称，再由奇函数性质可得关于点中心对称，即AB均正确，再由函数解析式以及所给函数值计算可得C正确，利用对称性计算可得D错误.【详解】对于A，因为为偶函数，则，即，所以的图象关于直线对称，故A正确；对于B，为奇函数，则，即，从而的图象关于点中心对称，且，故B正确；对于C，，即，又，得，故C正确；对于D，当时，，又的图象关于直线对称，关于点中心对称，所以，故D错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算___________.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质，将表达式进行化简.【详解】.故答案为：13.若函数是偶函数，则实数_____.【答案】8【解析】【分析】确定函数的定义域为，再利用偶函数定义计算即可得解.【详解】函数的定义域为，由，得，即，又，则.故答案为：8.14.如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________.【答案】【解析】【分析】先计算元件至少有一个正常工作的概率，从而可得系统正常工作的概率.【详解】因为元件至少有一个正常工作的概率为，所以系统正常工作的概率为.故答案为：四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质，将各项化为最简形式后再进行加减运算；（2）利用对数的运算性质，特别是进行化简.【小问1详解】【小问2详解】.16.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照,分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.【答案】（1）；（2）万；（3）.【解析】【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x的值.试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12="36"000．（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．17.已知函数，.（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）若实数，满足，求的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数解析式可知其定义域为，再由奇函数定义判断可知是奇函数；（2）利用函数奇偶性可得，将化简并利用换元法转化为二次函数求最值问题即可得出结果.【小问1详解】函数为奇函数；证明如下：由，解得，所以函数的定义域为,任取，，所以函数是奇函数.【小问2详解】由题意，由于在区间上是减函数，由于在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，所以，于是令，由，得，因此，所以的取值范围是.18.甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件.（1）求事件“甲只回答2道题且通过”概率；（2）求事件和事件同时发生的概率；（3）求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意直接计算即可；（2）先由题意求出即可由独立事件概率乘法公式计算求解；（3）先