六年级比和比例奥数题

六年级比和比例奥数题比和比例是小学数学中的重要内容，也是奥数竞赛中的常客。它不仅能锻炼同学们的逻辑思维能力，还能培养大家解决实际问题的能力。本文将结合六年级奥数的特点，深入剖析比和比例的核心概念，并通过典型例题的讲解，帮助同学们掌握解题技巧，提升解题能力。一、比和比例的核心概念回顾在解决复杂的奥数题之前，我们首先要夯实基础，回顾比和比例的一些核心概念。比的意义与性质：两个数相除又叫做两个数的比。比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是我们进行比的化简和转换的依据。比例的意义与基本性质：表示两个比相等的式子叫做比例。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这就是比例的基本性质，它是解比例的关键。正比例与反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量；如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。正反比例的判断和应用是奥数中的难点和重点。二、典型例题精析与解题策略（一）按比例分配问题这类问题是比例应用的基础，关键在于根据已知比例将总量进行合理分配。例题1：甲、乙、丙三个数的和是60，已知甲与乙的比是3:2，乙与丙的比是4:5，求甲、乙、丙三个数各是多少？思路剖析：题目中给出了甲与乙的比，乙与丙的比，但乙在两个比中的份数不同，分别是2份和4份。为了统一比较，我们需要找到乙在两个比中的最小公倍数，将乙的份数化为相同。2和4的最小公倍数是4。因此，甲与乙的比3:2可以化为6:4（前项后项同时乘2）。这样，甲、乙、丙三个数的比就是6:4:5。总份数为6+4+5=15份。每份的值为60÷15=4。所以，甲数为6×4=24，乙数为4×4=16，丙数为5×4=20。解题关键：当题目中出现多个比时，要找到中间量（如本题中的乙），将其份数统一，从而得到所有量的连比。（二）比的转化与不变量问题在一些复杂问题中，比会发生变化，但往往存在某个不变的量，抓住这个不变量是解题的突破口。例题2：一个书架有上、下两层，原来上层书与下层书的本数比是8:7。如果从上层取8本书放入下层，这时上层书与下层书的本数比是4:5。这个书架共有多少本书？思路剖析：无论上层书与下层书的本数如何变化，书架上书的总本数是不变的。我们可以将总本数看作单位“1”。原来上层书占总本数的8/(8+7)=8/15。后来上层书占总本数的4/(4+5)=4/9。上层书减少的8本对应的分率就是(8/15-4/9)。先通分计算：8/15=24/45，4/9=20/45，所以8/15-4/9=4/45。即总本数的4/45是8本，那么总本数为8÷(4/45)=8×(45/4)=90本。解题关键：分析题目，准确判断出哪个量是不变的，然后将这个不变量作为单位“1”，找出已知数量对应的分率，从而求出单位“1”的量。（三）正比例与反比例的应用正反比例的应用广泛，需要准确判断两种相关联的量成何种比例关系。例题3：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，5小时到达。如果要4小时到达，每小时需要行驶多少千米？思路剖析：从甲地到乙地的路程是固定不变的。速度和时间是两种相关联的量，速度×时间=路程（一定），所以速度和时间成反比例关系。设每小时需要行驶x千米。根据反比例关系可得：4x=40×54x=200x=50所以，如果要4小时到达，每小时需要行驶50千米。解题关键：判断两种量是乘积一定（反比例）还是比值一定（正比例），然后根据相应关系列出比例式求解。三、巩固练习与拓展练习题1：甲、乙两人的钱数比是5:3，如果甲给乙12元，那么他们的钱数比是7:5。甲、乙两人原来各有多少钱？练习题2：某工厂有三个车间，第一车间与第二车间人数的比是2:3，第二车间与第三车间人数的比是4:5。已知第一车间比第三车间少80人，三个车间各有多少人？练习题3：一批零件，原计划按8:5分配给师徒两人加工。实际师傅加工了1600个，超过分配任务的25%，徒弟因有事只完成了分配任务的60%，徒弟实际加工了多少个？（参考答案及简要提示见文末）四、解题方法总结1.深刻理解概念：对比和比例的意义、性质，以及正反比例的判断标准要烂熟于心。2.抓住不变量：在比的变化问题中，总量不变、部分量不变等是常见的突破口。3.巧用份数思想：将比中的各项看作具体的份数，能使抽象问题具体化，便于理解和计算。4.谨慎判断比例关系：在解决实际问题时，准确判断是正比例还是反比例关系至关重要。5.多思多练：比例问题题型多样，需要通过大量练习来熟悉各种解题技巧，培养解题直觉。解决比和比例的奥数题，如同在数字的海洋中寻找规律的航船，需要我们既要有扎实的基础知识作为压舱石，也要有灵活的解题策略作为船帆。希望同学们通过本文的学习，能够对比例问题有更深入的理解，在解题时更加得心应手。---【练习题参考答案及简要提示】*练习题1：*提示：总钱数不变。原来甲占总钱数的5/8，后来甲占总钱数的7/12。12元对应的分率是5/8-7/12=15/24-14/24=1/24。总钱数为12÷1/24=288元。甲原有288×5/8=180元，乙原有____=108元。*答案：甲原有180元，乙原有108元。*练习题2：*提示：统一第二车间的份数，一、二、三车间人数比为8:12:15。一份人数为80÷(15-8)=80/7（此处数据可能需调整，原例题数据应为整数，假设第一车间比第三车间少70人，则一份为10人，一车间80人，二车间120人，三车间150人。请同学们注意原题数据合理性，或按上述方法自行计算）。*（假设修正数据后）答案：第一车间80人，第二车间120人，第三车